Kosmická rychlost

Kosmická rychlost je rychlost potřebná k překonání gravitačního působení kosmického tělesa. Existuje několik kosmických rychlostí, běžně se lze setkat s prvními třemi.^[1]

První umělá tělesa, která dosáhla 3. kosmické rychlosti a unikla tak z přitažlivosti Slunce, byly sondy Pioneer 10 a 11

1. kosmická rychlost

Podrobnější informace naleznete v článku Kruhová rychlost.

Kruhová rychlost je minimální rychlost, kterou se musí těleso v gravitačním poli jiného tělesa pohybovat, aby nespadlo na povrch obíhaného tělesa. Obíhající těleso se při ní pohybuje po kruhové trajektorii. Velikost 1. kosmické rychlosti lze určit ze vztahu

${\displaystyle v_{k}={\sqrt {\frac {GM}{r}}}={\sqrt {\frac {\mu }{r}}}}$,

kde ${\displaystyle v_{k}}$ je rychlost, ${\displaystyle G}$ gravitační konstanta, ${\displaystyle M}$ hmotnost obíhaného tělesa, ${\displaystyle r}$ vzdálenost středů obou těles (obvykle součet poloměru obíhaného tělesa — např. Země — a výšky trajektorie nad povrchem) a ${\displaystyle \mu }$ gravitační parametr.

1. kosmická rychlost označuje kruhovou rychlost v gravitačním poli Země. Z její velikosti například vyplývá výška geostacionární dráhy.

Odvození vztahu

Pohybuje-li se těleso po kružnici, působí na něj dostředivá síla, v případě pohybu v gravitačním poli se jedná o sílu gravitační. Zároveň na něj působí opačným směrem setrvačná odstředivá síla. Má-li obíhající těleso zachovat stálou vzdálenost od druhého tělesa, které obíhá, musí být uvedené dvě síly v rovnováze:

${\displaystyle {\vec {F_{d}}}=-{\vec {F_{g}}}}$,

kde ${\displaystyle F_{d}}$ je síla odstředivá a ${\displaystyle F_{g}}$ síla gravitační (dostředivá). Pro velikosti těchto sil pak platí:

${\displaystyle F_{d}=F_{g}}$

Po dosazení vztahu pro odstředivou sílu a Newtonova gravitačního zákona:

${\displaystyle {\frac {m\cdot v^{2}}{r}}=G{\frac {mM}{r^{2}}}}$,

kde m je hmotnost obíhajícího tělesa a M hmotnost obíhaného tělesa. Po úpravách:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r}}}}$

2. kosmická rychlost

Podrobnější informace naleznete v článku Úniková rychlost.

Úniková rychlost, neboli parabolická rychlost, je minimální rychlost, kterou se musí těleso v gravitačním poli jiného tělesa pohybovat, aby mohlo toto gravitační pole opustit. Obíhající těleso se při ní pohybuje po parabolické trajektorii. Velikost únikové rychlosti lze určit ze vztahu

${\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}={\sqrt {2}}\cdot v_{k}}$,

kde ${\displaystyle v_{p}}$ je rychlost (úniková), kde ${\displaystyle v_{k}}$ kruhová rychlost, ${\displaystyle G}$ gravitační konstanta, ${\displaystyle M}$ hmotnost tělesa, v jehož gravitačním poli se druhé těleso pohybuje, ${\displaystyle r}$ vzdálenost středů obou těles (obvykle součet poloměru obíhaného tělesa — např. Země — a výšky trajektorie nad povrchem) a ${\displaystyle \mu }$ gravitační parametr.

2. kosmická rychlost označuje únikovou rychlost z gravitačního pole Země. Pro start tělesa přímo z povrchu Země má toto těleso již od počátku rotační rychlost Země (způsobenou otáčením Země kolem vlastní osy), se kterou je nutné dále počítat. V kosmonautice se této skutečnosti s výhodou využívá, rakety proto běžně startují směrem na východ a pokud možno z co nejnižší zeměpisné šířky (na rovníku je největší obvodová rychlost).

Odvození vztahu

Dle zákona zachování energie zůstává součet pohybové a polohové energie tělesa zachován, tedy:

${\displaystyle E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}}$

a po dosazení:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}+(-G{\frac {mM}{r}})=0+0}$.

