Loading AI tools
Methode zur Beschreibung zeitdiskreter Systeme Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich (zyklisch) abgetasteten Signalen und linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Sie ist aus der Laplace-Transformation entstanden und hat auch ähnliche Eigenschaften und Berechnungsregeln. Die z-Transformation gilt für Signale im diskreten Zeitbereich (Wertefolgen), während die Laplace-Transformation für entsprechende Berechnungen im kontinuierlichen Zeitbereich dient. (Bezüglich des Zusammenhangs zwischen z-Transformation und Laplace-Transformation siehe auch: Matched-z-Transformation.)
Ein Vorteil der Anwendung der z-Transformation ergibt sich, wenn eine Wertefolge und eine systembeschreibende Differenzengleichung in eine algebraisch zusammengefasste z-Übertragungsfunktion überführt wird. Die z-Übertragungsfunktion dient der Systemanalyse, d. h. der Analyse des Systemverhalten bei verschiedenen Anregungen und insbesondere auch der Stabilitätsanalyse. Der Verlauf der Systemausgangsgröße kann bei gegebener Eingangsgröße durch verschiedene Methoden der inversen z-Transformation in den zeitdiskreten Bereich und dann im Zeitbereich dargestellt werden.
Die z-Transformation wird größtenteils für die digitale Steuer- und Regelungstechnik und zur Berechnung digitaler Filter angewendet. Man kann sie aber auch zur Gewinnung von expliziten Formeln für rekursiv definierte Zahlenfolgen einsetzen.
Die grundsätzlichen Ideen zur z-Transformation gehen auf Pierre-Simon Laplace zurück und wurden 1947 von Witold Hurewicz zur Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten verwendet.[Einzelnachweise 1]
Ursprünglich wurde sie als „Laplace-Transformation von Abtastfunktionen“ eingeführt, im Jahr 1952 erfolgte die heute übliche Begriffsfestlegung z-Transformation durch John R. Ragazzini und Lotfi A. Zadeh bei Arbeiten mit zeitdiskreten Daten im Rahmen der Regelungstechnik an der Columbia University.[Einzelnachweise 2][Einzelnachweise 3]
Die Modifizierte z-Transformation geht auf Arbeiten von Eliahu Ibrahim Jury aus dem Jahr 1958 zurück.[Einzelnachweise 4]
Der z-Bereich ist eine abstrakte mathematische Welt, die eine Reihe von Eigenschaften hat, die bei Untersuchungen von Systemeigenschaften sehr hilfreich ist (Zitat: Vorlesungsskript Uni Wien).
Abgetastete Signale werden benötigt, wenn Computer zeitinvariante dynamische Systeme und Signale zeitdiskret in Form von Differenzengleichungen berechnen sollen. Dabei geht es meist um die Anwendung für die digitale Regelung und Regelstrecken.
Abgetastete Signale im Abstand können mit Hilfe der z-Transformation mathematisch definiert werden. Die zeitkontinuierliche Beschreibung des abgetasteten Signals als modulierte Impulsfolgen mit stellt nur eine mathematische Modellvorstellung dar. Die unendlich hohen und schmalen Dirac-Impulse existieren in Wirklichkeit nicht. In der Realität müssen die zeitlichen Abtastfolgen sehr klein im Verhältnis der Systemzeitkonstanten liegen, anderenfalls wird das Rechenergebnis ungenau. Die rekursiven Differenzengleichungen bilden nur Annäherungen an eine gewünschte Originalfunktion.
Die z-Transformation hat für diskrete Systeme dieselbe Bedeutung, wie die Laplace-Transformation für kontinuierliche Systeme. Das Verständnis der Anwendung der z-Transformation im Gegensatz zur Laplace-Transformation ist ungleich schwieriger, weil die Abtastung bei Einsatz von Mikrocomputern eine Ein-Ausgangshardware mit Zeitverhalten darstellt. Für die Beschreibung dynamischer Systeme z. B. bei Reglern zur Parametrisierung müssen Regelstrecken identifiziert und Differenzengleichungen gebildet werden.
Die Anwendung der z-Transformation erleichtert die Prozedur der Berechnung der zeitdiskreten Signalfolgen mit Differenzengleichungen zu z-Übertragungsfunktionen. Diese werden mit inverser z-Transformation zurück vom z-Bereich in den k-Bereich der abgetasteten Signale transformiert und liefern damit als Ausgangsgröße Signalfolgen im diskreten Zeitbereich.
Mit Hilfe der z-Transformation können aus systembeschreibenden Differenzengleichungen mit zeitdiskreten Signalen zu z-Übertragungsfunktionen als gebrochen rationale Funktionen berechnet werden, die – ähnlich bei der Laplace-Transformation – durch Pole und Nullstellen das Systemverhalten identifizieren. Damit sind algebraische Operationen mit anderen z-transformierten Systemen und z-transformierten Signalen möglich.
Die häufig verwendeten z-Transformationsbeziehungen zwischen dem k- und z-Bereich werden in Tabellenform dargestellt und erleichtern damit die Berechnungen (siehe #Tabelle der Korrespondenzen des Zeitbereichs f(t), des Laplace- und z-Bereichs (Auszüge)).
Definitionen der verwendeten Variablen und Parameter:
= Signal im Bildbereich; = z-Variable; = Abtastzeit, = Abtastfolge = Nummerierung eines Folgegliedes, = Zahl bestimmter Abtastschritte, z. B. bei Verschiebungen.
Die bilaterale z-Transformation eines Signals ist die formale Laurent-Reihe :
wobei alle ganzen Zahlen durchläuft und im Allgemeinen eine komplexe Zahl der Form:
ist. ist der Betrag von und der Winkel der komplexen Zahl in Polarkoordinaten. Alternativ kann auch in kartesischer Form als Realteil und Imaginärteil beschrieben werden.
Unter gewissen Konvergenzbedingungen ist die z-Transformierte eine holomorphe Funktion auf einem Kreisring in der komplexen Zahlenebene, unter schwächeren Bedingungen immerhin noch eine quadratintegrierbare Funktion auf dem Einheitskreis.
Substituiert man in der Beschreibung einer Abtastfolge im Laplace-Bereich den Ausdruck durch , so erhält man eine Potenzreihe in :
Dabei ist
Wenn nur nichtnegative Werte hat, kann die unilaterale z-Transformation definiert werden:
In der Signalverarbeitung wird die unilaterale z-Transformation für kausale Signale verwendet.
Es sei und deren z-Transformierte. Weiter sei folgende Schreibweise für die Transformation der diskreten Zeitfunktion in die Bildebene definiert.
