Бэта-размеркаванне

Бэта-размеркаванне — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей на прамежку [0, 1] або (0, 1) з двума параметрамі: альфа (α) і бэта (β), якія задаюць форму^[en] размеркавання.

Бэта-размеркаванне

Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Абазначэнне	Beta(α, β)
Параметры	α > 0 параметр формы (рэчаісны лік) β > 0 параметр формы (рэчаісны лік)
Носьбіт функцыі[en]	${\displaystyle x\in [0,1]\!}$ або ${\displaystyle x\in (0,1)\!}$
Шчыльнасць імавернасці	${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}$ дзе ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$, а ${\displaystyle \Gamma }$ гама-функцыя.
Функцыя размеркавання	${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}$ (рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя)
Матэматычнае спадзяванне	${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\!}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X\,\ln X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\,\left[\psi (\alpha +1)-\psi (\alpha +\beta +1)\right]\!}$ дзе ${\displaystyle \psi }$ — дыгама-функцыя[en]
Медыяна	${\displaystyle I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}}$ для ${\displaystyle \alpha ,\beta >1}$
Мода	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!}$ для α, β > 1 усякае значэнне ў ${\displaystyle (0,1)}$ для α, β = 1 {0, 1} (бімадальнае) для α, β < 1 0 для α ≤ 1, β > 1 1 для α > 1, β ≤ 1
Дысперсія	${\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}$ ${\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )\!}$ (гл. трыгама-функцыя[en])
Каэфіцыент асіметрыі	${\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$
Энтрапія[en]	${\displaystyle {\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]{}+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}}$
Утваральная функцыя момантаў[en]	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
Характарыстычная функцыя[en]	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha$ ;\alpha +\beta ;i\,t)\!} (гл. канфлюэнтная гіпергеаметрычная функцыя[en])
Інфармацыя Фішэра[en]	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {var} [\ln X]&\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]&\operatorname {var} [\ln(1-X)]\end{bmatrix}}}$
Метад момантаў[en]	${\displaystyle \alpha =\left({\frac {E[X](1-E[X])}{V[X]}}-1\right)E[X]}$ ${\displaystyle \beta =\left({\frac {E[X](1-E[X])}{V[X]}}-1\right)(1-E[X])}$

Бэта-размеркаванне выкарыстоўваецца ў розных навуках для мадэлявання выпадковых велічынь, абмежаваных на пэўным інтэрвале^[en] канечнай даўжыні, напрыклад адсоткаў або прапорцый.

У баесаўскім высноўванні^[en] бэта-размеркаванне выконвае ролю спалучанага апрыёрнага^[en] для размеркавання Бэрнулі, біномнага, адмоўнага біномнага і геаметрычнага размеркаванняў.

Часам называецца бэта-размеркаваннем першага тыпу, каб адрозніць яго ад бэта-размеркавання другога тыпу. Многавымернае абагульненне бэта-размеркавання завецца размеркаваннем Дзірыхле.

Азначэнне

Шчыльнасць імавернасці

Анімацыя шчыльнасці бэта-размеркавання для розных значэнняў параметраў.

Шчыльнасць імавернасці бэта-размеркавання для 0 ≤ x ≤ 1 або 0 < x < 1 і параметраў формы α, β > 0 — ступеневая функцыя ад  x і (1 − x):

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&=\mathrm {constant} \cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[3pt]&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\\[6pt]&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[6pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}}$

дзе Γ(z) — гама-функцыя. Бэта-функцыя ${\displaystyle \mathrm {B} }$ — нарміровачны множнік^[en], які забяспечвае выкананне аксіёмы нармаванасці.

Калі выпадковая велічыня X мае бэта-размеркаванне з параметрамі α і β, пішуць^[1][2]

${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}$

Часам ужываюць таксама абазначэнні ${\displaystyle X\sim {\mathcal {B}}e(\alpha ,\beta )}$^[3] і ${\displaystyle X\sim \beta _{\alpha ,\beta }}$.^[4]

Функцыя размеркавання

Функцыя размеркавання мае выгляд

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} {}(x;\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} {}(\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta ),}$

дзе ${\displaystyle \mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )}$ — няпоўная бэта-функцыя, а ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$ — рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя.

Зноскі

1. Rose, Colin; Smith, Murray D. (2002). Mathematical Statistics with MATHEMATICA. Springer. ISBN 978-0387952345.
2. Kruschke, John K. (2011). Doing Bayesian data analysis: A tutorial with R and BUGS. Academic Press / Elsevier. p. 83. ISBN 978-0123814852.
3. Berger, James O. (2010). Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis (2nd ed.). Springer. ISBN 978-1441930743.
4. Feller, William (1971). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2. Wiley. ISBN 978-0471257097.