Cube parfait

En mathématiques, un cube parfait (un cube s'il n'y a pas ambiguïté) est le cube d'un entier naturel^[1].

Les 5 premiers cubes parfaits non nuls.

Le cube de l'entier ${\displaystyle n}$, généralement noté ${\displaystyle n^{3}}$, est obtenu en multipliant ${\displaystyle n}$ deux fois par lui même :

${\displaystyle n^{3}=n\times n\times n}$

Les cubes parfaits constituent la suite A000578 de l'OEIS, dont les premiers éléments sont :

Puissance	03	13	23	33	43	53	63	73	83	93	103	113	123	133	143	153	163
Résultat	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000	1331	1728	2197	2744	3375	4096

Un nombre cubique, défini comme un cube parfait non nul, peut être associé à l'objet géométrique cube et à son volume^[2].

Propriétés

Les mathématiciens se sont beaucoup intéressés aux propriétés relatives aux nombres cubiques. Certaines de ces propriétés sont mentionnées dans la suite de ce chapitre :

• 1. Le produit de deux nombres cubiques est un nombre cubique.

Démonstration

Si ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont des nombres cubiques, c'est qu'il existe ${\displaystyle n}$ tel que ${\displaystyle a=n^{3}}$ et ${\displaystyle p}$ tel que ${\displaystyle b=p^{3}}$. Donc ${\displaystyle ab=n^{3}p^{3}=(np)^{3}}$. Donc ${\displaystyle ab}$ est un nombre cubique, car il est le cube de ${\displaystyle np}$.

• 2. a ≠ 0 ; ${\displaystyle a}$ est un nombre cubique si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont multiples de ${\displaystyle 3}$.

Démonstration

Si a ≠ 0 est un nombre cubique, alors il existe un entier m > 0 tel que a = m³. En notant ${\displaystyle m={p_{1}}^{k_{1}}\dots {p_{r}}^{k_{r}}}$ la décomposition de ${\displaystyle m}$ en produit de facteurs premiers, on déduit : ${\displaystyle a={p_{1}}^{3k_{1}}\dots {p_{r}}^{3k_{r}},}$ donc tous les exposants dans la décomposition de a sont multiples de ${\displaystyle 3}$.

Réciproquement : si tous les exposants dans la décomposition de a sont multiples de ${\displaystyle 3}$, alors a est de la forme ${\displaystyle {p_{1}}^{3k_{1}}\dots {p_{r}}^{3k_{r}}=\left({p_{1}}^{k_{1}}\dots {p_{r}}^{k_{r}}\right)^{3}.}$

• 3. ab ≠ 0 ; si ab est un cube parfait et si a et b sont premiers entre eux, alors a et b sont aussi des cubes parfaits. Attention, ne pas oublier la seconde condition : par exemple 9×3 = 3³, mais 9 et 3 ne sont pas premiers entre eux et ne sont pas des cubes parfaits.

Démonstration

Si ab ≠ 0 est un nombre cubique, alors sa décomposition en facteurs premiers est de la forme : ${\displaystyle ab={p_{1}}^{3k_{1}}\dots {p_{r}}^{3k_{r}}}$. Comme ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont premiers entre eux , aucun ${\displaystyle p_{i}}$ ne peut diviser à la fois ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$. On peut donc répartir les ${\displaystyle {p_{i}}^{3k_{i}}}$ en deux groupes distincts qui n'ont aucun élément commun : ceux qui divisent ${\displaystyle a}$ et ceux qui divisent ${\displaystyle b}$. Et, par construction, le produit des éléments du premier (resp. second) groupe est égal à ${\displaystyle a}$ (resp. ${\displaystyle b}$), ce qui prouve la propriété.

• 4.

  

  Pour tout ${\displaystyle a}$ entier naturel non nul, ${\displaystyle a^{3}}$ est la somme des ${\displaystyle a}$ entiers impairs les plus proches de ${\displaystyle a^{2}}$. La découverte de cette propriété, illustrée ci-contre par une figure pyramidale extraite des travaux du mathématicien Charles Wheatstone^[3], remonterait à d'Adhémar et Cauchy^[4].

Démonstration

On part de la suite des entiers naturels impairs : ${\displaystyle 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,...}$

On crée ensuite des "paquets" de longueur 1, puis 2, puis 3, etc., ce qui donne : ${\displaystyle (1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),...}$

On somme les éléments de chaque paquet, ce qui donne : ${\displaystyle 1,8,27,64,...}$ et on remarque que cette suite de nombres est la suite ${\displaystyle 1^{3},2^{3},3^{3},4^{3}}$.

On constate la propriété annoncée : ainsi, par exemple, pour ${\displaystyle a=4}$ , ${\displaystyle a^{3}}$ est la somme de ${\displaystyle a=4}$ nombres impairs (${\displaystyle 64=13+15+17+19)}$, qui sont les quatre entiers impairs les plus proches de ${\displaystyle a^{2}=16}$.

Démontrons que cette propriété est vraie pour tout entier ${\displaystyle a}$ supérieur ou égal à ${\displaystyle 2}$.

Si ${\displaystyle a}$ est impair, les ${\displaystyle a}$ entiers impairs les plus proches de ${\displaystyle a^{2}}$ sont ${\displaystyle a^{2}\pm 2i}$ avec ${\displaystyle i=0}$ à ${\displaystyle (a-1)/2}$. Si ${\displaystyle a}$ est pair, ces entiers sont ${\displaystyle a^{2}\pm (2i+1)}$ avec ${\displaystyle i=0}$ à ${\displaystyle a/2}$. Dans les deux cas, par construction, la moyenne de ces ${\displaystyle a}$ nombres est ${\displaystyle a^{2}}$, et leur somme est donc égale à ${\displaystyle a\times a^{2}=a^{3}}$. La propriété est donc démontrée.

