Формула поўнага матэматычнага спадзявання

Формула поўнага матэматычнага спадзявання — закон тэорыі імавернасцей, які звязвае матэматычнае спадзяванне выпадковай велічыні з умоўным матэматычным спадзяваннем.

Фармулёўка

Няхай ${\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{n}}$ — поўная група падзей, такая што ${\displaystyle P(E_{k})>0}$ для ўсіх ${\displaystyle k=1,2,\dots ,n.}$ Тады для ўсякай выпадковай велічыні ${\displaystyle X}$, у якой існуюць адпаведныя матэматычныя спадзяванні, праўдзіцца роўнасць^[1]

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{k=1}^{n}P(E_{k})\mathbb {E} [X|E_{k}].}$

Доказ

Доказ формулы вынікае з азначэння ўмоўнага матэматычнага спадзявання:

${\displaystyle \mathbb {E} [X|E_{k}]={\frac {1}{P(E_{k})}}\int _{E_{k}}X(\omega )dP(\omega ).}$

Карыстаючыся тым, што ${\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{n}}$ — поўная група падзей і азначэннем вышэй, атрымліваем^[1]

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{\Omega }X(\omega )dP(\omega )=\sum _{k=1}^{n}\int _{E_{k}}X(\omega )dP(\omega )=\sum _{k=1}^{n}P(E_{k})\mathbb {E} [X|E_{k}].}$

Прыклад

Няхай толькі два заводы пастаўляюць электрычныя лямпачкі на рынак. Лямпачкі з завода ${\displaystyle X}$ працуюць у сярэднім 5000 гадзін, а лямпачкі з завода ${\displaystyle Y}$ — у сярэднім 4000 гадзін. Вядома, што завод ${\displaystyle X}$ пастаўляе 60 % ад агульнай колькасці даступных лямпачак. Якое матэматычнае спадзяванне часу дзеяння выпадкова набытай лямпачкі?

Скарыстаўшы формулу поўнага матэматычнага спадзявання, атрымліваем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} [L]&=\mathbb {E} [L\mid X]\operatorname {P} (X)+\mathbb {E} [L\mid Y]\operatorname {P} (Y)\\[3pt]&=5000(0.6)+4000(0.4)\\[2pt]&=4600,\end{aligned}}}$

дзе

• ${\displaystyle \mathbb {E} [L]}$ — матэматычнае спадзяванне часу дзеяння лямпачкі;
• ${\displaystyle \operatorname {P} (X)={6 \over 10}}$ — імавернасць таго, што набытая лямпачка была зроблена на заводзе ${\displaystyle X;}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (Y)={4 \over 10}}$ — імавернасць таго, што набытая лямпачка была зроблена на заводзе ${\displaystyle Y;}$
• ${\displaystyle \mathbb {E} [L\mid X]=5000}$ — матэматычнае спадзяванне часу дзеяння лямпачкі, зробленай на заводзе ${\displaystyle X;}$
• ${\displaystyle \mathbb {E} [L\mid Y]=4000}$ — матэматычнае спадзяванне часу дзеяння лямпачкі, зробленай на заводзе ${\displaystyle Y.}$

Такім чынам, выпадкова набытая лямпачка мае матэматычнае спадзяванне часу дзеяння, роўнае 4600 гадзінам.

Гл. таксама

• Формула поўнай імавернасці