Dann gelten folgende Regeln:
Die inverse z-Transformation kann mit der Formel
berechnet werden, wobei C eine beliebige geschlossene Kurve um den Ursprung ist, die im Konvergenzbereich von liegt.
Die (unilaterale) z-Transformation ist zeitdiskret und entspricht der Laplace-Transformation für zeitkontinuierliche Signale.
Voraussetzungen: F(z) ist holomorph in einem Gebiet und .
Der Integrand wird in eine Laurent-Reihe entwickelt. Die Zeitfunktion ist dann der Koeffizient −1 der Laurent Reihe, also .
Bei der Entwicklung in eine Reihe sind der binomische Lehrsatz und grundlegende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten nützlich.
Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich abgetasteten Signalen und linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Ein zeitdiskretes dynamisches System wird durch Differenzengleichungen oder als z-Transformierte beschrieben. Im Gegensatz dazu wird die Laplace-Transformation für kontinuierlichen Signale und Systeme verwendet.
Liste der wichtigsten Formelzeichen und Systemgrößen, die im Folgenden verwendet werden:
Formelzeichen | Erklärung | Bemerkung |
---|---|---|
Eingangssignal | Werden in der Regelungstechnik Regler und Regelstrecke gleichzeitig betrachtet, wird die Eingangsgröße des Reglers als (Regelabweichung) bezeichnet. Die Ausgangsgröße des Reglers ist dann gleichzeitig die Eingangsgröße der Regelstrecke. | |
Ausgangssignal | meist Systemantwort, bei Regelkreisen die Regelgröße. | |
Kleinbuchstaben | Zeitbereich | z. B.: f, u, y |
Großbuchstaben | Bildbereich | z. B.: F, U, Y, G |
Abtastzeit | Zeitlicher Abstand der Abtastungen eines zeitdiskreten Signals. Mit der Frequenz wird ein kontinuierliches Signal abgetastet. | |
Zeitintervall | ist ein Parameter der diskreten Zeit, keine reale Zeit. In Verbindung mit Abtastung kann sein. wird z. B. bei der Berechnung der Differenzengleichungen verwendet. | |
Abtastfolge | in einer unendlichen oder einer endlichen Folge. wird auch für die Nummerierung der Werte in einer Folge verwendet. | |
Abtastschritte | . (n ist auch eine Bezeichnung für die Potenz der s-Variablen eines Nennerpolynoms) | |
Wertefolge | Eine Folge der Werte: | |
Signal im Zeitbereich | Zeitsignal (allgemein) | |
Zeitdiskretes Signal | Wert des Signals zum Zeitpunkt . Vereinfachte Schreibweise ist z. B. oder . | |
Laplace Variable | ||
e | Eulersche Zahl | e = Eulersche Zahl ≈ 2,71828. |
Laplace-Transformiert | Laplace-Transformiertes Signal für kontinuierliche Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad: und Nennergrad: | |
Laplace-Transformiert | Laplace-Übertragungsfunktion für kontinuierliche Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad: und Nennergrad: | |
z-Variable | ||
, | z-transformiert | z-transformiertes Signal bzw. z-Übertragungsfunktion für diskrete Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad: und Nennergrad: |
Zeitkonstante | Zeitkonstante eines dynamischen Systems. Bei mehreren Zeitkonstanten des dynamischen Systems werden die Zeitkonstanten indiziert: |
Vergleich | diskretes System | kontinuierliches System |
---|---|---|
Eigenschaften der betrachteten Systeme |
| |
Ein-/Ausgangssignal | reelle Folge, Zeitreihe mit fortlaufendem konstanten Zeitintervalls | kontinuierliches reelles Signal |
Systembeschreibung im Zeitbereich | Differenzengleichung | gewöhnliche Differentialgleichungen |
Transformation in den Bildbereich | mit z-Transformation | mit Laplace-Transformation |
Operator-Schreibweise der Transformation | ||
Inverse Transformation | ||
Systembeschreibung im Bildbereich | z-Übertragungsfunktion | s-Übertragungsfunktion |
Allgemeine Eigenschaften im Bildbereich:
Beziehung der Stabilität in der z-Ebene. |
Polstellenanalyse für Übertragungsfunktionen G(s), G(z).
|
Für die numerische Berechnung des Systemverhaltens eines zeitdiskreten dynamischen Systems können Differenzengleichungen verwendet werden. Mit ihrer Hilfe lässt sich das Systemverhalten (der Verlauf der Systemausgangsgröße ) für ein gegebenes Eingangssignal im zeitdiskreten Bereich berechnen.
Differenzengleichungen entstehen meist aus systembeschreibenden gewöhnlichen Differenzialgleichungen, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Die kontinuierlichen mathematischen Operationen der Integration und Differentiation werden zeitdiskret durch Summen- und Differenzenbildung angenähert.
Die Differenzengleichungen beschreiben mit dem Approximationsalgorithmus für ein kleines Zeitintervall die Signaländerungen nach jedem Zeitintervall als Funktion des betreffenden Teilsystems (Linearfaktoren im s-Bereich) und des Eingangssignals. Mit der fortlaufenden Wiederholung der Berechnung mit dem Zeitintervall und Addition der Änderungsergebnisse zum vorherigen Ergebnis ergibt sich der Signalverlauf eines Systems über die Zeit .
Es bestehen verschiedene mathematische Verfahren, zeitkontinuierliche Systeme in zeitdiskrete Systeme zu beschreiben und umzuwandeln.
Differenzengleichungen der einfachsten Art beziehen sich auf die den Linearfaktoren der Übertragungsfunktion zugehörigen Differenzialgleichungen erster Ordnung, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Diese Beziehung ist von großer Bedeutung, weil nur 4 verschiedene Typen von Differenzengleichungen erster Ordnung existieren, mit denen alle Formen von linearen Übertragungssystemen gebildet werden können, auch solche mit Schwingungsanteilen mit konjugiert komplexen Polen oder Nullstellen. Diese Teilsysteme können beliebig multiplikativ, additiv, zurück gekoppelt oder strukturell vermascht sein und gelten sowohl für den s-Bereich wie auch im diskreten Zeitbereich.
Meistens wird zur Aufstellung der Differenzengleichungen das Euler-Streckenzugverfahren nach dem Rückwärts- oder Vorwärts-Differenzenquotienten als einfachstes numerisches Verfahren verwendet. Nach diesem Verfahren können aus den zugehörigen Differenzialgleichungen der 4 Elementarsysteme erster Ordnung der Übertragungsfunktionen Differenzengleichungen gebildet werden, indem z. B. an Stelle des Differenzialquotienten mit der Rückwärts-Differenzenquotient
näherungsweise eingeführt wird.
