Τετράγωνο

Στην γεωμετρία, το τετράγωνο είναι ένα τετράπλευρο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες και τις γωνίες του ορθές.^{[1]:103[2]:94[3]:125-126} Ισοδύναμα είναι ένα παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος ταυτόχρονα.

Τετράγωνο

Ένα τετράγωνο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$. Όλες του οι γωνίες είναι ορθές και οι πλευρές του ίσες.
Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	4, ισόπλευρο
Γωνίες	4, ισογώνιο
Διαγώνιοι	${\displaystyle 2}$
Σύμβολο Schläfli	${\displaystyle \{4\}}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	4
Περιστροφική συμμετρία	τέταρτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\displaystyle 90^{\circ }}$ (ή ${\displaystyle \pi /2}$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\displaystyle {\rm {E}}=\alpha ^{2}}$
Περίμετρος	${\displaystyle {\rm {\Pi }}=4\cdot \alpha }$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cdot \alpha }$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot \alpha }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	κανονικό οκτάγωνο, κανονικό δεκαεξάγωνο
Στερεά σχήματα	κύβος

Ιδιότητες

Σε κάθε τετράγωνο ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

1. Οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες.
2. Όλες οι πλευρές είναι ίσες.
3. Όλες οι γωνίες είναι ορθές.
4. Οι διαγώνιοι είναι ίσες, κάθετες, διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες.
5. Είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο.
6. Είναι περιγεγραμμένο σε έναν κύκλο.
7. Έχει τέσσερις άξονες συμμετρίας: τις δύο διαγωνίους και τις δύο μεσοπαράλληλους.
8. Έχει κέντρο συμμετρίας, το σημείο τομής των διαγωνίων του (για τέσσερις διαφορετικές γωνίες ${\displaystyle 90^{\circ },180^{\circ },270^{\circ },360^{\circ }}$).

Οι τέσσερις άξονες συμμετρίας του τετραγώνου.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τετραγώνου και το κέντρο του ${\displaystyle {\rm {O}}}$, που είναι και το κέντρο συμμετρίας του.

Ο εγγεγραμένος κύκλος του τετραγώνου.

• Κριτήρια τετραγώνου: Ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο αν και μόνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

1. Μία γωνία είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.
2. Μία γωνία είναι ορθή και μία διαγώνιος διχοτομεί μία γωνία.
3. Μία γωνία είναι ορθή και οι διαγώνιοι κάθετες.
4. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.
5. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και μία από αυτές διχοτομεί μία γωνία.
6. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και κάθετες.

Μετρικές σχέσεις

Σε ένα τετράγωνο με πλευρά ${\displaystyle \alpha }$, ισχύουν οι εξής σχέσης:

• Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, προκύπτει ότι η διαγώνιος έχει μήκος ${\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot \alpha }$.
• Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου είναι ίση με ${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cdot \alpha }$.
• Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου είναι ίση με ${\textstyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot \alpha }$.

Εμβαδόν

Η περίμετρος του τετραγώνου είναι ίση με ${\displaystyle 4\cdot \alpha }$.

Περίμετρος

• Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι ίσο με ${\displaystyle \alpha ^{2}}$.
• Για δοσμένη περίμετρο, το τετράγωνο είναι το τετράπλευρο με το μέγιστο εμβαδόν.

Γεωμετρική κατασκευή

Ακολουθούν οι λεπτομέρειες για τρεις δυνατές κατασκευές τετραγώνων με κανόνα και διαβήτη.

Τετράγωνο με δοσμένη πλευρά.

Τετράγωνο με δοσμένη διαγώνιο.

Τετράγωνο εγγεγραμμένο σε δοσμένο κύκλο.

Με δοσμένη πλευρά

Ένα τετράγωνο με δοσμένη πλευρά ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:

1. Διαλέγουμε ένα σημείο ${\displaystyle {\rm {M}}}$ εξωτερικό του ${\displaystyle {\rm {AB}}}$.
2. Διαγράφουμε τον κύκλο με κέντρο ${\displaystyle {\rm {M}}}$ και ακτίνα ${\displaystyle {\rm {AM}}}$. Εντοπίζουμε το σημείο τομής ${\displaystyle {\rm {E}}}$ του κύκλου με την ${\displaystyle {\rm {AB}}}$.
3. Επεκτείνοντας την ${\displaystyle {\rm {EM}}}$ βρίσκουμε το αντιδιαμετρικό σημείο ${\displaystyle {\rm {Z}}}$ του ${\displaystyle {\rm {E}}}$. Από το Θεώρημα του Θαλή, η ${\displaystyle {\rm {AZ}}}$ είναι κάθετη στην ${\displaystyle {\rm {AB}}}$.
4. Διαγράφουμε τον κύκλο με κέντρο ${\displaystyle {\rm {A}}}$ και ακτίνα ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και εντοπίζουμε το σημείο τομής της ${\displaystyle {\rm {\Delta }}}$ με την επέκταση της ${\displaystyle {\rm {AZ}}}$.
5. Διαγράφουμε τους κύκλους με κέντρα ${\displaystyle \Delta }$ και ${\displaystyle {\rm {B}}}$ και ακτίνα ${\displaystyle {\rm {AB}}}$. Το ένα σημείο τομής τους είναι το ${\displaystyle {\rm {A}}}$ και το άλλο είναι το ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$.
6. Το ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ είναι ένα τετράγωνο.

Βήμα 1ο

Βήμα 2ο

Βήμα 3ο

Βήμα 4ο

Βήμα 5ο

Βήμα 6ο

Με δοσμένη διαγώνιο

Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο με δοσμένη διάμετρο ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$, κάνοντας την βασική παρατήρηση ότι η άλλη διάμετρος είναι η μεσοκάθετος της ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$, ως εξής:

1. Διαγράφουμε δύο κύκλους με κέντρα ${\displaystyle {\rm {A}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$ και ακτίνα ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$ και σημειώνουμε τα σημεία τομής τους ${\displaystyle {\rm {T_{1}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {T_{2}}}}$.
2. Εντοπίζουμε την τομή ${\displaystyle {\rm {O}}}$ του ${\displaystyle {\rm {T_{1}T_{2}}}}$ με την ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$.
3. Διαγράφουμε τον κύκλο με κέντρο ${\displaystyle {\rm {O}}}$ και ακτίνα ${\displaystyle {\rm {OA}}}$ και βρίσκουμε τις τομές του ${\displaystyle {\rm {B}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta }}}$ με την ευθεία ${\displaystyle {\rm {T_{1}T_{2}}}}$.
4. Το ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ είναι ένα τετράγωνο.

Βήμα 0ο

Βήμα 1ο

Βήμα 2ο

Βήμα 3ο

Βήμα 4ο

Σχετικά προβλήματα

Τετραγωνισμός του κύκλου

Κύριο λήμμα: Τετραγωνισμός του κύκλου

Ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένα από τα αρχαιότερα γεωμετρικά προβλήματα. Ζητάει την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου. Το 1882, ο μαθηματικός Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν απέδειξε ότι ο π είναι υπερβατικός και κατά συνέπεια ότι η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη είναι αδύνατη.

Δείτε επίσης

• Τετραγωνισμός του κύκλου
• Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
• Εγγεγραμμένο τετράπλευρο
• Ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο