Размеркаванне хі-квадрат

Размеркаванне хі-квадрат (або ${\displaystyle \chi ^{2}}$-размеркаванне) з ${\displaystyle k}$ ступенямі свабоды^[en] — размеркаванне сумы квадратаў ${\displaystyle k}$ незалежных выпадковых велічынь са стандартным нармальным размеркаваннем. Размеркаванне хі-квадрат — асобны выпадак гама-размеркавання^[2]:89, і адно з найчасцей выкарыстоўваемых размеркаванняў у статыстычным высноўванні^[en], у прыватнасці пры праверцы гіпотэз^[en] і пабудове давяральных інтэрвалаў^{[en][3][4][5]}.

Размеркаванне хі-квадрат

Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Абазначэнне	${\displaystyle \chi ^{2}(k)\;}$ або ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\!}$
Параметры	${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{*}~~}$ ступені свабоды
Носьбіт функцыі[en]	${\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}$ калі ${\displaystyle k=1}$, інакш ${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
Шчыльнасць імавернасці	${\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;}$
Функцыя размеркавання	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;}$
Матэматычнае спадзяванне	${\displaystyle k}$
Медыяна	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}$
Мода	${\displaystyle \max(k-2,0)\;}$
Дысперсія	${\displaystyle 2k\;}$
Каэфіцыент асіметрыі	${\displaystyle {\sqrt {8/k}}\,}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\displaystyle {\frac {12}{k}}}$
Энтрапія[en]	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\frac {k}{2}}))\\&\!+(1-{\frac {k}{2}})\psi ({\frac {k}{2}})\end{aligned}}}$
Утваральная функцыя момантаў[en]	${\displaystyle (1-2t)^{-k/2}}$ для ${\displaystyle t<{\frac {1}{2}}\;}$
Характарыстычная функцыя[en]	${\displaystyle (1-2it)^{-k/2}}$[1]
Імавернасная ўтваральная функцыя	${\displaystyle (1-2\ln t)^{-k/2}}$ для ${\displaystyle 0<t<{\sqrt {e}}\;}$

Азначэнне

Размеркаваннем хі-квадрат завецца размеркаванне са шчыльнасцю^[2]:89

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2},&x>0,\\0,&x\leq 0,\end{cases}}}$

дзе ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ — параметр размеркавання, вядомы як «ступені свабоды», ${\displaystyle \Gamma (k/2)}$ — гама-функцыя.

Зноскі

1. M.A. Sanders. Characteristic function of the central chi-square distribution (нявызн.)(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 15 ліпеня 2011. Праверана 6 сакавіка 2009.
2. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.
3. NIST (2006). Engineering Statistics Handbook — Chi-Squared Distribution
4. Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). "Chi-Square Distributions including Chi and Rayleigh". Continuous Univariate Distributions. Vol. 1 (Second ed.). John Wiley and Sons. pp. 415–493. ISBN 978-0-471-58495-7.
5. Mood, Alexander; Graybill, Franklin A.; Boes, Duane C. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (Third ed.). McGraw-Hill. pp. 241–246. ISBN 978-0-07-042864-5.