In der Regel wird davon ausgegangen, dass die inneren Systemspeicher des Übertragungssystems sich im Ruhezustand befinden und die Anfangswerte bei für und alle Ableitungen von Null sind.
Beispiel der Entwicklung der Differenzengleichung der Integration (I-Glied) aus der Differenzialgleichung:
Die Übertragungsfunktion des I-Gliedes lautet:
Die zugehörige Differenzialgleichung lautet: Der Differenzenquotient wird an Stelle des Differenzialquotienten eingesetzt. Anstelle der kontinuierlichen Systemgrößen und treten die aktuellen zeitdiskreten Werte und : Damit lautet die nach umgestellte Differenzengleichung des I-Gliedes: In gleicher Weise können die Differenzengleichungen von Systemen erster Ordnung aus den zugehörigen Differenzialgleichungen abgeleitet werden. |
(Mit = Verstärkungsfaktor, = aktuelle Ausgangsgröße, = vorherige Ausgangsgröße, = Zeitkonstante, = aktuelle Eingangsgröße)
Die einmalige Anwendung einer Differenzengleichung zum Zeitpunkt ergibt für eine gegebene Eingangsfolge ein Folgeglied der Ausgangsfolge . Jedes Folgeglied bezieht sich auf eine zurückliegende Folge . Deshalb wird eine solche Differenzengleichung als Rekursionsgleichung bezeichnet, weil jedes Folgeglied eine Funktion des vorherigen Folgegliedes ist.
Die rekursive Anwendung von Differenzengleichungen zur Berechnung von Eingangs-Wertefolgen zu Ausgangs-Wertefolgen bedeutet die angenäherte Lösung der systembeschreibenden Differentialgleichung des Systemausgangssignals von Wertefolgen (Berechnungspunkten) .
Mit Hilfe eines Personal Computers kann das Systemverhalten eines dynamischen Systems oder eines Regelkreises mit Differenzengleichungen vollständig simuliert werden. Dabei wird eine endliche Anzahl von Berechnungsfolgen (Wertefolgen) festgelegt und die Rechenergebnisse der Teilsysteme – das Systemverhalten – tabellarisch und grafisch als Berechnungspunkte im Abstand dargestellt. Die Differenzengleichung enthält bereits die Lösungsvorschrift der Systemausgangsgröße in Annäherung an die systembeschreibende Differentialgleichung.
Handelt es sich bei dem dynamischen System um eine Hardware mit einer im zeitlichen Abstand abgetasteten Eingangsfolge , die über einen Mikrocomputer mit Differenzengleichungen zu einer Ausgangsfolge berechnet wird, kann mit Hilfe eines Haltegliedes eine treppenförmig gestufte quasi kontinuierliche Ausgangsgröße y(t) als Beispiel der prinzipiellen Funktion eines digitalen Reglers erreicht werden. Regelstrecken liegen in der Praxis meist als kontinuierliche Systeme vor, die eine kontinuierliche Stellgröße benötigen.
Differenzengleichungen können auch aus gewöhnlichen Differenzialgleichungen höherer Ordnung entwickelt werden, wenn ab dem Zeitpunkt die letzten vergangenen Ausgangs-Wertefolgen mit und die Eingangs-Wertefolgen mit bekannt sind.
Zeitkontinuierliche lineare Systeme werden im Zeitbereich durch die gewöhnlichen Differenzialgleichungen -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für beschrieben. Dabei sind und die höchsten Ableitungen der Ausgangssignale und Eingangssignale .
Eine gegebene gewöhnliche Differentialgleichung wird durch den Koeffizienten dividiert, um freistellen zu können. Diese Form der Differentialgleichung wird entsprechend der dargestellten Koeffizienten wie folgt neu geordnet.
Diese Differentialgleichung kann in eine Differenzengleichung überführt werden:
Daraus folgt die Differenzengleichung:
Damit kann die allgemeine Form der Differenzengleichung nach aufgelöst werden:
Für die numerische Berechnung eines dynamischen Systems wird die s-Übertragungsfunktion oder die zugehörige Differentialgleichung benötigt. Die Umsetzung einer systembeschreibenden Differentialgleichung in eine angenäherte Differenzengleichung zur Beschreibung von Eingangsfolgen und Ausgangsfolgen eines dynamischen Systems wird ermöglicht, wenn die Differentiale der Differentialgleichung durch Rückwärts-Differenzenquotienten über die Abtastperiode ersetzt werden.[Einzelnachweise 5]
Die folgenden Ableitungen der Differentialquotienten in Differenzenquotienten der 1. 2. und 3. Ordnung sind gegeben:
Differenzenquotient 1. Ordnung:
|
Der Differenzenquotient 2. Ordnung entsteht aus Differenzen der Differenz:
|
Der Differenzenquotient 3. Ordnung lautet:
|
Nach erfolgtem Einsetzen der Differenzenquotienten in die Differenzengleichung eines dynamischen Systems lassen sich die neuen Koeffizienten aus den Koeffizienten der Differentialgleichung berechnen.
Beispiel der Entwicklung einer Differenzengleichung zur Berechnung der Sprungantwort eines -Gliedes mit konjugiert komplexen Polen:
Gegeben: Übertragungsfunktion im s-Bereich:
Gesucht: Differenzengleichung zur numerischen Bestimmung des System-Zeitverhaltens. Zugehörige Differentialgleichung nach dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation: Die Differenzenquotienten für und werden in die nachfolgende Differenzengleichung eingesetzt: Die Brüche werden in einzelne additive Terme aufgelöst, um freistellen zu können:
Berechnungsbeispiel für einige Werte der Ausgangsfolge mit :
|
Diese Differenzengleichung entspricht einem Rekursionsalgorithmus eines dynamischen Systems, der schrittweise mit einem digitalen Rechner gelöst werden kann.
Die rekursive Berechnung der Differenzengleichung 2. Ordnung bezieht sich für die aktuelle Ausgangsfolge durch Einsetzen der zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge und in die Gleichung. Für das 1. Folgeglied der Berechnungsfolge k=0 sind die zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge noch nicht verfügbar und damit Null. Die Anzahl der Glieder der Ausgangsfolge wird durch die diskrete Zeit und durch die gewünschte zu beobachtende Gesamtzeit des Einschwingvorgangs bestimmt.
Die z-Transformation wird auf zeitdiskrete Signale , auf die systembeschreibenden Differenzengleichungen und auf Übertragungsfunktionen des s- und z-Bereiches meist mit Hilfe der Korrespondenztabellen angewendet.
Das nebenstehende Bild ist ein Beispiel der Darstellung der Signalarten und Systeme an einem aufgeschnittenen digitalen Regelkreis mit einer kontinuierlichen Regelstrecke.
