Імавернасная ўтваральная функцыя

Імавернасная ўтваральная функцыя — адлюстраванне ў выглядзе ступеннага раду функцыі імавернасці выпадковай велічыні з дыскрэтным размеркаваннем.

Азначэнне

Няхай выпадковая велічыня ${\displaystyle \xi }$ прымае неадмоўныя значэнні 0, 1, 2, ${\displaystyle \dots }$ з імавернасцямі ${\displaystyle p_{0}}$, ${\displaystyle p_{1}}$, ${\displaystyle p_{2}}$, ${\displaystyle \dots }$ адпаведна. Імавернаснай утваральнай функцыяй выпадковай велічыні ${\displaystyle \xi }$ завецца функцыя^[1]

${\displaystyle \varphi _{\xi }(s)=\mathbb {E} [s^{\xi }]=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s^{n}.}$

Уласцівасці

З уласцівасцей імавернасці вынікае той факт, што ${\displaystyle \varphi _{\xi }(s)>0}$, калі ${\displaystyle s\in (0,1]}$ і ${\displaystyle \varphi _{\xi }(1)=1}$^[2].

Ведаючы толькі ўтваральную функцыю, можна адназначна атрымаць закон размеркавання, якому яна адпавядае, бо ${\displaystyle p_{n}=\varphi _{\xi }^{(n)}(0)/n!,}$ дзе ${\displaystyle \varphi _{\xi }^{(n)}(0)}$ — вытворная парадку ${\displaystyle n}$ утваральнай функцыі ў пункце 0. Такім чынам, паміж функцыямі імавернасці і імавернаснымі ўтваральнымі функцыямі існуе біекцыя^[2].

Прыклады

Біномнае размеркаванне

Біномнае размеркаванне мае ўтваральную функцыю^[2]

${\displaystyle \varphi _{\xi }(s)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}s^{k}=(ps+q)^{n}.}$

Размеркаванне Пуасона

Утваральная функцыя размеркавання Пуасона роўная^[2]

${\displaystyle \varphi _{\xi }(s)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }s^{k}=e^{-\lambda }e^{\lambda s}=e^{\lambda (s-1)}.}$

Геаметрычнае размеркаванне

Геаметрычнае размеркаванне ${\displaystyle P(\xi =k)=pq^{k},\;k=0,1,2,\dots }$ мае ўтваральную функцыю^[3]

${\displaystyle \varphi _{\xi }(s)=\sum _{k=0}^{\infty }pq^{k}s^{k}={\frac {p}{1-qs}}.}$

Раўнамернае размеркаванне

Раўнамернае размеркаванне для цэлых лікаў ад 0 да ${\displaystyle N-1}$ мае ўтваральную функцыю^[4]

${\displaystyle \varphi _{\xi }(s)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {s^{k}}{N}}={\frac {1}{N}}{\frac {1-s^{N}}{1-s}}.}$