Адмоўнае біномнае размеркаванне

Адмоўнае біномнае размеркаванне — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей, якое мадэлюе колькасць няўдач у шэрагу незалежных і аднолькава размеркаваных выпрабаванняў Бернулі^[en] перад тым, як адбудзецца пэўная, зададзеная параметрам ${\displaystyle r}$, колькасць поспехаў^[1]. Напрыклад, мы можам абазначыць выпаданне 6 на кубіку як поспех, а выпаданне кожнага іншага значэння як няўдачу, і паставіць пытанне, колькі няўдачных выпаданняў адбудзецца, перш чым мы пабачым трэці поспех (${\displaystyle r=3}$). У такім выпадку размеркаванне імавернасцей колькасці няўдач будзе адмоўным біномным.

Фунцыя імавернасці Аранжавая лінія паказвае матэматычнае спадзяванне, роўнае 10 на кожным з гэтых графікаў. Зялёная лінія паказвае стандартнае адхіленне.
Абазначэнне	${\displaystyle \mathrm {NB} (r,\,p)}$
Параметры	r > 0 — колькасць поспехаў да спынення эксперыменту, цэлы лік p ∈ [0,1] — імавернасць поспеху ў кожным выпрабаванні, рэчаісны лік
Носьбіт функцыі[en]	k ∈ { 0, 1, 2, 3, … } — колькасць няўдач
Функцыя імавернасці	${\displaystyle k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{k}p^{r},}$ з удзелам біномнага каэфіцыенту[en]
Функцыя размеркавання	${\displaystyle k\mapsto I_{p}(r,\,k+1),}$ — рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя
Матэматычнае спадзяванне	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}}$
Мода	${\displaystyle {\begin{cases}\left\lfloor {\frac {(r-1)(1-p)}{p}}\right\rfloor &r>1\\0&r\leq 1\end{cases}}}$
Дысперсія	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}$
Каэфіцыент асіметрыі	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {(1-p)r}}}}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\displaystyle {\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{(1-p)r}}}$
Утваральная функцыя момантаў[en]	${\displaystyle {\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}{\biggr )}^{\!r}}$ дзе ${\displaystyle t<-\log(1-p)}$
Характарыстычная функцыя[en]	${\displaystyle {\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)e^{i\,t}}}{\biggr )}^{\!r}}$ дзе ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$
Імавернасная ўтваральная функцыя	${\displaystyle {\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)z}}{\biggr )}^{\!r}}$ дзе ${\displaystyle |z|<{\frac {1}{p}}}$
Інфармацыя Фішэра[en]	${\displaystyle {\frac {r}{p^{2}(1-p)}}}$
Метад момантаў[en]	${\displaystyle r={\frac {E[X]^{2}}{V[X]-E[X]}}}$ ${\displaystyle p=1-{\frac {E[X]}{V[X]}}}$

У альтэрнатыўнай фармулёўцы мадэлюецца агульная колькасць выпрабаванняў, а не толькі няўдач.

Азначэнне

Няхай праводзіцца серыя незалежных выпрабаванняў Бернулі: кожнае выпрабаванне мае два магчымыя зыходы, званыя «поспехам» і «няўдачай». У кожным выпрабаванні імавернасць поспеху роўная ${\displaystyle p}$, а імавернасць няўдачы ${\displaystyle 1-p}$. Выпрабаванні праводзяцца да той пары, пакуль не адбудзецца прадвызначаная колькасць ${\displaystyle r}$ поспехаў. Тады размеркаванне імавернасцей, якому падпарадкоўваецца колькасць няўдач сярод праведзеных выпрабаванняў, завецца адмоўным біномным размеркаваннем або размеркаваннем Паскаля, і адпаведная выпадковая велічыня абазначаецца як

${\displaystyle X\sim \operatorname {NB} (r,p).}$

Функцыя імавернасці

Функцыя імавернасці адмоўнага біномнага размеркавання мае выгляд

${\displaystyle p_{X\sim \operatorname {NB} (r,p)}(k)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{k}}(1-p)^{k}p^{r}.}$

Значэнне ў дужках — гэта біномны каэфіцыент^[en], роўны

${\displaystyle {\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)!}{(r-1)!\,(k)!}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}},}$

дзе ${\displaystyle k}$ няўдач выбіраюцца з ${\displaystyle k+r-1}$ выпрабавання, а не з ${\displaystyle k+r}$, бо апошняе выпрабаванне паспяховае і не можа быць няўдачай паводле азначэння.

Гэты біномны каэфіцыент можна запісаць як (абагульнены) біномны каэфіцыент з адмоўнай верхняй часткай, таму размеркаванне і завецца адмоўным біномным:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {(k+r-1)\dotsm (r)}{k!}}=(-1)^{k}{\frac {\overbrace {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-k+1)} ^{k{\text{ množnikaŭ}}}}{k!}}=(-1)^{k}{\binom {-r}{{\phantom {-}}k}}.\end{aligned}}}$

Сувязь з іншымі размеркаваннямі

Геаметрычнае размеркаванне

Геаметрычнае размеркаванне — асобны выпадак адмоўнага біномнага размеркавання, калі колькасць поспехаў ${\displaystyle r}$ роўная 1^[2]:84.

Выпадковую велічыню з адмоўным біномным размеркаваннем можна ўявіць у выглядзе сумы ${\displaystyle r}$ незалежных выпадковых велічынь з геаметрычным размеркаваннем^[2]:120.

Зноскі

1. Negative Binomial Distribution (нявызн.). Wolfram MathWorld. Wolfram Research. Праверана 11 October 2020.
2. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.