Abtastsysteme wandeln in Verbindung mit A/D-Wandlern ein kontinuierliches Signal in ein zeitdiskretes Signal als Wertefolge um. D/A-Wandler in Verbindung mit Haltesystemen nullter Ordnung wandeln eine Wertefolge in ein gestuftes zeitkontinuierliches Signal um.
Eine Wertefolge besteht aus oder vielen Folgegliedern. Das Objekt mit der Nummer i wird i-tes Folgeglied oder i-te Komponente der Folge genannt. Die abgetasteten und digitalisierten Signale entsprechen einer Folge von modulierten impulsförmigen Signalen im Abstand , die erst nach der A/D-Wandlung mit einer Haltestufe zu einem gestuften quasi kontinuierlichem Signal werden.
Die Laplace-Transformation bezieht sich auf die Ableitungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung und ersetzt diese nach dem Laplace-Differentiationssatz durch die komplexe Variable . Ein Exponent von s kennzeichnet die Ordnung der Ableitung.
Die z-Transformation transformiert eine Impulsfolgefunktion oder eine Zahlenfolge in eine Funktion mit der z-Variable .
Da die Berechnungen mit Impulsfunktionen oder Folgen aufwendig sind, ist es sinnvoll, diese durch einfachere Berechnungen im z-Bildbereich auszuführen. Die z-Transformation von Impulsfolgen kann als diskrete Laplace-Transformation aufgefasst werden.[Einzelnachweise 6]
Die zu diskreten Zeitpunkten abgetasteten kontinuierlichen Eingangssignale entsprechen mit der Eingangsgröße modulierten (gewichteten) -Impulsfolgen, die mit der z-Transformation berechnet werden.
Beim Übergang von kontinuierlichen Systemen f(t) zu Abtastsystemen mit der Abtastfolge gehen lineare zeitinvariante Differenzialgleichungen in zeitinvariante Differenzengleichungen der Abtastzeit TA beziehungsweise der Abtastfrequenz der Funktion über.
Kontinuierliche Signale z. B. die Regelabweichung eines Regelkreises mit einer analog arbeitenden Regelstrecke werden zu gleichen Zeitabständen abgetastet. Ein Abtaster mit A/D-Wandler erzeugt aus einem zeitkontinuierlichen Regler-Eingangssignal ein zeitdiskretes Signal . Es können sowohl abgetastete Regler-Eingangssignale als auch Differenzengleichungen , die im diskreten Zeitbereich den Regelalgorithmus eines Reglers beschreiben, als z-Übertragungsfunktionen in den z-Bereich transformiert und als algebraische Gleichungen behandelt werden.
Wird eine inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktionen durchgeführt, entsteht die Lösung der zeitdiskreten Differenzengleichung im -Bereich. Mit Hilfe verschiedener Verfahren der Rücktransformation vom z-Bereich in den k-Bereich ergeben sich dann als Lösung die Differenzengleichungen des Regelalgorithmus für den diskreten Bereich .
Für die häufig vorkommenden Transformationen des k- und z-Bereiches stehen in vielen Fachbüchern der Regelungstechnik Transformationstafeln zur Verfügung.
Eine einzelne Abtastung eines kontinuierlichen Signals an einer beliebigen Stelle des Signalverlaufs z. B. zum Zeitpunkt wird als Modulation von mit einem Dirac-Impuls mit beschrieben.[Einzelnachweise 7][Einzelnachweise 8]
Damit ergibt sich für die Multiplikation des Eingangssignals mit dem Dirac-Impuls:
Wird nun periodisch mit zu den Zeitpunkten das Signal abgetastet, kann das abgetastete Signal als Multiplikation einer -Impulsfolge mit betrachtet werden.
Die Impulsfolgefunktion bezieht sich auf die Summengrenzen von zu
Mit dem Übergang der Summengrenzen von zu wird die Impulsfolgefunktion:
Die Impulsfolgefunktion wird der Laplace-Transformation unterzogen:
Mit der z-Variablen und wird die Gleichung vereinfacht zu der z-Transformierten des kontinuierlichen Signals .
Mit wird die s-Ebene auf die z-Ebene abgebildet.
Damit lautet die z-Transformation eines abgetasteten kontinuierlichen Signals mit der Folge und der Wertefolge :
oder allgemein als Funktion :
Wie die Laplace-Transformation wird die z-Transformation durch Sätze und Rechenregeln definiert, dennoch bestehen in einigen Funktionen große Unterschiede.
Die Transformationen und Rücktransformationen der z-Transformation erfolgen meist mit Hilfe von Transformations-Tabellen. In der Fachliteratur werden in Tabellen die Zeitfunktionen , die Laplace-Transformierten und die z-Transformierten dargestellt. Nicht vorhandene Zeitfunktionen für die inverse z-Transformation können wie bei der Laplace-Transformation durch die Partialbruchzerlegung bestimmt werden.
Die Verfahren der Anwendung der Rechenregeln der z-Transformationen sind umfangreich und können in diesem Abschnitt nur angedeutet werden. Die nachstehenden meist tabellarisch aufgeführten Verfahren sind in jedem guten Fachbuch der Regelungstechnik oder in Vorlesungsmanuskripten der z-Transformation zu finden.
Die nachfolgenden mathematischen Beziehungen gelten für Systeme mit einem Eingangssignal und einem Ausgangssignal . Für einen digitalen Regler müssen die zugehörigen Größen des Eingangssignals und Ausgangssignals in die Gleichungen eingesetzt werden.
Die wichtigsten Eigenschaften der z-Transformation:[Einzelnachweise 9]
Im Bildbereich steht die Multiplikation an Stelle der Faltungssumme, wie bei zeitkontinuierlichen Systemen an Stelle des Faltungsintegrals.
Funktion im Zeitbereich f(t) | Laplace-Transformierte im Bildbereich F(s) | Diskrete Laplace-Transformierte nach der z-Transformation |
---|---|---|
δ-Impuls | 1 | 1 |
Einheits- sprung 1 | ||
t | ||
Name der Zeitfunktion | Wertefolge | z-Transformierte |
---|---|---|
-Impulsfolge | 1 | |
Sprungfolge | ||
Anstiegsfolge | ||
Potenzfolge | ||
e-Funktionsfolge | ||
Sinusfunktionsfolge | ||
Kosinusfunktionsfolge | ||
Abklingende Sinus- funktionsfolge | ||
Abklingende Cosinus- funktionsfolge | ||
Linearitätssatz | ||
Rechts-Verschiebesatz | ||
Faltungssumme | ||
Anfangswertsatz | ||
Endwertsatz |
Übersicht:
Mit der so errechneten Differenzengleichung des Übertragungssystems ist man nun in der Lage, für eine gegebene Eingangserregung des Systems die Ausgangsfolgen des Systems zu berechnen. Dies ist auf verschiedenen Arten möglich.
