Doprovodná matice

Doprovodná matice^[1] je termín z lineární algebry. Pro daný monický polynom ${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$ se tak nazývá čtvercová matice ve tvaru:

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}={\begin{pmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

Někteří autoři používají transpozici této matice, ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}^{\mathrm {T} }}$, což je vhodnější např. pro lineární rekurence (viz níže).

Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}}$ je odvozena z koeficientů polynomu ${\displaystyle p(x)}$, zatímco charakteristický polynom stejně jako minimální polynom matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}}$ jsou rovny ${\displaystyle p(x)}$.

Podobnost

K libovolné matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ s prvky z tělesa ${\displaystyle T}$ lze určit její charakteristický polynom ${\displaystyle p(x)=\det(x\mathbf {I} -{\boldsymbol {A}})}$a jemu přísluší doprovodná matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}}$. Platí, že matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je podobná ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}}$, právě když se minimální polynom matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ shoduje s jejím charakteristickým polynomem ${\displaystyle p(x)}$, čili když minimální polynom má stupeň ${\displaystyle n}$.

Ne každá čtvercová matice je podobná doprovodné matici, ale každá čtvercová matice je podobná blokové diagonální matici vytvořené z doprovodných matic. Pokud je požadováno, aby charakteristický polynom každého diagonálního bloku dělil charakteristický polynom následujícího bloku, jsou tyto bloky jednoznačně určeny maticí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Diagonalizovatelnost

Kořeny charakteristického polynomu ${\displaystyle p(x)}$ jsou vlastní čísla matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}}$. Má-li matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}}$ celkem ${\displaystyle n}$ různých vlastních čísel ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$, pak je matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}}$ diagonalizovatelná. Zároveň platí ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}={\boldsymbol {V}}^{-1}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {V}}}$, kde ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ je diagonální matice a ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}}$ je Vandermondova matice, obě odpovídající vlastním číslům ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$:

${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}={\begin{pmatrix}1&\lambda _{1}&\lambda _{1}^{2}&\cdots &\lambda _{1}^{n-1}\\1&\lambda _{2}&\lambda _{2}^{2}&\cdots &\lambda _{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\lambda _{n}&\lambda _{n}^{2}&\cdots &\lambda _{n}^{n-1}\end{pmatrix}}}$.

Pro každé ${\displaystyle \lambda _{i}}$ je vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{i}=(1,\lambda _{i},\ldots ,\lambda _{i}^{n-1})^{\mathrm {T} }}$vlastním vektorem matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}^{\mathrm {T} }}$, protože přímočarým výpočtem lze ověřit, že první rovnost soustavy ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {v}}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {v}}_{i}}$ odpovídá ověření, že ${\displaystyle \lambda _{i}}$ je kořenem charakteristického polynomu:${\displaystyle p(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}+\lambda _{i}^{n}=0}$; a ostatní rovnosti soustavy jsou identity typu ${\displaystyle \lambda _{i}^{k}=\lambda _{i}^{k}}$. Matici ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}^{\mathrm {T} }}$ lze proto diagonalizovat pomocí matice přechodu ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{\mathrm {T} }=({\boldsymbol {v}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {v}}_{n})}$, neboli ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {V}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Lambda }}({\boldsymbol {V}}^{\mathrm {T} })^{-1}}$, a transpozice obou stran vede na vztah ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}={\boldsymbol {V}}^{-1}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {V}}}$.

Vlastní vektory matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}}$ splňující ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}{\boldsymbol {w}}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {w}}_{i}}$ lze odvodit přímo z rovnice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}={\boldsymbol {V}}^{-1}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {V}}}$ : jsou to sloupce matice inverzní k Vandermondově matici ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{-1}=({\boldsymbol {w}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {w}}_{n})}$. Uvedené vlastní vektory lze popsat přímo, protože jsou složeny z koeficientů Lagrangeových polynomů, neboli ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}_{i}=(L_{0i},\ldots ,L_{(n-1)i})^{\mathrm {T} }}$, kde:${\displaystyle L_{i}(x)=L_{0i}+L_{1i}x+\cdots +L_{(n-1)i}x^{n-1}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}={\frac {p(x)}{(x-\lambda _{i})\,p'(\lambda _{i})}}.}$ Uvedené vlastní vektory vlastní vektory lze naškálovat na ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {w}}}_{i}=p'(\lambda _{i})\,{\boldsymbol {w}}_{i}}$ a získat vektory s ještě jednodušším vyjádřením.

Pokud má charakteristický polynom ${\displaystyle p(x)}$ násobné kořeny, potom matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}}$ není diagonalizovatelná. Přesněji řečeno, Jordanův normální tvar matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}}$ obsahuje pro každý kořen ${\displaystyle \lambda }$ násobnosti ${\displaystyle m}$ jeden diagonální blok řádu ${\displaystyle m}$.

Použití

Rekurentní posloupnosti

Lineární rekurentní posloupnost daná vztahem ${\displaystyle a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}\cdots -c_{n-1}a_{k+n-1}}$ pro ${\displaystyle k\geq 0}$ má charakteristický polynom ${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$. Transpozice doprovodné matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}^{\mathrm {T} }}$ určuje posloupnost vektorů:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n-1}\\a_{k+n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-2}\\a_{k+n-1}\end{pmatrix}}}$.

Mezi vlastní vektory této matice patří i ${\displaystyle (1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1})^{\mathrm {T} }}$, kde ${\displaystyle \lambda }$ je její libovolné vlastní číslo, neboli kořen charakteristického polynomu ${\displaystyle p(x)}$. Geometrická posloupnost ${\displaystyle a_{k}=\lambda ^{k}}$ je jednou z možných posloupností, jež vyhovuje rekurentnímu předpisu.

Má-li matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{p}}$ celkem ${\displaystyle n}$ různých vlastních čísel ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$, potom lze ${\displaystyle k}$-tý prvek posloupnosti zapsat jako lineární kombinaci ${\displaystyle a_{k}=\alpha _{1}\lambda _{1}^{k}+\cdots +\alpha _{n}\lambda _{n}^{k}}$, přičemž koeficienty ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ závisí na prvních ${\displaystyle n}$ předepsaných prvcích dané posloupnosti ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1}}$. Vlastní čísla největší absolutní hodnoty pak poskytují asymptotický odhad.