Stirlingův vzorec

Stirlingův vzorec (též Stirlingova formule) je nejznámější aproximací faktoriálu pro vysoké hodnoty argumentu. Stejně dobře jde vzorec použít i pro aproximaci gama funkce, která v podstatě představuje zobecnění faktoriálu a to na obor komplexních čísel. Je pojmenován po skotském matematikovi Jamesi Stirlingovi.

Graf Stirlingova vzorce

Stirlingův vzorec zní:

${\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

Symbolu „přibližně“ je nutno rozumět tak, že asymptoticky platí:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1}$

S rostoucím ${\displaystyle n}$ tedy Stirlingův vzorec procentuálně čím dál lépe aproximuje faktoriál. Absolutní odchylka faktoriálu a jeho Stirlingovy aproximace ovšem k nule nejde.

Představu o přesnosti tohoto vztahu si lze udělat z procentuální odchylky faktoriálu od Stirlingova vzorce. Tato odchylka je vždy kladná, tedy Stirlingův vzorec je vždy o něco menší než daný faktoriál. Z tabulky je patrné, že již pro ${\displaystyle n=1}$ je odchylka docela malá. Pro ${\displaystyle n=0}$ nemá Stirlingův vzorec smysl (není-li speciálně definována nula na nultou).

Odchylka n! od Stirlingova vzorce

n	${\displaystyle \delta _{n!}}$
1	7,7863 %
2	4,0497 %
5	1,6509 %
10	0,8295 %
20	0,4 %
40	0,2 %
60	0,1 %

Stirlingův vzorec se používá hlavně při výpočtu limit, kde vystupuje faktoriál. Ve fyzice nalézá velké uplatnění ve statistické fyzice.

Odvození

Nejlépe lze Stirlingův vzorec odvodit z definice funkce gama, platí totiž:

${\displaystyle n!=\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\exp(-x+n\ln x)\,\mathrm {d} x}$

Argument v exponenciále nabývá maxima pro ${\displaystyle x=n}$, bude proto vhodné vůči tomuto bodu funkci aproximovat pomocí Taylorovy řady. První derivace je zde nulová, jelikož se jedná o maximum, druhá derivace je záporná a rovna ${\displaystyle \textstyle -{\frac {1}{n}}}$.

Dostáváme tedy:

${\displaystyle n!\approx \int _{0}^{\infty }\exp \left(n\ln n-n-{\frac {1}{2n}}(x-n)^{2}\right)\,\mathrm {d} x}$

Kde první člen v exponenciále odpovídá funkční hodnotě v maximu, koeficient u kvadrátu je polovinou druhé derivace.

Další úpravou výrazu dostaneme:

${\displaystyle n!\approx \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {1}{2n}}(x-n)^{2}\right)\,\mathrm {d} x={\sqrt {2n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\int _{-{\sqrt {\frac {n}{2}}}}^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x}$

Poslední integrovaná funkce nabývá vysokých hodnot pouze v okolí počátku, a proto můžeme předpokládat, že rozšířením integračního oboru na celá reálná čísla se nedopustíme velké chyby (zajímají nás případy, kdy je ${\displaystyle n}$ velké). Pak je poslední integrál Gaussův integrál a je roven ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$. Po dosazení tedy konečně vychází:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

Což je právě Stirlingův vzorec. Toto odvození je nutno brát s rezervou, nikde jsme totiž neodhadli chybu výpočtu.

Za hranice klasického Stirlingova vzorce

Stirlingův vzorec je prvním členem asymptotického rozvoje gama funkce, tedy rozvoje, který dobře vystihuje chování faktoriálu v nekonečnu.

Chceme-li vystihnout chování faktoriálu v nekonečnu ještě lépe, je třeba použít i další členy asymptotického rozvoje gama funkce. Stirlingova asymptotická řada pro faktoriál má pak tvar:

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({n \over e}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right).}$

Tato řada umožňuje přinejmenším odhadnout chybu Stirlingovy formule, okamžitě vidíme, že velikost relativní chyby je pro velká ${\displaystyle n}$ rovna ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{12n}}}$. Tento odhad relativní chyby velmi dobře odpovídá chybám uvedeným v tabulce.

Poznamenejme, že uvedená asymptotická řada bodově nekonverguje, pro určité pevné ${\displaystyle n}$ se tedy od určitého členu začne součet řady vzdalovat od hodnoty, kterou má aproximovat. Vyšší členy mají tedy smysl hlavně pro velká ${\displaystyle n}$.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Stirlingův vzorec na Wikimedia Commons

Portály: Matematika