Entstehung der z-Übertragungsfunktion:
Ein zeitdiskretes dynamisches System wird durch eine rekursive Differenzengleichung beschrieben.
Wie bei zeitkontinuierlichen Systemen und der Übertragungsfunktion besteht eine vergleichbare Beziehung bei den zeitdiskreten Systemen zwischen der Gewichtsfolge und z-Übertragungsfunktion G(z). Die Übertragungsfunktion ist die z-Transformierte der Gewichtsfolge .
In G(z) und g(k) sind alle Eigenschaften eines dynamischen Systems enthalten. Zur Systemberechnung wird der Verlauf des Eingangssignals U(z) und das Systemverhalten G(z) oder g(k) benötigt.
Für die Ermittlung der z-Übertragungsfunktion ist die Gewichtsfunktion g(t) die Systemantwort (Impulsantwort) auf die Vorgabe eines Eingangs-DIRAC-Impulses (t).
Bei der Laplace-Transformation eines Systems lautet die Übertragungsfunktion:
Aus der Gewichtsfunktion wird die Impulsfolgefunktion oder die Gewichtsfolge g(kTA) gebildet und in den z-Bereich transformiert. Die z-Übertragungsfunktion von zeitkontinuierlichen Systemen ergibt sich mit folgender Vorschrift:
Die Berechnung der Impulsübertragung von linearen zeitdiskreten Systemen vereinfacht sich, wenn aus der Differenzengleichung mit der z-Transformation die z-Übertragungsfunktion bestimmt wird. So können z. B. die Regelalgorithmen eines digitalen Reglers mit Differenzengleichungen formuliert werden.[Einzelnachweise 11][Einzelnachweise 12]
Ist die z-Übertragungsfunktion eines Systems G(z) gegeben, lässt sich die zugehörige z-Differenzengleichung bestimmen:
Es wird eine lineare Differenzengleichung eines Regelalgorithmus gegeben:
Die Eingangssignale der Differenzengleichung sind wieder und die Ausgangssignale .
Unter der Voraussetzung, dass die Anfangswerte des zeitdiskreten Systems gleich Null sind, wird die Differenzengleichung transformiert. Mit den Rechenregeln des rechts-Verschiebungssatzes ergibt sich die Transformationsvorschrift:
Die z-transformierte Differenzengleichung ergibt sich zu:
Durch Ausklammern des Quotienten Y(z) / U(z) kann die Impulsübertragungsfunktion G(z) gebildet werden.
Damit lautet die z-Übertragungsfunktion:
Bei der Berechnung von Differenzengleichungen mit dem Digitalrechner ist die von n-Schritten nach rechts verschobene Gleichung besser geeignet.
Damit lautet die z-Übertragungsfunktion mit negativen Exponenten von z:
Beispiel: Für eine gegebenen Differenzengleichung 3. Ordnung lautet die z-Übertragungsfunktion für Ordnungen m = 2 und n = 3:
Mit der rechts-Verschiebung der zugehörigen Differenzengleichung um n = 3 Abtastschritte lautet die z-Übertragungsfunktion:
Es fällt auf, dass die z-Transformation einer Differenzengleichung eine große Ähnlichkeit mit der Polynomform einer s-Übertragungsfunktion für kontinuierliche Systeme hat. Ebenso fällt auf, dass die z-Übertragungsfunktion negative Potenzen hat. Allgemein werden z-Übertragungsfunktionen mit negativen Potenzen von z dargestellt.
Jede z-Übertragungsfunktion mit negativen Potenzen von z kann in eine Form mit positiven Potenzen von z gebracht werden, wenn Zähler und Nenner der z-Übertragungsfunktion mit der höchsten vorkommenden inversen z-Potenz multipliziert werden. Für die z-Übertragungsfunktion der Form mit positiven Exponenten muss gelten: Grad des Nennerpolynoms ≥ Grad des Zählerpolynoms. Ist diese Bedingung erfüllt, ist G(z) kausal.
Es können sowohl abgetastete Eingangssignale u(kTA) als auch Differenzengleichungen f(kTA), die im diskreten Zeitbereich das Verhalten eines Systems (z. B. den Regelalgorithmus eines Reglers) beschreiben, als z-Übertragungsfunktionen in den z-Bereich transformiert und als algebraische Gleichungen behandelt werden.
Wird eine inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktionen durchgeführt, entsteht die Lösung der zeitdiskreten Differenzengleichung im -Bereich. Mit Hilfe verschiedener Verfahren der Rücktransformation vom z-Bereich in den k-Bereich ergeben sich dann als Lösung die Differenzengleichungen des Regelalgorithmus für den diskreten Bereich f(kTA).
Die typische Anwendung der z-Transformation eines digitalen Systems, eines digitalen Reglers oder eines digitalen Filters, für den Regelalgorithmus lautet wie folgt:
Die Analyse und die Synthese diskreter Signale und Systeme lässt sich mit der z-Transformation erleichtern, setzt aber auch umfangreiches mathematisches Spezialwissen voraus.
Für die häufig vorkommenden Transformationen des k- und z-Bereich stehen in vielen Fachbüchern der Regelungstechnik Transformationstafeln zur Verfügung.
Eine Totzeit Tt hat im Zeitbereich das Verhalten .
Im s-Bereich lautet die Übertragungsfunktion eines Totzeitsystems:
Es handelt sich hier bei der Verbindung einer s-Übertragungsfunktion als gebrochen-rationalen Funktion mit einem Totzeitglied um eine transzendente Funktion, die als Anhang einer Übertragungsfunktion – beispielsweise einer Regelstrecke – multiplikativ zugeordnet wird, mit der Einschränkung, dass keine algebraische Behandlung erlaubt ist.
Im z-Bereich entspricht eine Totzeit einer Rückwärtsverschiebung (Verschiebung nach rechts) der Abtastfolgen um d Abtastschritte. Die z-Übertragungsfunktion des Totzeitgliedes in Verbindung mit weiteren z-Übertragungssystemen bleibt gebrochen-rational (Bruch mit Zähler- und Nennerpolynom).
Für die z-Transformation der Abtastfolge für das Signal gilt:
Anders als bei der Laplace-Transformation bedeutet ein Totzeitglied in Verbindung mit einer z-Übertragungsfunktion keine Einschränkung der bestehenden Form der gebrochen-rationalen Funktion. Eine z-Übertragungsfunktion mit einer mit Abtastschritten definierten Totzeit wird durch Hinzufügen eines Terms berücksichtigt. Es können beliebige algebraische Operationen durchgeführt werden.
