Група Лорэнца

Група Лорэнца з'яўляецца групай пераўтварэнняў Лорэнца прасторы Мінкоўскага, якія захоўваюць пачатак каардынат (гэта значыць якія з'яўляюцца лінейнымі аператарамі)^[1]. У матэматыцы абазначаецца ${\displaystyle O(1,\;3)}$.

Група, алгебра

Тэорыя груп Асноўныя паняцці Падгрупа Нармальная падгрупа Фактаргрупа (паў-)Прамы здабытак Тапалагічныя групы Група Лі Артаганальная група O(n) Спецыяльная ўнітарная група SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Група Лорэнца Група Пуанкарэ

Спецыяльная група Лорэнца ${\displaystyle SO(1,\;3)}$ — падгрупа пераўтварэнняў, вызначнік матрыцы якіх роўны 1 (у агульным выпадку ён роўны ${\displaystyle \pm 1}$).

Артахронная група Лорэнца ${\displaystyle O_{\uparrow }(1,\;3)}$, спецыяльная артахронная група Лорэнца ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,\;3)}$ — аналагічна, але ўсе пераўтварэнні захоўваюць напрамак будучыні ў часе (знак каардынаты ${\displaystyle x^{0}}$. Група ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,\;3)}$, адзіная з чатырох, з'яўляецца сувязнай і ізаморфнай групе Мёбіуса.

Прадстаўленні групы Лорэнца

Прадстаўленні групы Лорэнца ў комплексных лінейных прасторах вельмі важныя для фізікі, так як звязаны з паняццем спіна. Усе непрыводныя прадстаўленні спецыяльнай артахроннай групы Лорэнца ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,\;3)}$ можна пабудаваць пры дапамозе спінараў.

Зноскі

1. Паўпрамы здабытак групы Лорэнца і групы паралельных пераносаў прасторы Мінкоўскага па гістарычных прычынах называецца групай Пуанкарэ. З іншага боку, група Лорэнца змяшчае ў якасці сваёй падгрупы падгрупу групу кручэнняў 3-мернай прасторы.