Políedre de Catalan

En geometria, un sòlid de Catalan, o sòlid arquimedià dual és un políedre dual d'un sòlid arquimedià. Els sòlids de Catalan prenen el nom en honor del matemàtic belga Eugène Charles Catalan, qui els va descriure per primer cop el 1865.^[1]

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

El dodecàedre ròmbic és un dels 13 sòlids de Catalan.

Propietats

Cares uniformes

Tots els sòlids de Catalan són convexos. Com que els sòlids arquimedians tenen els vèrtexs uniformes, i la dualitat intercanvia el paper dels vèrtexs i les cares, els de Catalan tenen les cares uniformes: per a cada parella de cares, hi ha una simetria del sòlid que transforma que trasllada la primera sobre la segona. Per altra banda, com que els sòlids arquimedians no són uniformes respecte de les cares, els de Catalan no ho són respecte dels vèrtexs: de fet hi ha vèrtexs amb diferents plans incidents.

A diferència dels sòlids platònics i dels sòlids arquimedians, les cares dels sòlids de Catalan no són polígons regulars. Tanmateix els polígons que sorgeixen de truncar els vèrtexs són polígons regulars i presenten angles díedres iguals. A més, dos dels sòlids de Catalan, el dodecàedre ròmbic i el triacontàedre ròmbic són uniformes respecte de les arestes.

Quiralitat

Igual que per als seus duals els sòlids arquimedians, hi ha dos sòlids de Catalan amb quiralitat: l'icositetràedre pentagonal i l'hexacontàedre pentagonal. Són sòlids que no són equivalents a la seva imatge especular.

Els sòlids

A la taula, els grups de simetria O_h, I_h i T_d són respectivament el grup de simetria de l'octaedre, icosaedre i tetraedre. Els grups O i I són respectivament els subgrups d'O_h i I_h formats per les simetries que preserven l'orientació.

Nom	Imatge	Desenvolupament pla	Dual (sòlids arquimedians)	Cares	Arestes	Vèrtex	Polígons que formen les caes	Simetria
Tetràedre triakis	(Video)		Tetràedre truncat	12	18	8	Triangle isòsceles V3.6.6	Td
Dodecàedre ròmbic	(Video)		Cuboctàedre	12	24	14	Rombe V3.4.3.4	Oh
Octàedre triakis	(Video)		Cub truncat	24	36	14	Triangle isòsceles V3.8.8	Oh
Cub tetrakis	(Video)		Octàedre truncat	24	36	14	Triangle isòsceles V4.6.6	Oh
Icositetràedre trapezoïdal	(Video)		Rombicuboctàedre	24	48	26	Trapezoide V3.4.4.4	Oh
Octàedre hexakis	(Video)		Cuboctàedre truncat	48	72	26	Triangle escalè V4.6.8	Oh
Icositetràedre pentagonal	(Video)(Video)		Cub xato	24	60	38	Pentàgon irregular V3.3.3.3.4	O
Triacontàedre ròmbic	(Video)		Icosidodecàedre	30	60	32	Rombe V3.5.3.5	Ih
Icosàedre triakis	(Video)		Dodecàedre truncat	60	90	32	Triangle isòsceles V3.10.10	Ih
Dodecàedre pentakis	(Video)		Icosàedre truncat	60	90	32	Triangle isòsceles V5.6.6	Ih
Hexacontàedre trapezoïdal	(Video)		Rombicosidodecàedre	60	120	62	Pentàgon irregular V3.4.5.4	Ih
Icosàedre hexakis	(Video)		Icosidodecàedre truncat	120	180	62	Triangle escalè V4.6.10	Ih
Hexacontàedre pentagonal	(Video)(Video)		Dodecàedre xato	60	150	92	Pentàgon irregular V3.3.3.3.5	I

Enllaços externs

• Políedres I Arxivat 2009-05-09 a Wayback Machine. Pàgina 25
• Catalan Solid a MathWorld
• Archimedean duals – a Virtual Reality Polyhedra