Beispiel einer z-Übertragungsfunktion mit Totzeit:
Definition der Signale: Allgemein gilt für den Zeitbereich , zeitdiskreten Bereich und Bildbereich , die Eingangsgröße und die Ausgangsgröße .
Abtastsysteme erlauben eine Umwandlung kontinuierlicher Signale in zeitdiskrete Abtastfolgen (Impulsfolgen). Halteglieder erlauben eine Umwandlung zeitdiskreter Ausgangsfolgen (Impulsfolgen) in kontinuierliche gestufte Signale im Zeitbereich. Ein Abtaster setzt ein kontinuierliches Signal in Verbindung mit einem nachgeschalteten A/D-Wandler in eine Zahlenfolge mit digitalen Werten um.
Ein Halteglied nullter Ordnung setzt eine Zahlenfolge mit einem vorgeschalteten D/A-Wandler in ein gestuftes kontinuierliches Signal um. Bei der Reihenschaltung von einem Abtastsystem (gewichteter δ-Abtaster) und einem Halteglied handelt es sich um die Umwandlung einer aus einem kontinuierlichen Eingangssignal modulierten Impulsfolge in eine gestufte Treppenfunktion , die in ein kontinuierliches dynamisches System eingeleitet werden kann.
Liegt ein kontinuierliches dynamisches System vor, erlaubt die Abtastung eines kontinuierlichen Signals, z. B. eine Regelabweichung, die Verarbeitung einer zeitdiskreten Eingangsfolge in einem Mikrocomputer als Regelalgorithmus zu einer zeitdiskreten Ausgangsfolge. Die über ein Halteglied geleitete Ausgangsfolge erzeugt ein quasi stetiges gestuftes Ausgangssignal zu einer analogen zeitabhängigen Stellgröße.
Je nach Anwendung des kontinuierlichen Systems , beispielsweise in der Regelungstechnik, werden unterschiedlich Funktionsblöcke zusammengefasst, die auch mehrere Abtaster und Halteglieder enthalten können.
Um ein kontinuierliches System in eine z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion) zu definieren, muss es im Eingang durch eine Abtastfolge als Eingangsfolge und am Ausgang des Systems zeitsynchron durch einen Abtaster die Ausgangsfolge zur Verfügung stellen.
Je nachdem wie die Reihenfolge der Funktionsblöcke eines Haltegliedes , eines Systems und eines Abtasters festgelegt sind, können diese Funktionsblöcke als ein Teil einer offenen Regelstrecke betrachtet werden. Die wären z. B.:
Das obere Grafikbild zeigt die Kombination der Funktionsblöcke Halteglied, kontinuierliches System und Abtaster.
Damit ein kontinuierliches System in eine (Impuls-)Übertragungsfunktion definiert werden kann, muss das System durch eine Impulsfolge (Wertefolge) gespeist und am Ausgang ein Abtaster eingesetzt sein, der synchron zur Eingangsfolge eine Ausgangsfolge realisiert. Das Halteglied vor dem dynamischen System wandelt die Impulsfolge in ein quasikontinuierliches Signal um. Das kontinuierliche System-Ausgangssignal wird über einen Abtaster als Ausgangsfolge definiert.
Die s-Übertragungsfunktion des Haltegliedes nullter Ordnung lautet: [Einzelnachweise 13]
Die z-Übertragungsfunktion (Impulsübertragungsfunktion) des Haltegliedes und der Regelstrecke wird durch die z-Transformation von berechnet.
Die z-Übertragungsfunktion von Halteglied und Regelstrecke lautet:
In diese Gleichung wird eingesetzt:
Eine Multiplikation mit entspricht im z-Bereich eine Rechtsverschiebung um einen Abtastzyklus und damit einer Multiplikation mit .
Die z-Übertragungsfunktion der Reihenschaltung eines Haltegliedes nullter Ordnung mit einem kontinuierlichen System ergibt sich aus der Laplace-Transformierten der Sprungantwort , multipliziert mit . (Siehe Tabelle ):
Analog wie bei der Regelstrecke kann für die im 2. Teil des Bildes dargestellte Anordnung der Funktionsblöcke Abtaster, Regelalgorithmus des Reglers und Halteglied die gleiche Form der Gleichung der z-Transformation benutzt werden. Ein- und Ausgangsgröße und die Systemgröße des Reglers werden getauscht:
Um die z-Transformation des kontinuierlichen Systems bilden zu können, werden die Korrespondenztabellen angewendet. Steht für die gegebene s-Übertragungsfunktion kein Eintrag für die z-Transformation zur Verfügung, muss eine Partialbruchzerlegung von vorgenommen werden.
Beispiel: z-Transformation eines -Gliedes.
Gesucht z-Übertragungsfunktion des kombinierten Systems:
Partialbruchzerlegung von
z-Transformation der Partialbrüche in den z-Bereich:
Durch Ausmultiplizieren der Brüche ergibt sich die z-Transformation:
Es gelten hier allgemein die formalen Begriffe der Ein- und Ausgangsgrößen der Systemtheorie: Eingangssignal = , Ausgangssignal . Für die Belange der Regler gelten die Eingangs- und Ausgangsgrößen des Reglers zu einem Regelkreis lauten: und .
Die Regelalgorithmen mit den allgemeinen Koeffizienten lauten nach der rekursiven Rechenvorschrift: [Einzelnachweise 14]
Die z-Transformation der Differenzengleichung liefert die z-Übertragungsfunktion GR(z) des Reglers:
Tabelle der z-Übertragungsfunktionen der Standardregler (Typ II, Obersumme)
(ai = Koeffizienten des Nennerpolynoms, bi = Koeffizienten der Zählerpolynoms, TI = TN = 1 / KI = Zeitkonstante = Nachstellzeit, TV = Vorhaltezeit, TA = Abtastzeit)
Reglerart | z-Übertragungsfunktion GR(z) der Standardregler |
---|---|
P-Regler | |
I-Regler | |
PD-Regler | |
PI-Regler | |
PID-Regler |
Eine gegebene z-Übertragungsfunktion lässt sich in eine Differenzengleichung umwandeln. Dazu sind folgende Schritte erforderlich.[Einzelnachweise 15]
Die Übertragungsfunktion wurde durch den Koeffizienten dividiert, um freistellen zu können.
Diese Form der Übertragungsfunktion wurde entsprechend der dargestellten Koeffizienten wie folgt neu geordnet.
