Tetiva (geometrija)

Tetiva (lat. chorda) kružnice predstavlja duž čija oba kraja leže na toj kružnici. Generalnije, za tetivu se može reći da je ona bilo kakav linijski segment koji spaja dvije tačke na bilo kakvoj krivoj, kao što je na primjer elipsa. Tetiva koja prolazi kroz centar kružnice je u stvari prečnik te kružnice.^[1]

Crveni segment BX je tetiva
(kao što je segment AB (prečnik kružnice).

Tetiva kružnice

U osnovne osobine tetive kružnice spada sljedeće:

1. Tetive su ekvidistantne od centra kružnice samo ako su njihove dužine jednake.
2. Tetiva koja prolazi kroz centar kružnice se naziva prečnik tog kruga, i on je u stvari najduža tetiva te kružnice.
3. Ako se sekantne linije tetiva AB i CD sijeku u nekoj tački P, onda njihove dužine zadovoljavaju relaciju: ${\displaystyle AP*PB=CP*PD}$

Oblast koju tetiva "odsijeca" kod neke kružnice se naziva kružni segment.

Tetiva elipse

Središnje tačke neke dvije paralelne tetive unutar neke elipse su kolinearne.^[2]

Tetive u trigonometriji

Tetive su bile veoma korištene u početnim fazama razvoja trigonometrije. Prva poznata trigonometrijska tablica, napravljena od strane Hipparchusa, je sadržila vrijednisti funkcije tetive za svaki ugao u razmaku od 7.5 stepeni. U drugom vijeku nove ere, Ptolomej Aleksandrijski je napisao detaljniju tablicu vrijednosti funkcije tetive u svojoj knjizi o astronomiji, u kojoj su se nalazile vrijednosti za uglove između polovine stepena i 180 stepeni, uz koje je svaka naredna vrijednost ugla veća za jednu polovinu stepena.

Tetiva je geometrijski definisana kao što je prikazano na slici. Tetiva nekog ugla predstavlja dužinu tetive između dvije tačke na jediničnoj kružnici, koje su međusobno pomjerene za taj ugao. Funkcija tetive je povezana sa sinusnom funkcijom, postavljanjem vrijednosti koordinata jedne tačke na (1,0), i vrijednosti koordinata druge tačke na (cos θ, sin θ), i zatim primjenom Pitagorine teoreme, za dobijanje dužine te tetive:

${\displaystyle \mathrm {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$

Zadnji korak u formuli koristi trigonometrijski identitet polovičnog ugla. Kao što je moderna trigonometrija većinom zasnovana na sinusu, tako je i drevna trigonometrija bila zasnovana na funkciji tetive. Postoji mogućnost da je Hipparchus napisao dvanaest knjiga o tetivama, koje su izgubljene, zbog čega se vjeruje da je mnogo toga bilo poznato o njima. Funkcija tetive zadovoljava mnoge identitete, koji su analogni najpoznatijim modernim identitetima:

Ime	Sinusni identiteti	Tetivni identiteti
Pitagorina teorema	${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}$	${\displaystyle \mathrm {crd} ^{2}\theta +\mathrm {crd} ^{2}(180^{\circ }-\theta )=4\,}$
Identitet polovičnog ugla	${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\,}$	${\displaystyle \mathrm {crd} \ {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {2-\mathrm {crd} (180^{\circ }-\theta )}}\,}$
Apotema (a)	${\displaystyle c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}}$
Ugao (θ)	${\displaystyle c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$	${\displaystyle c={\frac {D}{2}}\mathrm {crd} \ \theta }$

Osim toga moguće je definisati i inverznu funkciju tetive kao:

${\displaystyle \operatorname {acrd} (y)=2\arcsin \left({\frac {y}{2}}\right)\,}$^[3]

Također pogledajte

• Trigonometrija
• Trigonometrijska kružnica
• Sinus
• Kosinus
• Tangens
• Kotangens
• Pitagorina teorema
• Exsekans i exkosekans
• Versinus i haversinus