Kosmická rychlost

Kosmická rychlost je rychlost potřebná k překonání gravitačního působení kosmického tělesa. Existuje několik kosmických rychlostí, běžně se lze setkat s prvními třemi.^[1]

1. kosmická rychlost

Podrobnější informace naleznete v článku Kruhová rychlost.

Trajektorie kruhové rychlosti kolem planety Země

Kruhová rychlost je minimální rychlost, kterou musí těleso v gravitačním poli jiného tělesa dosáhnout, aby nespadlo zpět na jeho povrch a povrch tak opustilo. Obíhající těleso (například družice) se při ní pohybuje po kružnicové trajektorii a daná minimální rychlost se nazývá kruhová rychlost a její velikost lze určit ze vztahu:

${\displaystyle v_{k}={\sqrt {\frac {GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}}$

kde ${\displaystyle v_{k}}$ je kruhová rychlost, ${\displaystyle G}$ (někdy značena jako κ) je gravitační konstanta, ${\displaystyle M}$ hmotnost obíhaného tělesa, ${\displaystyle r}$ vzdálenost středů obou těles (např. planety Země a družice) a ${\displaystyle \mu }$ gravitační parametr.^[2]

1. kosmická rychlost je číselně rovna kruhové rychlosti.

Většinou (bez udání podrobnějších informací) se jako 1. kosmická rychlost, bere v úvahu taková hodnota, která je vypočtená při oběhu ve velmi malé výšce nad povrchem. Pro planetu Zemi je takto vypočtená hodnota 1. kosmické rychlostí přibližně 7,9 km/s.^[3] S narůstající výškou nad zemí se kruhové rychlosti už jen snižuje.

Odvození vztahu

Pohybuje-li se těleso po kružnici, působí na něj dostředivá síla, v případě pohybu v gravitačním poli je dostředivou silou síla gravitační. Zároveň na něj působí opačným směrem setrvačná odstředivá síla. Má-li obíhající těleso zachovat stálou vzdálenost od tělesa, které obíhá, musí být uvedené dvě síly v rovnováze:

${\displaystyle {\vec {F_{d}}}=-{\vec {F_{g}}}}$,

kde ${\displaystyle F_{d}}$ je síla odstředivá a ${\displaystyle F_{g}}$ síla gravitační (dostředivá). Pro velikosti těchto sil pak platí:

${\displaystyle F_{d}=F_{g}}$

Po dosazení vztahu pro odstředivou sílu a Newtonova gravitačního zákona:

${\displaystyle {\frac {m\cdot v^{2}}{r}}=G{\frac {mM}{r^{2}}}}$,

kde m je hmotnost obíhajícího tělesa a M hmotnost obíhaného tělesa. Po úpravách je kruhová rychlost:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r}}}}$

2. kosmická rychlost

Podrobnější informace naleznete v článku Úniková rychlost.

Úniková rychlost (též parabolická rychlost) je minimální rychlost, kterou se musí těleso v gravitačním poli jiného tělesa pohybovat, aby mohlo jeho gravitační pole úplně opustit. Obíhající těleso se při ní pohybuje po parabolické trajektorii. Velikost únikové rychlosti lze určit ze vztahu

${\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}={\sqrt {2}}\cdot v_{k}}$,

kde ${\displaystyle v_{p}}$ je úniková rychlost, kde ${\displaystyle v_{k}}$ kruhová rychlost, ${\displaystyle G}$ gravitační konstanta, ${\displaystyle M}$ hmotnost tělesa, v jehož gravitačním poli se druhé těleso pohybuje, ${\displaystyle r}$ vzdálenost středů obou těles a ${\displaystyle \mu }$ gravitační parametr.

2. kosmická rychlost je číselně rovna únikové rychlosti. Pro planetu Zemi (opět v blízkosti povrchu) činí přibližně 11,2 km/s.^[3]

Pro start tělesa (typicky rakety) přímo z povrchu Země má toto těleso již od počátku rotační rychlost Země, se kterou je nutné dále počítat. V kosmonautice se této skutečnosti s výhodou využívá, rakety proto běžně startují směrem na východ a pokud možno z co nejnižší zeměpisné šířky, na rovníku je obvodová rychlost největší, přibližně 465 m/s.^[4]

Odvození vztahu

Dle zákona zachování energie zůstává součet pohybové a polohové energie tělesa zachován, tedy:

${\displaystyle E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}}$

a po dosazení:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}+(-G{\frac {mM}{r}})=0+0}$.

Pohybová energie je po opuštění gravitačního pole nulová, protože počítáme s minimální možnou rychlostí a proto předpokládáme, že se veškerá pohybová energie spotřebuje. Polohová energie tělesa opustivšího gravitační pole je také nulová. Zároveň však s rostoucí vzdáleností od středu gravitačního pole tato energie stoupá a proto musí mít v rovnici záporné znaménko. Po úpravě:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$

Podrobnější informace naleznete v článku Gravitační potenciální energie.

3. kosmická rychlost

Podrobnější informace naleznete v článku 3. kosmická rychlost.

