Wichtigste Funktionswerte

Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode $2\pi$ (entspricht im Gradmaß $360^{\circ }$ ) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den Bereich $[0,2\pi ]$ (entspricht dem Bereich $0^{\circ }$ bis $360^{\circ }$ ) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang

\sin x=\sin(x+2k\pi )\quad {\text{und}}\quad \cos x=\cos(x+2k\pi )

bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog:

\sin x=\sin(x+k\cdot 360^{\circ })\quad {\text{und}}\quad \cos x=\cos(x+k\cdot 360^{\circ })

Hierbei bezeichnet $k\in \mathbb {Z}$ eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf.^[5]

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,

...

Winkel (Grad)	Bogenmaß	Sinus	Kosinus
$0^{\circ }$	$0$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {0}}=0$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {4}}=1$
$30^{\circ }$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {1}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}$
$45^{\circ }$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$
$60^{\circ }$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {1}}={\frac {1}{2}}$
$90^{\circ }$	${\frac {\pi }{2}}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {4}}=1$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {0}}=0$

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Weitere wichtige Werte sind:

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,

...

Winkel (Grad)	Bogenmaß	Sinus	Kosinus
$15^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{12}}$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})$
$18^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{10}}$	${\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$
$22{,}5^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{8}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$
$36^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{5}}$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$
$54^{\circ }$	${\tfrac {3\pi }{10}}$	${\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$
$67{,}5^{\circ }$	${\tfrac {3\pi }{8}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$
$72^{\circ }$	${\tfrac {2\pi }{5}}$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$
$75^{\circ }$	${\tfrac {5\pi }{12}}$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})$
$180^{\circ }$	$\pi$	$0$	$-1$
$270^{\circ }$	${\frac {3\pi }{2}}$	$-1$	$0$
$360^{\circ }$	$2\pi$	$0$	$1$

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Beweisskizzen der Werte

In folgender Liste werden die Beweise für die einzelnen Werte skizziert dargestellt:

$\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt $x^{2}+x^{2}=1^{2}\Rightarrow x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ .
$\cos 60^{\circ }=\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}$ , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der $x$ -Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1) und somit die Gegenkathete (Sinus) die halbe Seitenlänge beträgt.
$\cos 30^{\circ }=\sin 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$ , weil für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen $\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}$ für den Cosinus nach Pythagoras gilt $x^{2}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=1^{2}\ \Rightarrow \ x^{2}={\tfrac {3}{4}}\ \Rightarrow \ x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$ .
$\cos 72^{\circ }=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)$ , weil im Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt, wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18° ist.
$\cos 36^{\circ }=\sin 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})$ , weil im regelmäßigen Fünfeck der Goldene Schnitt auftritt, wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54° ist.
$\cos 75^{\circ }=\sin 15^{\circ }$ und $\cos 15^{\circ }=\sin 75^{\circ }$ lassen sich mit Hilfe der Halbwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.

Die Fünftel der Werte können unter anderem so ermittelt werden:

Zusammenhang zwischen Sinus und Cosinus: $\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{5}}{\bigr )}=\cos {\bigl (}{\frac {3\pi }{10}}{\bigr )}$ Verdopplungstheorem des Sinus: $\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{5}}{\bigr )}=2\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}\cos {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}$ Verdreifachungstheorem des Cosinus: $\cos {\bigl (}{\frac {3\pi }{10}}{\bigr )}=\cos {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}{\bigl [}1-4\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}$ Durch Kombination der drei nun genannten Formeln entsteht diese Gleichung: $2\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}\cos {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}=\cos {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}{\bigl [}1-4\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}$ $2\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}=1-4\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}^{2}$ $16\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}^{2}+8\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}=4$ $16\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}^{2}+8\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}+1=5$ ${\bigl [}4\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}+1{\bigr ]}^{2}=5$ $4\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}+1={\sqrt {5}}$ $\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}={\frac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)$

Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte

Der Mathematiker Carl Friedrich Gauß entdeckte die Tatsache, dass die Sinus- und Cosinuswerte von den Siebzehnteln des Vollwinkels auf rein quadratisch radikale Weise dargestellt werden kann. Damit bewies er, dass das reguläre Siebzehneck mit Zirkel und Lineal alleine konstruiert werden kann. Besonders effizient können die Cosinuswerte des Musters $2\pi z\div 17$ mittels Lösen quadratischer Gleichungen ermittelt werden.

Tabellarisch lassen sich so nach Wickner insgesamt folgende Identitäten zusammenfassen:

Weitere Informationen

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...

Summe	Produkt	Radikalische Identität	Tangentielle Identität
$2\cos \left({\frac {6\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {10\pi }{17}}\right)=$	$4\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)\cos \left({\frac {8\pi }{17}}\right)=$	${\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}\right)=$	$\tan \left[{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]$
$2\cos \left({\frac {12\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {14\pi }{17}}\right)=$	$4\cos \left({\frac {4\pi }{17}}\right)\cos \left({\frac {16\pi }{17}}\right)=$	${\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}\right)=$	$-\cot \left[{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]$
$2\cos \left({\frac {4\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {16\pi }{17}}\right)=$	$4\cos \left({\frac {6\pi }{17}}\right)\cos \left({\frac {10\pi }{17}}\right)=$	${\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}\right)=$	$-\tan \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]$
$2\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {8\pi }{17}}\right)=$	$4\cos \left({\frac {12\pi }{17}}\right)\cos \left({\frac {14\pi }{17}}\right)=$	${\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}\right)=$	$\cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]$

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Beispielsweise^[6] ergeben sich folgende Formeln:

{\color {magenta}\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)}={\frac {1}{4}}\cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]+{\frac {1}{4}}{\sqrt {\cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]^{2}-4\tan \left[{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]}}

{\color {magenta}\cos \left({\frac {8\pi }{17}}\right)}=\sin \left({\frac {\pi }{34}}\right)={\frac {1}{4}}\cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]-{\frac {1}{4}}{\sqrt {\cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]^{2}-4\tan \left[{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]}}

Diese Formeln gehen aus dem Werk Solution to Problem 1562: A Tangent and Cosine Identity des Mathematikers John Wickner hervor und erklären die Konstruktion des Siebzehnecks über die Winkelvierteilungen.

Mit Winkeldreiteilung angebbare Funktionswerte

Die trigonometrischen Werte der Siebtel und der Dreizehntel können vereinfacht mittels Winkeldreiteilung dargestellt werden. Daraus folgt, dass das reguläre Siebeneck und das reguläre Dreizehneck mit der Kombination der Werkzeuge Zirkel, Lineal und Winkeldreiteiler dargestellt werden können:

\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{4}}\sec \left[{\frac {1}{3}}\arctan \left({\frac {\sqrt {3}}{9}}\right)\right]

\sin \left({\frac {\pi }{13}}\right)={\frac {1}{12}}{\sqrt {26+6{\sqrt {13}}}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {26-6{\sqrt {13}}}}\,\cos {\biggl [}{\frac {1}{3}}\arctan {\biggl (}{\frac {3{\sqrt {3}}}{5}}{\biggr )}{\biggr ]}