Für die Programmierung des Mikrocomputers des Digitalreglers werden Differenzengleichungen benötigt, die durch Überführung der z-Übertragungsfunktion des z-Bildbereiches in den diskreten Zeitbereich f(k) gewonnen wird.
Die inverse z-Transformation liefert für F(z) wieder die Werte der Zahlenfolge:
Dazu sind drei Verfahren gegeben:
Beispiel 1: z-Transformierte der Sprungfunktion der Eingangsgröße :
Die z-Transformierte der normierten Sprungfunktion für ist zu ermitteln.
Lösung: Die kontinuierliche Eingangsgröße wird als Sprungfunktion (Einheitssprung) zum Zeitpunkt mit dem Wert 1 abgetastet. Durch Abtastung entsteht eine Wertefolge mit konstanten Amplituden = 1. oder die Impulsfolgefunktion: Die z-Transformation lautet damit: Der Grenzwert für für und (Konvergenz) ist Null. |
Beispiel 2: z-Transformierte des Produktes einer Exponentialfunktion f(t) mit dem Einheitssprung u(t)=1:
Gegeben: Exponentialfunktion
Gesucht: Ergebnis der beiden Beziehungen als Produkt im z-Bereich: Die Ausgangswertefolge lautet: Daraus ergibt sich die z-Transformierte: Substituiert man
so lautet die z-Transformierte |
Beispiel 3: Ermittlung der z-Übertragungsfunktion aus einem Verzögerungsglied 1. Ordnung
Gegeben: Übertragungsfunktion G(s) des PT1-Gliedes mit der Verstärkung und der Zeitkonstante T1:
Gesucht: z-Übertragungsfunktion aus . Dazu wird zuerst die Gewichtsfunktion des PT1-Gliedes ermittelt. Aus einer Laplace-Korrespondenztabelle findet man für das Zeitverhalten der Übertragungsfunktion
Die Verstärkung wurde für den Transfer in den Zeitbereich nicht berücksichtigt und wird wieder eingesetzt. Für die Eingangsimpulsfolge wird die z-Transformation angewendet. Aus einer in Fachbüchern der Regelungstechnik dargestellten Korrespondenztabelle wird für als Gewichtsfunktion (Impulsantwort) Daraus ergibt sich unter Berücksichtigung des Faktors die gesuchte z-Übertragungsfunktion, die gerne vereinfacht dargestellt wird: |
Beispiel 4: z-Übertragungsfunktion einer Differenzengleichung für den Integralalgorithmus:
Definition der Signale: Analoge Regeldifferenz = , Abgetastete Regeldifferenz = , Reglerausgangsgröße = , Zeitkonstante . Gegeben: Differenzengleichung:
Gesucht: z-Übertragungsfunktion. Nach der Transformationsvorschrift ändern sich die Größen: Daraus folgt für die z-Transformation: Wird U(z) / E(z) ausgeklammert, entsteht die z-Übertragungsfunktion des Integralalgorithmus: Für die gleiche Differenzengleichung des Integrationsalgorithmus nach Euler-Rückwärts (Obersumme): lautet die z-Übertragungsfunktion mit : Aus der Übertragungsfunktion wird die Stellgröße des Reglers abgeleitet mit der Regelabweichung : |
Das nachfolgende Berechnungsbeispiel zeigt die über die z-Transformation ermittelte Differenzengleichung eines digitalen PI-Reglers im Vergleich mit den Differenzengleichungen nach Euler-Rückwärts.
Digitale Regler in industriellen Erzeugnissen werden gegenüber analogen Reglern zunehmend in großen Stückzahlen produziert. Dafür sind verschiedene Gründe gegeben:
Mit der Anwendung der z-Transformation auf abgetastete Signale und des gewünschten Regelalgorithmus entsteht die z-Übertragungsfunktion.
Die Hauptaufgabe der Realisierung eines digitalen Reglers ist die Aufstellung der z-Übertragungsfunktion des Reglers bzw. das Finden der zur Programmierung des Mikrocomputers benötigten Rekursionsgleichung. Das nachstehende Berechnungsbeispiel aus einem Fachbuch zeigt einen digitalen PI-Regler, der durch eine Reihenschaltung von Halteglied, Reglerfunktion GR(s) und Abtaster approximiert wird.
Die gesuchte z-Übertragungsfunktion des digitalen Reglers D(z) besteht aus dem Produkt von Halteglied und Reglerfunktion GR(s):
Berechnungsbeispiel eines PI-Reglers als Reihenschaltung von idealem Abtaster, PI-Regleralgorithmus und Halteglied.[Einzelnachweise 17]
Gegeben: s-Übertragungsfunktion eines PI-Reglers GR:
Parameter des PI-Reglers mit folgenden Zahlenwerten:
Gesucht: z-Übertragungsfunktion und daraus die Differenzengleichung mit dem Regelalgorithmus des PI-Reglers: Nach Anwendung der oben stehenden abgeleiteten Gleichung mit Eintrag der PI-Komponenten für müssen die Komponenten des s-Bereichs in den z-Bereich transformiert werden: Die Terme des s-Bereichs werden z-transformiert: Damit lautet die z-Übertragungsfunktion des Reglers mit Zahlenwerten: Diese z-Übertragungsfunktion wird in Operatorendarstellung nach U(z) geordnet und als Differenzengleichung im Mikroprozessor programmiert. Durch Anwendung der Rechtsverschiebung um einen Abtastschritt „-1“ ergibt sich für Rücktransformation in den diskreten Zeitbereich die Differenzengleichung . Diese Gleichung nach aufgelöst ergibt: In vereinfachter Schreibweise lautet die Differenzengleichung eines PI-Reglers für ein abgetastetes Regelsystem mit Halteglied bei TA = 0,1 [s]: Zum Vergleich die errechnete Differenzengleichung für TA = 0,01 [s] zur besseren Annäherung an die analytische Funktion: |
Folge k | Zeit TA [sec] | Differenzengleichung aus z-Transformation Ausgangssignal | Differenzengleichung Euler-Rückwärts Untersumme | Differenzengleichung Euler-Rückwärts Obersumme |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 2,0000 | 2,1333 | |
1 | 0,1 | 2,1333 | 2,2667 | |
2 | 0,2 | 2,2667 | 2,4000 | |
3 | 0,3 | 2,4000 | 2,5333 | |
4 | 0,4 | 2,5333 | 2,6667 | |
5 | 0,5 | 2,6667 | 2,8000 | |
6 | 0,6 | 2,8000 | 2,9333 | |
10 | 1,0 | 3,3330 | 3,3330 | 3,4667 |
15 | 1,5 | 3,9995 | 4,0000 | 4,1333 |
Qualitativer Vergleich zwischen PI-Reglern mit Differenzengleichungen über die z-Transformation und Differenzengleichungen nach Euler-Rückwärts
Anmerkung zum PD-Glied: bedeutet wegen Untersumme: aktuelles des I-Gliedes um einen Schritt (k-1) zurückgesetzt.
