Раўнамернае непарыўнае размеркаванне

Не блытаць з раўнамерным дыскрэтным размеркаваннем.

Раўнамернае непарыўнае размеркаванне — размеркаванне імавернасцей, характэрнае для выпадковай велічыні, якая прымае значэнні на некаторым прамежку^[en] ${\displaystyle [a,b]}$, і шчыльнасць імавернасці якой нязменная на ўсім гэтым прамежку. Для раўнамерна размеркаванай выпадковай велічыні, імавернасці якіх-кольвек двух прамежкаў у ${\displaystyle [a,b]}$ роўныя тады і толькі тады, калі яны маюць роўную даўжыню.

Раўнамернае непарыўнае размеркаванне

Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Абазначэнне	${\displaystyle {\mathcal {U}}_{[a,b]}}$, ${\displaystyle R[a,b]}$[1]:85
Параметры	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty }$
Носьбіт функцыі[en]	${\displaystyle [a,b]}$
Шчыльнасць імавернасці	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&x\in [a,b]\\0,&x\notin [a,b]\end{cases}}}$
Функцыя размеркавання	${\displaystyle {\begin{cases}0,&x<a\\{\frac {x-a}{b-a}},&x\in [a,b]\\1,&x>b\end{cases}}}$
Матэматычнае спадзяванне	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
Медыяна	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
Мода	усе значэнні ў ${\displaystyle (a,b)}$
Дысперсія	${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}}$
Сярэдняе абсалютнае адхіленне[en]	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(b-a)}$
Каэфіцыент асіметрыі	${\displaystyle 0}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\displaystyle -{\tfrac {6}{5}}}$
Энтрапія[en]	${\displaystyle \ln(b-a)}$
Утваральная функцыя момантаў[en]	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}},&t\neq 0\\1,&t=0\end{cases}}}$
Характарыстычная функцыя[en]	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tb}-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ta}}{\mathrm {i} t(b-a)}},&t\neq 0\\1,&t=0\end{cases}}}$

Азначэнне

Шчыльнасць імавернасці

Шчыльнасць імавернасці раўнамернага непарыўнага размеркавання мае выгляд^[1]:85

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&a\leq x\leq b,\\[8pt]0,&x<a,\ \ x>b.\end{cases}}}$

Значэнні ${\displaystyle f(x)}$ у межавых пунктах ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ звычайна няважныя, бо яны не ўплываюць ні на значэнне ${\textstyle \int _{c}^{d}f(x)dx}$ па якім-кольвек прамежку ${\displaystyle [c,d],}$ ні на ${\textstyle \int _{a}^{b}xf(x)dx,}$ ні на вышэйшыя моманты. Часам іх прымаюць роўнымі 0, а часам ${\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}.}$

Плошча пад графікам шчыльнасці заўсёды роўная 1, таму графік шчыльнасці раўнамернага непарыўнага размеркавання рысуюць у выглядзе прамавугольніка з даўжынёй ${\displaystyle b-a}$ і вышынёй ${\displaystyle {\tfrac {1}{b-a}}}$. Калі даўжыня прамежку павялічваецца, вышыня памяншаецца^[2].

Функцыя размеркавання

Функцыя размеркавання раўнамернага непарыўнага размеркавання мае выгляд^[1]:85

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0,&x<a,\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}},&a\leq x\leq b,\\[8pt]1,&x>b.\end{cases}}}$

Характарыстыкі

Матэматычнае спадзяванне

Матэматычнае спадзяванне раўнамернага непарыўнага размеркаванне мае выгляд^[1]:120-121

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx=\int _{a}^{b}x{\frac {1}{b-a}}dx=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{b-a}}{\frac {x^{2}}{2}}{\bigg \vert }_{a}^{b}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {a+b}{2}}.}$

Дысперсія

Дысперсію раўнамернага непарыўнага размеркавання можна знайсці па формуле^[1]:120-121

${\displaystyle Var(X)=\mathbb {E} [X^{2}]-(\mathbb {E} [X])^{2}=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {1}{b-a}}dx-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}=}$

${\displaystyle ={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}+ab+a^{2}}{3}}-{\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{4}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.}$

Выкарыстанне

• Геаметрычная імавернасць — мадэль^[en] для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя па гэтым мностве.
• Прыбліжэнне ліку π метадам Монтэ-Карла праз генерацыю пары раўнамерна размеркаваных выпадковых велічынь.
• Метад ацэнкі ліку Эйлера шляхам генерацыі шэрагу раўнамерна размеркаваных выпадковых велічынь пакуль іх сума не перавысіць 1.

Зноскі

1. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.
2. Uniform Distribution (Continuous) (нявызн.). MathWorks (9 мая 2019). Праверана November 22, 2019.