3. kosmická rychlost (též hyperbolická rychlost), je úniková rychlost z gravitačního pole Slunce. Je to minimální rychlost pro opuštění Sluneční soustavy.

První umělá tělesa, která dosáhla 3. kosmické rychlosti a unikla tak z přitažlivosti Slunce, byly sondy Pioneer 10 a 11

Pro její velikost platí vztah pro únikovou rychlost, s hodnotou hmotnosti Slunce. Těleso se při ní pohybuje po hyperbolické trajektorii. V kosmonautice se však k jejímu dosažení využívá různých gravitačních manévrů, které trajektorii mění. Při startu ze Země je potřeba přičíst i 2. kosmickou rychlost, kterou těleso potřebuje k opuštění gravitačního pole Země.

Umělé družice, které dosáhly 3. kosmické rychlosti

Prvními tělesy vyrobenými lidmi, která získala 3. kosmickou rychlost, a mají potenciál opustit Sluneční soustavu, byly sondy Pioneer 10 a Pioneer 11.

Pioneer 10 byl vypuštěn 3. března 1972 a brzy po startu získal rychlost 14,5 km·s⁻¹. Poslední spojení s ním bylo navázáno 23. ledna 2003 ve vzdálenosti 80 AU.^[5] Pioneer 11 byl vypuštěn 6. dubna 1973 a po startu získal rychlost 14,3 km·s⁻¹. Spojení s ním bylo ztraceno v září 1995, kdy se sonda nacházela za oběžnou drahou Pluta (vzdálenost Pluta od Slunce osciluje mezi 30-49 AU). Rychlosti po startu byly nižší než 3. kosmická rychlost, byly však později zvýšeny pomocí gravitačního praku.

Dalšími sondami, které opouštějí Sluneční soustavu jsou Voyager 1 (vypuštěna 5. září 1977), Voyager 2 (vypuštěna 20. srpna 1977) a New Horizons (vypuštěn 19. ledna 2006).

Start nejnovější mezihvězdné sondy New Horizons (2006)

V červenci 2025 byla sonda Voyager 1 vzdálena od Slunce 168 AU, Voyager 2 140 AU^[6] a New Horizons 62 AU.^[7] Sondy mají dostatečnou rychlost pro opuštění Sluneční soustavy, ale nelze tvrdit, že ji opustily. Jsou ale již daleko od oběžných drah planet, v místech, kde ještě žádná umělá družice nebyla. Se všemi těmito sondami je NASA ve spojení.

Hranice Sluneční soustavy nejsou přesně ohraničeny, ale Sluneční soustava přechází v mezihvězdný prostor postupně. Pro srovnání heliosféra, oblast, kam zasahuje vliv magnetického pole Slunce zasahuje do vzdálenosti 110 – 160 AU^[8] a okraj Sluneční soustavy je tvořen (předpokládaným) Oortovým oblakem o průměru 100 000 AU.^[9]

Další kosmické rychlosti

• 4. kosmická rychlost – rychlost potřebná k dosažení Slunce.^[10] Pro start z povrchu Země je její hodnota 31,8 km/s.
• 5. kosmická rychlost – rychlost potřebná k úniku z gravitačního působení Slunce ve směru kolmém k rovině ekliptiky, pro start z povrchu Země je její hodnota asi 52,8 km/s.
• 6. kosmická rychlost – rychlost potřebná k úniku z gravitačního působení Slunce ve směru proti oběhu Země okolo Slunce (rozdíl oproti 3. kosmické rychlosti). Na povrchu Země činí 72,8 km/s.

Tabulky

U těles označených * je poloměr určen horní hranicí mračen v atmosféře (resp. hranicí heliosféry u Slunce).

Kruhová rychlost

Těleso	vk (km·s−1)
Slunce*	440
Merkur	3,01
Venuše	7,33
Země	7,91
Měsíc	1,68
Mars	3,56
Jupiter*	42,11
Saturn*	25,10
Uran*	15,60
Neptun*	16,62
Pluto	0,86

1. kosmická rychlost z různých výšek nad povrchem Země

Výška nad povrchem Země (km)	Kruhová rychlost (km·s−1)	Poznámka
0	7,905
200	7,784	Nejnižší dráhy umělých družic
500	7,613
1000	7,350
5000	5,919
10 000	4,933
20 200	3,880	navigační družice GPS
36 000	3,067	geostacionární družice
50 000	2,659
100 000	1,936
384 400	1,022	dráha Měsíce
500 000	0,887

2. kosmická rychlost (úniková rychlost z povrchů těles Sluneční soustavy)

Planeta	Rychlost (km·s−1)
Slunce*	620
Merkur	4,25
Venuše	10,36
Země	11,18
Měsíc	2,40
Mars	5,03
Jupiter*	59,55
Saturn*	35,51
Uran*	21,29
Neptun*	23,50

3. kosmická rychlost

Z oběžné dráhy Země	42,1 km·s−1
Z povrchu Země (se započtením oběžné rychlosti Země a 2. kosmické rychlosti)	16,7 km·s−1