大数 (数学)

大数是指远远超出了日常生活使用范围（例如简单的计数或金融交易）的数字，在各个领域都发挥着至关重要的作用。这些庞大的数量在数学、宇宙学、密码学和统计力学中占有重要地位。虽然它们通常表现为较大的正整数，但它们也可以在不同情况下呈现其他形式（例如P进数）。大数学（英語：Googology）^[1]深入研究了这些巨大数字实体的命名约定和属性。

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英语：Dual quaternion） 超复数 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定义数 序数 超限数 p進數 数学常数 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

表示法

科学计数法

大数字通常采用科学计数法计数，即把数字记成ɑ×10ⁿ形式（其中1≤|ɑ|<10）。如59000写作5.9×10⁴等。

分级法

参见：数量级 (数)和大數名稱

數量級	中文萬進制	短級差 (美国, 东欧, 加拿大和 澳大利亚英语 以及现代英语)	長級差 (西欧中欧和加拿大法语 以及老式英语)
101	十	Ten
102	百	Hundred
103	千	Thousand
104	萬
106	百萬	Million
108	億
109	十億	Billion	Milliard
1012	兆 [2]	Trillion	Billion
1015	千兆	Quadrillion	Billiard
1016	京
1018	百京	Quintillion	Trillion
1020	垓
1021	十垓	Sextillion
1024	秭	Septillion	Quadrillion
1027	千秭	Octillion
1028	穰
1030	百穰	Nonillion	Quintillion
1032	溝
1033	十溝	Decillion
1036	澗	Undecillion	Sextillion
1039	千澗	Duodecillion
1040	正
1042	百正	Tredecillion	Septillion
1044	載
1045	十載	Quattuordecillion
1048	極	Quindecillion	Octillion
1051	千極	Sexdecillion
1052	恆河沙
1054		Septendecillion	Nonillion
1056	阿僧祇
1057		Octodecillion
1060	那由他	Novemdecillion	Decillion
1063		Vigintillion
1064	不可思議
1066		Unvigintillion	Undecillion
1068	無量
1069		Duovigintillion
1072	大數	Tresvigintillion	Duodecillion
1075		Quattuorvigintillion
1078			Tredecillion
1084			Quattuordecillion
1090			Quindecillion
1093		Trigintillion
1096			Sexdecillion
10100	古戈爾（Googol)
10102			Septendecillion
10108			Octodecillion
10114			Novemdecillion
10120			Vigintillion
10123		Quadragintillion
10153		Quinquagintillion
10180			Trigintillion
10183		Sexagintillion
10213		Septuagintillion
10243		Octogintillion
10273		Nonagintillion
10303		Centillion
10600			Centillion
103003		Millinillion[3]
106000			Millinillion
1010100	古戈爾普勒克斯（Googolplex)
101010100	Googolplexian

著名的大数

• googol（果戈尔、古高尔）

美国数学家爱德华·卡斯纳（Edward Kasner）在1940年创造，代表10¹⁰⁰（1后面接100个0，按数位念作“一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿”，一万后念12个“亿”）

• googolplex（果戈尔普莱克斯、古戈尔普勒克斯）

表示10的一个古戈尔次幂，即10¹⁰¹⁰⁰（1后面接10¹⁰⁰个0）。

• 斯奎斯数（英語：Skewes' number）

表示素数计数函数與对数积分函數交叉點的數值上界，斯奎斯於1933年證明了其中一個上界，又被稱作第一斯奎斯數：

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}}$（左為準確值，右為近似值）。

• 葛立恆數（簡稱G64，因為必須使用64層高德納箭號表示法才表示得出來）
• TREE(3)（英语：TREE(3)）
• 拉約數（英語：Rayo's number）

大數記號

雖然在現實世界中，使用指數來表示大數就已經綽綽有餘，但是在少數的數學問題中會用到的大數，如葛立恆數，仍然是不能用指數來表示的。為了表達這樣的大數，數學家們想出了以下記號：

• 高德納箭號表示法多層嵌套的指數塔，是一個簡單的符號。
• 超運算按照加法、乘法和冪的遞迴模式來構造更高級的運算，本質上跟箭號表示法是一樣的。
• 康威鏈式箭號表示法這種記號是箭號表示法的一種延伸，它能夠表示遠遠超出葛立恆數的數。
• 斯坦豪斯-莫澤表示法透過多邊形來表示大數。
• 超階乘是階乘的一個擴展。
• 阿克曼函數是一個二元函數，增長率非常快，跟高德納箭號表示法是同一個等級。
• 旋轉箭號表示法它是箭號表示法跟鏈式箭號表示法的延伸，並且所能構造的大數比它們更大。
• BEAF就算是開頭的線性數陣等級，也遠遠超越了上面的大多數記號。
• SUPER它是上面線性數陣的延伸，能够構造出遠遠大於上面線性數陣的超級大數。

大数表示发展史

大数的表示最早在古希腊数学家阿基米德开始，他在理论上提出了一种表示大数的方法，但他是否创设了适当的符号不得而知。在他的著作《论数沙》中有这样一段文字：

有人认为，无论是在叙拉古城，还是在整个西西里岛或者在世界上有人烟和没有人迹的地方，沙粒的数目都是无穷的；也有人认为沙粒的数目不是无穷的‘但是想表示沙子的数目是办不到的……但是，我要告诉大家，用我找到的方法，不但能表示出占地球那么大地方的沙粒的数目，甚至还能表示把所有的海洋和洞穴都填满了沙粒，这些沙粒总数不会超过1后面有100个零。

在这段文字中，“1后面连续有100个零”即10¹⁰⁰。^[4]