Die z-Transformation kann zur Bestimmung expliziter Formeln für Zahlenfolgen eingesetzt werden, die rekursiv definiert sind. Ein Paradebeispiel hierfür ist die Fibonacci-Zahlenfolge
Die Zahlenfolge ist rekursiv definiert und zwar mit der Rekursionsvorschrift
und dem Rekursionsanfang
Die rekursive Definition ist einfach, hat jedoch zum Nachteil, dass sie es nicht erlaubt, das k-te Element der Zahlenfolge direkt zu bestimmen, ohne seine Vorgänger zu berechnen, was bei größer werdendem immer zeitintensiver wird. Man fragt sich also, ob nicht auch eine explizite Formel existiert, die eine direkte Bestimmung eines jeden Elements der Zahlenfolge erlaubt. Für Fibonacci-Zahlen existiert eine solche explizite Formel und sie lautet
Auf den ersten Blick scheint es unmöglich zu sein, dass diese Formel mit Termen überhaupt ganze Zahlen erzeugt, doch durch Einsetzen von kann sich jeder selbst davon überzeugen, dass die Formel in der Tat die entsprechenden Fibonacci-Zahlen liefert.
Doch wie kommt man nur auf eine solche Formel? Dazu gibt es verschiedenen Methoden und die z-Transformation ist eine davon. Im Folgenden wird eine Methodik gezeigt, wie man mit Hilfe von z-Transformation die explizite Formel einer rekursiven Berechnungsvorschrift bestimmen kann. Die allgemeinen Ausführungen werden am Beispiel der Fibonacci-Zahlen angewendet und verständlich gemacht.
Eine Rekursionsformel vom Typ
kann als Beschreibung eines abgetasteten dynamischen Systems ohne Eingangssignal interpretiert werden, denn die weiter oben beschriebene Differenzengleichung
geht direkt in die Rekursionsformel über, wenn man das Eingangssignal zu Null setzt, d. h. für alle :
Das bedeutet, dass eine Rekursionsformel als eine Art Eigendynamik des Systems betrachtet werden kann, wenn auf dieses keine äußeren Störungen einwirken. Die Eigendynamik wird allerdings erst sichtbar, wenn das System aus der Ruhelage ausgelenkt wird, und der genaue Verlauf der „Bewegung“ hängt von den Anfangsbedingungen ab. Man setzt also voraus, dass das System bis zum Zeitpunkt Null keinerlei Dynamik aufwies (d. h. ), doch die Anfangsbedingungen (Rekursionsanfang) müssen unbedingt berücksichtigt werden.
Um die Rekursionsformel mit Hilfe der z-Transformation lösen zu können, muss der Rekursionsanfang (also die Anfangsbedingung) in die Differenzengleichung eingefügt werden. Dies kann man mit Hilfe des zeitdiskreten Dirac-Impulses mit der Definition
umsetzen. Man platziert eine Reihe von diskreten -Impulsen an den ersten Zeitpunkten
und wählt deren Amplituden so, dass sich die gewünschten Anfangswerte der Zahlenfolge ergeben. Die Anzahl der Anfangswerte muss sein, damit die Rekursionsformel starten kann, denn ist die Anzahl der Rekursionselemente auf der rechten Seite der Rekursionsgleichung. Angabe weiterer Anfangswerte (mehr als ) ist überflüssig, weil diese Werte direkt aus der Rekursionsformel berechnet werden.
Unter Berücksichtigung, dass für alle negativen angesetzt ist und der diskrete Dirac-Impuls nur an der Stelle den Wert 1 hat und ansonsten 0, erhält man etwa für die ersten drei Elemente die Beziehungen:
Sind diese drei Anfangswerte und als Rekursionsanfang bekannt, so kann man aus diesen Gleichungen direkt die Amplituden und bestimmen:
Im Beispiel der Fibonacci-Zahlen gibt es zwei Anfangsbedingungen
Die Differenzengleichung wird also mit angesetzt. Das heißt, die beiden Koeffizienten und sind beide 1, so dass man für die Amplituden der beiden Dirac-Impulse die Werte und damit die Differenzengleichung erhält. |
Nun kann die gewonnene Differenzengleichung
mittels z-Transformation gelöst werden. Im ersten Schritt erhält man für die z-Transformierte den Ausdruck
in dem man die -Terme auf die linke Seite bringen
und anschließend nach auflösen kann:
bzw. durch Multiplikation mit im Zähler und Nenner:
Im Allgemeinen erhält man also Polynome gleicher Ordnung im Nenner und im Zähler. Das Zählerpolynom kann nie eine höhere Ordnung als das Nennerpolynom besitzen, weil wie bereits erwähnt, lediglich Anfangswerte vorgegeben werden, so dass die Rekursion beginnen kann. Es kann jedoch vorkommen, dass die Anfangsbedingungen zu Nullwerten bei manchen Koeffizienten führen, so dass das Zählerpolynom eine kleinere Ordnung als das Nennerpolynom besitzt. Mit diesen Überlegungen kann man also davon ausgehen, dass eine Partialbruchzerlegung möglich ist und die z-Transformierte in Form
geschrieben werden kann. Wegen der Beziehung
und der Rückwärtsverschiebung (nach rechts) der z-Transformation
erhält man also für die Rücktransformierte
und somit die explizite Formel für die einzelnen Elemente der rekursiv definierten Zahlenfolge.
Im Beispiel der Fibonacci-Zahlen mit der Differenzengleichung
erhält man zunächst durch z-Transformation und daraus bzw. mit der Partialbruchzerlegung Die Rücktransformation ergibt nun direkt die gesuchte explizite Form für die Fibonacci-Zahlenfolge: Dass diese „krumme“ Formel tatsächlich ganzzahlige Ergebnisse liefert wird übrigens sofort klar, wenn man die Binomialausdrücke ausschreibt. Wegen des Minuszeichens heben sich die Terme mit geraden Exponenten von auf während die Terme mit ungeraden Exponenten sich addieren und mit dem -Term im Nenner kürzen. Damit verbleiben lediglich gerade Exponenten von , d. h. Exponenten von 5. Man kann also die obige Gleichung auf mit Fünfer-Potenzen gewichtete Binomialkoeffizienten und das Pascalsche Dreieck zurückführen (siehe detaillierte Herleitung im Artikel Verwandtschaft der Fibonacci-Zahlen mit dem Pascalschen Dreieck). |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.