Бэта-размеркаванне другога тыпу

Бэта-размеркаванне другога тыпу — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей. Калі ${\displaystyle p\in [0,1]}$ мае бэта-размеркаванне, то шансы ${\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}$ маюць бэта-размеркаванне другога тыпу.

Бэта-размеркаванне другога тыпу

Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Параметры	${\displaystyle \alpha >0}$ параметр формы (рэчаісны лік) ${\displaystyle \beta >0}$ параметр формы (рэчаісны лік)
Носьбіт функцыі[en]	${\displaystyle x\in [0,\infty )\!}$
Шчыльнасць імавернасці	${\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}\!}$
Функцыя размеркавання	${\displaystyle I_{{\frac {x}{1+x}}(\alpha ,\beta )}}$ дзе ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$ няпоўная бэта-функцыя
Матэматычнае спадзяванне	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}}$ калі ${\displaystyle \beta >1}$
Мода	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\beta +1}}}$ калі ${\displaystyle \alpha \geq 1}$, інакш 0
Дысперсія	${\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}}$ калі ${\displaystyle \beta >2}$
Каэфіцыент асіметрыі	${\displaystyle {\frac {2(2\alpha +\beta -1)}{\beta -3}}{\sqrt {\frac {\beta -2}{\alpha (\alpha +\beta -1)}}}}$ калі ${\displaystyle \beta >3}$
Утваральная функцыя момантаў[en]	не існуе
Характарыстычная функцыя[en]	${\displaystyle {\frac {e^{-it}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\beta )}}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha +\beta \\\beta ,0\end{matrix}}\;\right|\,-it\right)}$

Бэта-размеркаванне другога тыпу можа выкарыстоўвацца як спалучанае апрыёрнае^[en] для размеркавання Бэрнулі, калі яно параметрызаванае праз шансы, а не імавернасць. Супадае з размеркаваннем Пірсана^[en] VI тыпу^[1].

Азначэнне

Бэта-размеркаванне другога тыпу з двума параметрамі α і β для ${\displaystyle x>0}$ мае шчыльнасць імавернасці

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}}$

дзе B — бэта-функцыя.

Функцыя размеркавання мае выгляд

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=I_{\frac {x}{1+x}}\left(\alpha ,\beta \right),}$

дзе I — рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя.

Іншая форма запісу функцыі размеркавання:

${\displaystyle {\frac {x^{\alpha }\cdot {}_{2}F_{1}(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot B(\alpha ,\beta )}},}$

дзе ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ — гіпергеаметычная функцыя^[en] Гауса ₂F₁ .

Альтэрнатыўная параметрызацыя

Бэта-размеркаванне другога тыпу можа быць параметрызавана праз сярэдняе μ > 0 і дакладнасць ν > 0^[2]:36.

Няхай ${\displaystyle \mu =\alpha /(\beta -1)}$ і ${\displaystyle \nu =\beta -2}$, то бок ${\displaystyle \alpha =\mu (1+\nu )}$ і ${\displaystyle \beta =2+\nu }$. У такой параметрызацыі ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mu }$ і ${\displaystyle Var[Y]=\mu (1+\mu )/\nu }$.

Зноскі

1. Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (2nd Edition), p. 248, Wiley. ISBN 0-471-58494-0
2. Bourguignon, M.; Santos-Neto,M.; de Castro,M. (2021). A new regression model for positive random variables with skewed and long tail. Metron. 79: 33–55. doi:10.1007/s40300-021-00203-y. S2CID 233534544.