Ein einfaches Modell zur Vorhersage von endogenen Variablen ergibt sich durch

\mathbf {y} _{0}=\mathbf {X} _{0}{\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}_{0}

,

wobei $\mathbf {y} _{0}$ den Vektor von zukünftigen abhängigen Variablen und $\mathbf {X} _{0}$ die Matrix der erklärenden Variablen zum Zeitpunkt $T_{0}$ darstellt.

Die Vorhersage wird wie folgt dargestellt: ${\hat {\mathbf {y} }}_{0}=\mathbf {X} _{0}\mathbf {b}$ , woraus sich folgender Vorhersagefehler ergibt: ${\hat {\mathbf {y} }}_{0}-\mathbf {y} _{0}$

Eigenschaften des Vorhersagefehlers:

Der Vorhersagefehler ist im Mittel null: $\operatorname {E} ({\hat {\mathbf {y} }}_{0}-\mathbf {y} _{0})=\operatorname {E} (\mathbf {X} _{0}(\mathbf {b} -{\boldsymbol {\beta }})-{\boldsymbol {\varepsilon }}_{0})=\mathbf {0}$

Die Kovarianzmatrix des Vorhersagefehlers lautet: $\operatorname {E} \left(({\hat {\mathbf {y} }}_{0}-\mathbf {y} _{0}-\operatorname {E} ({\hat {\mathbf {y} }}_{0}-\mathbf {y} _{0}))(({\hat {\mathbf {y} }}_{0}-\mathbf {y} _{0}-\operatorname {E} ({\hat {\mathbf {y} }}_{0}-\mathbf {y} _{0}))^{\top }\right)=\sigma ^{2}\left(\mathbf {X} _{0}(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} _{0}^{\top }+\mathbf {I} \right)$

Ermittelt man einen Vorhersagewert, möchte man möglicherweise wissen, in welchem Intervall sich die vorhergesagten Werte mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit bewegen. Man wird also ein Vorhersageintervall für den durchschnittlichen Vorhersagewert $\operatorname {E} (\mathbf {y} _{0})$ ermitteln. Im Fall der linearen Einfachregression ergibt sich für die Varianz des Vorhersagefehlers

\operatorname {Var} ({\hat {y}}_{0}-y_{0})=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {1}{T}}+{\frac {(x_{0}-{\overline {x}})^{2}}{\sum \limits _{t=1}^{\top }(x_{t}-{\overline {x}})^{2}}}\right)

.

Man erhält dann als $(1-\alpha )$ Vorhersageintervall für die Varianz des Vorhersagefehlers

\left[{\hat {y}}_{0}-t_{1-\alpha /2;T-K}\cdot {\sqrt {\operatorname {Var} ({\hat {y}}_{0}-y_{0})}}\;;\;{\hat {y}}_{0}+t_{1-\alpha /2;T-K}\cdot {\sqrt {\operatorname {Var} ({\hat {y}}_{0}-y_{0})}}\right]

.

Speziell für den Fall der einfachen linearen Regression ergibt sich das Vorhersageintervall:^[12]

\left[{\hat {y}}_{0}-t_{1-\alpha /2;T-K}\cdot {\sqrt {\sigma ^{2}\left(1+{\frac {1}{T}}+{\frac {(x_{0}-{\overline {x}})^{2}}{\sum \nolimits _{t=1}^{T}(x_{t}-{\overline {x}})^{2}}}\right)}}\;;\;{\hat {y}}_{0}+t_{1-\alpha /2;T-K}\cdot {\sqrt {\sigma ^{2}\left(1+{\frac {1}{T}}+{\frac {(x_{0}-{\overline {x}})^{2}}{\sum \nolimits _{t=1}^{T}(x_{t}-{\overline {x}})^{2}}}\right)}}\right]

Aus dieser Form des Vorhersageintervalls erkennt man sofort, dass das Vorhersageintervall breiter wird, wenn sich die exogene Vorhersagevariable $x_{0}$ vom „Gravitationszentrum“ der Daten entfernt. Schätzungen der endogenen Variablen sollten also im Beobachtungsraum der Daten liegen, sonst werden sie sehr unzuverlässig.