Гама-размеркаванне

Гама-размеркаванне — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей з двума параметрамі. Найчасцей ужываюцца два эквівалентныя спосабы параметрызацыі:

1. З каэфіцыентам формы^[en] ${\displaystyle k}$ і каэфіцыентам маштабу^[en] ${\displaystyle \theta }$.
2. З каэфіцыентам формы ${\displaystyle \alpha =k}$ і адваротным каэфіцыентам маштабу ${\displaystyle \beta =1/\theta ,}$ вядомым пад назвай каэфіцыент частаты^[en].

Гама-размеркаванне

Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Параметры	k > 0 форма θ > 0 маштаб	α > 0 форма β > 0 частата
Носьбіт функцыі[en]	${\displaystyle x\in (0,\infty )}$	${\displaystyle x\in (0,\infty )}$
Шчыльнасць імавернасці	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}x^{k-1}e^{-x/\theta }}$	${\displaystyle f(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$
Функцыя размеркавання	${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)}$	${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\gamma (\alpha ,\beta x)}$
Матэматычнае спадзяванне	${\displaystyle k\theta }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}}$
Медыяна	Няма аналітычнай формы	Няма аналітычнай формы
Мода	${\displaystyle (k-1)\theta }$ для ${\displaystyle k\geq 1,}$ ${\displaystyle 0}$ для ${\displaystyle k<1}$	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\beta }}}$ для ${\displaystyle \alpha \geq 1,}$ ${\displaystyle 0}$ для ${\displaystyle \alpha <1}$
Дысперсія	${\displaystyle k\theta ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta ^{2}}}}$
Каэфіцыент асіметрыі	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\alpha }}}}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$	${\displaystyle {\frac {6}{\alpha }}}$
Энтрапія[en]	${\displaystyle {\begin{aligned}k&+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\\&+(1-k)\psi (k)\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &-\ln \beta +\ln \Gamma (\alpha )\\&+(1-\alpha )\psi (\alpha )\end{aligned}}}$
Утваральная функцыя момантаў[en]	${\displaystyle (1-\theta t)^{-k}}$ для ${\displaystyle t<{\frac {1}{\theta }}}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\beta }}\right)^{-\alpha }}$ для ${\displaystyle t<\beta }$
Характарыстычная функцыя[en]	${\displaystyle (1-\theta it)^{-k}}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\beta }}\right)^{-\alpha }}$
Інфармацыя Фішэра[en]	${\displaystyle I(k,\theta )={\begin{pmatrix}\psi ^{(1)}(k)&\theta ^{-1}\\\theta ^{-1}&k\theta ^{-2}\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle I(\alpha ,\beta )={\begin{pmatrix}\psi ^{(1)}(\alpha )&-\beta ^{-1}\\-\beta ^{-1}&\alpha \beta ^{-2}\end{pmatrix}}}$
Метад момантаў[en]	${\displaystyle k={\frac {E[X]^{2}}{V[X]}}\quad \quad }$ ${\displaystyle \theta ={\frac {V[X]}{E[X]}}\quad \quad }$	${\displaystyle \alpha ={\frac {E[X]^{2}}{V[X]}}}$ ${\displaystyle \beta ={\frac {E[X]}{V[X]}}}$

У абедзвюх формах абодва параметры — дадатныя рэчаісныя лікі.

Параметрызацыя з ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle \theta }$ часта выкарыстоўваецца ў эканаметрыцы і іншых прыкладных абласцях, дзе з дапамогай гама-размеркавання мадэлююць час чакання^[1].

Параметрызацыя праз ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ распаўсюджана ў баесаўскай статыстыцы^[en], дзе гама-размеркаванне грае ролю спалучанага апрыёрнага размеркавання^[en] для каэфіцыентаў частаты розных размеркаванняў, напрыклад ${\displaystyle \lambda }$ паказнікавага або пуасонавага размеркавання^[2], або ${\displaystyle \beta }$ самога гама-размеркавання. Цесна звязанае з ім адваротнае гама-размеркаванне^[en] служыць спалучаным апрыёрным размеркаваннем для каэфіцыентаў маштабу, напрыклад для ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ нармальнага размеркавання.

Азначэнне

Кажуць, што выпадковая велічыня мае гама-размеркаванне, калі яе шчыльнасць імавернасці задаецца формулай^[3]:87

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x},&x>0,\\0,&x\leq 0,\end{cases}}}$

дзе ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ — параметры размеркавання, ${\displaystyle \Gamma (\alpha )}$ — гама-функцыя ${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt.}$

Можна паказаць, што інтэграл шчыльнасці імавернасці па ўсім ${\displaystyle \mathbb {R} }$ роўны 1:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{+\infty }x^{\alpha -1}e^{-\beta x}dx=}$

${\displaystyle ={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{\alpha -1}}{\beta ^{\alpha -1}}}e^{-t}{\frac {dt}{\beta }}={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{+\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt=1.}$

Асобныя выпадкі

Паказнікавае размеркаванне

Паказнікавае размеркаванне — асобны выпадак гама-размеркавання, калі каэфіцыент формы роўны 1^[3]:88. Яго шчыльнасць мае выгляд:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\beta ^{1}}{\Gamma (1)}}x^{1-1}e^{-\beta x}=\beta e^{-\beta x},&x>0,\\0,&x\leq 0,\end{cases}}}$

Размеркаванне Эрланга

Калі каэфіцыент формы гама-размеркавання — натуральны лік, то яно завецца размеркаваннем Эрланга^[3]:88. Шчыльнасць можна перапісаць, замяніўшы гама-функцыю на фактарыял, бо для натуральных лікаў ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\ }$:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\beta ^{n}}{(n-1)!}}x^{n-1}e^{-\beta x},&x>0,\\0,&x\leq 0.\end{cases}}}$

Размеркаванне хі-квадрат

Калі для гама-размеркавання прыняць каэфіцыент формы ${\displaystyle \alpha =n/2}$, дзе ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, а каэфіцыент частаты ${\displaystyle \beta =1/2}$, атрымаем размеркаванне хі-квадрат з ${\displaystyle n}$ ступенямі свабоды^[en] і шчыльнасцю^[3]:89

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{n/2}\Gamma (n/2)}}x^{n/2-1}e^{-x/2},&x>0,\\0,&x\leq 0,\end{cases}}}$

Зноскі

1. Hogg, R. V.; Craig, A. T. (1978). Introduction to Mathematical Statistics (4th ed.). New York: Macmillan. pp. Remark 3.3.1. ISBN 0023557109.
2. Gopalan, Prem; Hofman, Jake M.; Blei, David M. (2013). "Scalable Recommendation with Poisson Factorization". arXiv:1311.1704 [cs.IR].
3. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.