Законы Кеплера

Зако́ны Ке́плера — тры законы, якія апісваюць рух плянэт Сонечнай сыстэмы. Экспэрымэнтальна адкрыты ў пачатку XVII стагодзьдзя нямецкім астраномам Ёганам Кеплерам на падставе аналізу назіраньняў Тыха Брагэ.

З пэўнымі папраўкамі, законы Кеплера ўжываюцца для апісаньня руху любых нябесных целаў пад дзеяньнем гравітацыі. Законы Кеплера былі вынайдзеныя эмпірычным шляхам, але яны даказваюцца матэматычна на аснове законаў Ньютана і закону сусьветнага прыцягненьня, якія былі вынайдзеныя пазьней. Для іх устанаўленьня І. Ньютанам законы Кеплера адыгралі значную ролю^[1].

Першы закон Кеплера

Першы закон Кеплера

Плянэты рухаюцца па эліпсах, у адным з фокусаў якога знаходзіцца Сонца. Форма эліпса і ступень яго падабенства з акружнасьцю характарызуецца адносінамі ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$, дзе ${\displaystyle c}$ — адлегласьць ад цэнтру эліпса да яго фокуса (факальная адлегласьць), ${\displaystyle a}$ — вялікая паўвось. Велічыня ${\displaystyle e}$ завецца эксцэнтрысітэтам эліпса. Пры ${\displaystyle c\to 0}$ эліпс ператвараецца ў акружнасьць. Калі, то эліпс ператвараецца ў простую.

Другі закон Кеплера

Другі закон Кеплера

За роўныя адрэзкі часу радыюс-вэктар плянэты выпісвае фігуры аднолькавай плошчы.

У дачыненьні да нашай Сонечнай сыстэмы, з гэтым законам зьвязаныя два паняцьці: перыгелій— бліжэйшая да Сонца кропка арбіты, і афэлій — найбольш аддаленая кропка арбіты. Такім чынам, з другога закона Кеплера вынікае, што плянэта рухаецца вакол Сонца нераўнамерна, маючы ў перыгеліі вялікшую лінейную хуткасьць, чым у афэліі.

Кожны год у пачатку студзеня Зямля, праходзячы празь перыгелій, рухаецца хутчэй, таму бачнае перасоўваньне Сонца па экліптыкі на ўсход таксама адбываецца хутчэй, чым у сярэднім за год. У пачатку ліпеня Зямля, праходзячы афэлій, рухаецца павольней, таму й перамяшчэньне Сонца па экліптыцы запавольваецца. Закон плошчаў паказвае, што сіла, кіруючая арбітальным рухам плянэт, накіраваная да Сонца.

Трэці закон Кеплера

Ілюстрацыя(недаступная спасылка) трох законаў Кеплера з дзьвюма плянэтарнымі арбітамі.

Квадраты сідэрычных пэрыядаў абарачэньня дзьвюх плянэт суадносяцца як кубы вялікіх паўвосей іх арбіт.

${\displaystyle {\frac {T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}}$,

дзе ${\displaystyle {\displaystyle T_{1}}}$і ${\displaystyle {\displaystyle T_{2}}}$ — пэрыяды звароту дзьвюх плянэт вакол Сонца, а ${\displaystyle {\displaystyle a_{1}}}$ і ${\displaystyle {\displaystyle a_{2}}}$ — даўжыні вялікіх паўвосяў іх арбіт. Гэта фіксуе сувязь паміж адлегласьцю плянэт ад Сонца і іх арбітальнымі пэрыядамі. Цьверджаньне справядлівае таксама для спадарожнікаў.

Ньютан удакладніў закон, зьвязаўшы яго з масай.

${\displaystyle {\frac {T_{1}^{2}(\mathrm {M} +m_{1})}{T_{2}^{2}(\mathrm {M} +m_{2})}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}}$,

дзе ${\displaystyle \mathrm {M} }$ — маса Сонца, ${\displaystyle m_{1}}$і ${\displaystyle m_{2}}$ — масы плянэт.

Заўважым, што

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}(M+m)}}={\frac {G}{4\pi ^{2}}}=const}$

Гісторыя

Першыя два законы апублікаваны ў 1609, трэці — у 1619 годзе^[1].

На аснове адкрытых законаў пасьля шматгадовых вылічэньняў у 1627 годзе Кеплер склаў табліцы, па якіх можна было знайсьці на небе становішча кожнай плянэты ў любы момант часу.

Плянэта	Сярэдняя адлегласьць да Сонца (астранамічныя адзінкі)	Пэрыяд (дні)	${\textstyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}}$(10 адзінкі/дні)
Мэркурый	0.389	87.77	7.64
Вэнэра	0.724	224.70	7.52
Зямля	1	365.25	7.50
Марс	1.524	686.95	7.50
Юпітэр	5.2	4332.62	7.49
Сатурн	9.510	10759.2	7.43

Для параўнаньня, вось сучасныя ацэнкі:

Плянэта	паўвось (астранамічныя адзінкі)	Пэрыяд (дні)	${\textstyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}}$(10 адзінкі/дні)
Мэркурый	0.38710	87.9693	7.496
Вэнэра	0.72333	224.7008	7.496
Зямля	1	365.2564	7.496
Марс	1.52366	686.9796	7.495
Юпітэр	5.20336	4332.8201	7.504
Сатурн	9.53707	10775.599	7.498
Уран	19.1913	30687.153	7.506
Нэптун	30.0690	60190.03	7.504