Размеркаванне Фішэра — Снедэкора

Размеркаванне Фішэра — Снедэкора або F-размеркаванне — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей, якое часта паўстае ў якасці нулявога размеркавання^[en] статыстычнага крытэрыю^[en], асабліва ў дысперсійным аналізе^[en] (ANOVA) і іншых F-крытэрыях^[en]. Названае ў гонар Рональда Фішэра і Джорджа Снедэкора^{[en][2][3][4][5]}.

Размеркаванне Фішэра — Снедэкора

Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Параметры	d1, d2 > 0 ступені свабоды[en]
Носьбіт функцыі[en]	${\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}$ калі ${\displaystyle d_{1}=1}$, інакш ${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
Шчыльнасць імавернасці	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}$
Функцыя размеркавання	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$
Матэматычнае спадзяванне	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ для d2 > 2
Мода	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$ для d1 > 2
Дысперсія	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}$ для d2 > 4
Каэфіцыент асіметрыі	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}$ для d2 > 6
Энтрапія[en]	${\displaystyle \ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!}$ ${\displaystyle \left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!}$ ${\displaystyle +\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!}$[1]

Азначэнне

Размеркаванне Фішэра — Снедэкора з d₁ і d₂ ступенямі свабоды мае выпадковая велічыня

${\displaystyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}}$

дзе ${\textstyle S_{1}}$ і ${\textstyle S_{2}}$ — незалежныя хі-квадрат размеркаваныя выпадковыя велічыні з ступенямі свабоды, адпаведна, ${\textstyle d_{1}}$ і ${\textstyle d_{2}}$.

Можна паказаць, што шчыльнасць імавернасці X мае выгляд

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-(d_{1}+d_{2})/2}\end{aligned}}}$

для рэчаісных x > 0, дзе ${\displaystyle \mathrm {B} }$ — бэта-функцыя. У многіх прымяненнях параметры d₁ і d₂ цэлыя, але размеркаванне існуе і з рэчаіснымі дадатнымі значэннямі параметраў.

Функцыя імавернасці мае выгляд

${\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}$

дзе I — рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя.

Зноскі

1. Lazo, A.V.; Rathie, P. (1978). On the entropy of continuous probability distributions. IEEE Transactions on Information Theory. 24 (1). IEEE: 120–122. doi:10.1109/tit.1978.1055832.
2. Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz; N. Balakrishnan (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). Wiley. ISBN 0-471-58494-0.
3. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, рэд-ры (1983) [Чэрвень 1964]. Chapter 26. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 946. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
4. NIST (2006). Engineering Statistics Handbook — F Distribution
5. Mood, Alexander; Franklin A. Graybill; Duane C. Boes (1974). Introduction to the Theory of Statistics (Third ed.). McGraw-Hill. pp. 246–249. ISBN 0-07-042864-6.