Plus généralement, on peut démontrer de la même manière que pour tous entiers ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle n>1}$, ${\displaystyle a^{n}}$est la somme des ${\displaystyle a}$ entiers impairs les plus proches de ${\displaystyle a^{n-1}}$.

• 5. La somme des n premiers nombres cubiques est égale au carré du n-ième nombre triangulaire, et donc également au carré de la somme des ${\displaystyle n}$ premiers entiers :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left({n(n+1) \over 2}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}}$

Démonstration par récurrence

On constate que cette propriété est vraie pour ${\displaystyle n=1}$ ; définissons ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}i^{3}}$ et supposons que ${\displaystyle S_{n}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}}$. On sait que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}$. Donc : ${\displaystyle S_{n}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$. Alors : ${\displaystyle S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{3}={\frac {(n+1)^{2}}{4}}(n^{2}+4n+4)=\left({\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\right)^{2}}$. La propriété est donc démontrée.

• 6. Il n'existe pas pour les nombres cubiques d'identité similaire à celle des triplets pythagoriciens pour les nombres carrés. En effet, une preuve élémentaire, amorcée par Euler, montre qu'il n'y a aucune solution non triviale à ${\displaystyle a^{3}+b^{3}=c^{3}}$ avec ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle c}$ entiers naturels (c'est un cas particulier du théorème de Fermat-Wiles).

• 7. Il existe une infinité de nombres cubiques qui sont égaux à la somme de trois autres nombres cubiques. L'exemple le plus célèbre est 3³ + 4³ + 5³ = 6³ (nombre de Platon) . La formule due à Srinivasa Ramanujan prouve cette affirmation et permet de construire des nombres cubiques possédant cette propriété à partir de couples d'entiers naturels ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ^[5]:

${\displaystyle (3a^{2}+5ab-5b^{2})^{3}+(4a^{2}-4ab+6b^{2})^{3}+(5a^{2}-5ab-3b^{2})^{3}=(6a^{2}-4ab+4b^{2})^{3}}$

• 8. Tout entier ${\displaystyle \geqslant 1}$ est somme d'au plus 9 nombres cubiques, le plus petit requérant 9 nombres cubiques est ${\displaystyle 23=2\times 8+7\times 1}$ (problème de Waring). La liste des plus petits nombres de nombres cubiques requis dans la décomposition des entiers, tous inférieurs ou égaux à 9, est donnée par la suite A002376 de l'OEIS. Depuis 2015, on sait qu'à partir de 455, tout entier est somme d'au plus 7 nombres cubiques^[6].

Nombre cubique et géométrie

Construction du quatrième nombre cubique ${\displaystyle 4^{3}=64}$.

Un nombre cubique est un nombre figuré polyédrique (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un cube^[7]. Par exemple, 8 est un nombre cubique puisqu'il peut être représenté par un cube de 2 × 2 × 2 points. Les nombres cubiques sont donc exactement les cubes parfaits strictement positifs, le n-ième étant ${\displaystyle n}$³.

On obtient ${\displaystyle C_{n}}$ à partir de la relation : ${\displaystyle C_{n}-C_{n-1}=(S-1)+(A-d)(n-2)+(F-d)(P_{k,n}-k(n-1))}$

où ${\displaystyle S=8,A=12,F=6}$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces du dodécaèdre, ${\displaystyle \{k,d\}=\{4,3\}}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} et ${\displaystyle P_{k,n}}$ le nombre k-gonal d'ordre ${\displaystyle n}$ ^[8].

On obtient donc ${\displaystyle C_{n}-C_{n-1}=(8-1)+(12-3)(n-2)+(6-3)(n^{2}-4(n-1))=3n^{2}-3n+1=n^{3}-(n-1)^{3}}$.

D'où ${\displaystyle C_{n}=n^{3}}$.

Cubes parfaits dans le monde réel

Cristallographie

Bloc de roche contenant trois cristaux de pyrite (FeS₂). La structure cristalline de la pyrite est cubique à faces centrées.

Les cubes parfaits sont présents dans la nature, notamment dans la structure cristalline de certains éléments. La maille constitutive de ces éléments est un cube, qui peut être centré ou même à faces centrées, et la structure de l'élément est constituée par l'association de ces mailles élémentaires, pouvant former des cristaux cubiques contenant un très grand nombre d'atomes. Parmi les éléments ainsi constitués, on peut citer:

• structure cubique simple : polonium ;
• structure cubique centrée : fer, chrome, tungstène, etc ;
• structure cubique à faces centrées : aluminium, cuivre, or, argent, etc.

Objets manufacturés

Rubik's Cube 3x3x3 mélangé.

Les cubes parfaits pouvant être représentés par des objets physiques, ils sont présents dans une grande variété de réalisations humaines. En particulier, de très nombreux jeux utilisent des dés cubiques, dont les six faces sont généralement numérotées de 1 à 6. Nombreux également sont les jeux destinés à la première enfance utilisant des cubes pouvant s'empiler, s'emboîter^[9] ou être accolés pour créer diverses configurations^[10], y compris pour créer des cubes de plus en plus grands : 2x2x2 avec 8 cubes unitaires, 3x3x3 avec 27 cubes unitaires, etc. Et le célèbre Rubik's Cube, décliné en de multiples variantes depuis sa création en 1974, se présente, dans sa forme originelle, comme un cube parfait de 3x3x3^[11].