Pohybová energie je po opuštění gravitačního pole nulová, protože počítáme s minimální možnou rychlostí a proto předpokládáme, že se veškerá pohybová energie spotřebuje. Polohová energie tělesa opustivšího gravitační pole je také nulová. Zároveň však s rostoucí vzdáleností od středu gravitačního pole tato energie stoupá a proto musí mít v rovnici záporné znaménko (viz článek gravitační potenciální energie). Po úpravě:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$

3. kosmická rychlost

Podrobnější informace naleznete v článku 3. kosmická rychlost.

3. kosmická rychlost, neboli hyperbolická rychlost, je úniková rychlost z gravitačního pole Slunce. Pro její velikost tedy platí vztah pro únikovou rychlost, s hodnotou hmotnosti Slunce. Těleso se při ní pohybuje po hyperbolické trajektorii, v kosmonautice se však k jejímu dosažení využívá gravitačních manévrů, které pochopitelně trajektorii mění. Při startu ze Země je potřeba kromě rotační rychlosti Země (viz část 2. kosmická rychlost) přičíst i 2. kosmickou rychlost, kterou těleso potřebuje k opuštění gravitačního pole Země.

Prvními tělesy vyrobenými lidmi, která získala třetí kosmickou rychlost a v budoucnu tak opustí Sluneční soustavu, jsou sondy Pioneer 10 a 11. Pioneer 10 byl vypuštěn 3. března 1972 a brzy po startu získal rychlost 14,5 km·s⁻¹. Pioneer 11 byl vypuštěn 6. dubna 1973 a po startu získal rychlost 14,3 km·s⁻¹. Tyto rychlosti jsou samozřejmě nižší než 3. kosmická rychlost, byly však později zvýšeny pomocí gravitačního praku. Dalšími sondami, které opouštějí Sluneční soustavu jsou Voyager 1 (vypuštěn 5. září 1977), Voyager 2 (vypuštěn 20. srpna 1977) a New Horizons (vypuštěn 19. ledna 2006).

Ostatní kosmické rychlosti

• 4. kosmická rychlost – rychlost potřebná k dosažení Slunce.^[2] Pro start z povrchu Země je její hodnota 31,8 km/s.
• 5. kosmická rychlost – rychlost potřebná k úniku z gravitačního působení Slunce ve směru kolmém k rovině ekliptiky, pro start z povrchu Země je její hodnota asi 52,8 km/s.
• 6. kosmická rychlost – rychlost potřebná k úniku z gravitačního působení Slunce ve směru proti oběhu Země okolo Slunce (rozdíl oproti 3. kosmické rychlosti). Na povrchu Země činí 72,8 km/s.

Tabulky

U těles označených * je poloměr určen horní hranicí mračen v atmosféře (resp. hranicí heliosféry u Slunce).

Kruhová rychlost

Těleso	vk (km·s−1)
Slunce*	440
Merkur	3,01
Venuše	7,33
Země	7,91
Měsíc	1,68
Mars	3,56
Jupiter*	42,11
Saturn*	25,10
Uran*	15,60
Neptun*	16,62
Pluto	0,86

1. kosmická rychlost z různých výšek nad povrchem Země

Výška nad povrchem Země (km)	Kruhová rychlost (km·s−1)	Poznámka
0	7,905
200	7,784	Nejnižší dráhy umělých družic
500	7,613
1000	7,350
5000	5,919
10 000	4,933
20 200	3,880	navigační družice GPS
36 000	3,067	geostacionární družice
50 000	2,659
100 000	1,936
384 400	1,022	dráha Měsíce
500 000	0,887

Úniková rychlost z povrchů těles Sluneční soustavy

Planeta	Rychlost (km·s−1)
Slunce*	620
Merkur	4,25
Venuše	10,36
Země	11,18
Měsíc	2,40
Mars	5,03
Jupiter*	59,55
Saturn*	35,51
Uran*	21,29
Neptun*	23,50

3. kosmická rychlost

Z oběžné dráhy Země	42,1 km·s−1
Z povrchu Země (se započtením oběžné rychlosti Země a 2. kosmické rychlosti)	16,7 km·s−1