Polospojitá funkce

Přesněji funkce polospojitá shora a funkce polospojitá zdola jsou pojmy používané v matematické analýze. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než spojitost, nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Funkce ${\displaystyle f}$ je shora polospojitá v bodě ${\displaystyle x}$, pokud pro body ${\displaystyle y}$ blízké bodu ${\displaystyle x}$ není ${\displaystyle f(y)}$ o moc větší než ${\displaystyle f(x)}$. Funkce ${\displaystyle f}$ je zdola polospojitá v bodě ${\displaystyle x}$, pokud pro body ${\displaystyle y}$ blízké bodu ${\displaystyle x}$ není ${\displaystyle f(y)}$ o moc menší než ${\displaystyle f(x)}$.

Definice

Shora polospojitá funkce.

• Funkce ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$, kde ${\displaystyle X}$ je topologický prostor, je shora polospojitá v bodě ${\displaystyle x\in X}$, pokud pro každé ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje okolí ${\displaystyle U}$ bodu ${\displaystyle x}$ tak, že pro každé ${\displaystyle y\in U}$ platí ${\displaystyle f(y)<f(x)+\varepsilon }$.

• Funkce ${\displaystyle f}$ je shora polospojitá v ${\displaystyle X}$ , jestliže je shora polospojitá v každém bodě ${\displaystyle x\in X}$. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru ${\displaystyle \{x\in X:f(x)<\varepsilon \}}$ otevřené.

Ekvivalentně můžeme říci, že ${\displaystyle f}$ je shora polospojitá v bodě ${\displaystyle x}$, pokud ${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)}$.

Zdola polospojitá funkce.

• Funkce ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$, kde ${\displaystyle X}$ je topologický prostor, je zdola polospojitá v bodě ${\displaystyle x\in X}$, pokud pro každé ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje okolí ${\displaystyle U}$ bodu ${\displaystyle x}$ tak, že pro každé ${\displaystyle y\in U}$ platí ${\displaystyle f(y)>f(x)-\varepsilon }$.

• Funkce ${\displaystyle f}$ je zdola polospojitá v ${\displaystyle X}$ , jestliže je zdola polospojitá v každém bodě ${\displaystyle x\in X}$. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru ${\displaystyle \{x\in X:f(x)>\varepsilon \}}$ otevřené.

Ekvivalentně můžeme říci, že ${\displaystyle f}$ je zdola polospojitá v bodě ${\displaystyle x}$, pokud ${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)}$.

Vlastnosti

• Nerovnost ${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)\leq \liminf _{y\to x}f(y)}$ ukazuje, že pokud je ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle x}$ polospojitá shora i zdola, je již v bodě ${\displaystyle x}$ spojitá.
• Nerovnost ${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\geq f(x)\geq \liminf _{y\to x}f(y)}$ ukazuje, že pokud je ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle x}$ polospojitá shora i zdola, je již v bodě ${\displaystyle x}$ spojitá.
• Funkce ${\displaystyle f}$, která je shora polospojitá na kompaktním prostoru ${\displaystyle X}$, je již nutně shora omezená na ${\displaystyle X}$ a má na ${\displaystyle X}$ maximum.
• Funkce ${\displaystyle f}$, která je zdola polospojitá na kompaktním prostoru ${\displaystyle X}$, je již nutně zdola omezená na ${\displaystyle X}$ a má na ${\displaystyle X}$ minimum.
• Protože ${\displaystyle \{\sup _{f\in {\mathcal {F}}}f>a\}=\bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}\{f>a\}}$, je supremum libovolného systému zdola polospojitých funkcí ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ opět zdola polospojité.
• Protože ${\displaystyle \{\sup _{f\in {\mathcal {F}}}f>a\}=\bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}\{f>a\}}$, je infimum libovolného systému shora polospojitých funkcí ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ opět zdola polospojité.
• Naopak supremum shora polospojitých (nebo dokonce spojitých) funkcí nemusí být shora polospojité, jak ukazuje příklad ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\arctan(n):n\in \mathbb {N} \}}$.

Příklady

• Charakteristická funkce otevřené množiny je zdola polospojitá.
• Charakteristická funkce uzavřené množiny je shora polospojitá.
• Norma na Banachově prostoru ${\displaystyle X}$ je slabě polospojitá zdola (tedy zdola polospojitá na topologickém prostoru ${\displaystyle (X,w)}$). Je-li dimenze ${\displaystyle X}$ nekonečná, norma nemůže být slabě polospojitá shora, tedy ani slabě spojitá.

Související články

• Spojitá funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu polospojitá funkce na Wikimedia Commons