Dimensionaalanalüüs

Dimensionaalanalüüs ehk ühikanalüüs on füüsikaliste suuruste vaheliste seoste leidmise meetod, mis põhineb nende suuruste dimensioonidel. Füüsikalise suuruse dimensiooni all mõeldakse teatud lineaarselt sõltuvate mõõtühikutega (näiteks toll ja meeter) kirjeldavate füüsikaliste suuruste klassi. Näiteks räägitakse pikkuse dimensiooniga või massi dimensiooniga suurustest.

Dimensionaalanalüüsi saab kasutada tuletatud valemite õigsuse kontrolliks ja keeruliste süsteemide analüüsiks mudeli põhjal.

Definitsioon

Põhidimensioone ehk dimensioone mille kombinatsioonina saab moodustada iga suvaline füüsikalise suuruse dimensiooni on võimalik valida palju erinevaid. SI süsteem soovitab põhidimensioonideks valida massi (M), pikkuse (L), aja (T), elektrivoolu tugevuse (I), absoluutse temperatuuri (Θ), ainehulga (N) ja valgustugevuse (J). Matemaatiliselt on seega iga füüsikalise suuruse dimensiooni Q võimalik esitada kujul:

${\displaystyle {\text{dim}}~{Q}={\mathsf {L}}^{a}{\mathsf {M}}^{b}{\mathsf {T}}^{c}{\mathsf {I}}^{d}{\mathsf {\Theta }}^{e}{\mathsf {N}}^{f}{\mathsf {J}}^{g}}$

kus a, b, c, d, e, f, g on dimensioonide eksponendid. Näiteks avaldub füüsikalise suuruse kiiruse v dimensioon järgnevalt

${\displaystyle {\text{dim}}~v={\frac {\text{pikkus}}{\text{aeg}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {LT}}^{-1}}$.

Füüsikalise suuruse jõud F dimensioon avaldub põhidimensioonidest vastavalt

${\displaystyle {\text{dim}}~F={\text{mass}}\times {\text{kiirendus}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{pikkus}}{{\text{aeg}}^{2}}}={\frac {\mathsf {ML}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {MLT}}^{-2}}$

Ühikanalüüsis ei ole ühik ja dimensioon täpselt sama tähendusega: pikkuse ühik võib olla nii meeter, sentimeeter, jalg või mistahes muu pikkuse ühik, ent tema dimensioon on alati pikkus (L).

Põhitõed

Võrreldavus

Võrrelda, võrdsustada, liita ja lahutada saab ainult samade dimensioonidega suurusi. Erinevate dimensioonidega suurusi võib jagada ja korrutada, kusjuures siis tuleb sama tehe teha ka nende suuruste ühikute vahel. See tähendab, et ei ole võimalik öelda, kas kaks meetrit on rohkem kui üks sekund või neid suurusi omavahel liita. Samas, kui on teada, et keha liigub ühe sekundi jooksul kaks meetrit, võib need suurused omavahel jagada ja järeldada, et keha keskmine kiirus oli kaks meetrit sekundis. Samas ei piisa võrreldavuseks alati samadest ühikutest: kuigi nii energia kui jõumomendi dimensioon on LM²T⁻², on need erinevad suurused.

Põhiteoreem

Prantsuse matemaatik Joseph Fourier jõudis järeldusele, et loodusseadused peavad olema kõikides ühiksüsteemides homogeensed ehk nende vorm ei tohi sõltuda kasutatavatest mõõtühikutest. Selle järelduse formaliseeris Buckinghami π teoreem:

Kui võrrand (funktsionaalne sõltuvus) on dimensionaalselt homogeenne, siis on võimalik teda redutseerida ainult täielikku dimensioonita suuruste hulka sisaldavaks võrrandiks (funktsionaalseks sõltuvuseks).

Buckinghami teoreem kirjeldab ka nende dimensioonita suuruste hulka, milleks võrrandit on võimalik redutseerida. Selleks on p = n ‒ k, kus p on dimensioonideta suuruste arv, n on füüsikalisi suurusi tähistavat muutujate arv algses võrrandis ning k on algse võrrandi poolt kasutatavate põhidimensioonide arv.