Inverso aditivo

En matemáticas, o inverso aditivo dun elemento x, denotado -x^[1], é o elemento que cando se engade a x, dá a identidade aditiva, 0^[2]. Nos casos máis coñecidos, este é o número 0, mais tamén pode referirse a un elemento cero máis xeneralizado.

En matemáticas elementais, o inverso aditivo é frecuentemente referido como o número oposto^[3]. O concepto está moi relacionado coa resta^[4] e é importante para resolver ecuacións alxébricas^[5]. Non todos os conxuntos onde se define a suma teñen un inverso aditivo, como os números naturais^[6].

Exemplos comúns

Cando se traballa con números enteiros, números racionais, números reais e números complexos, o inverso aditivo de calquera número pódese atopar multiplicándoo por −1. ^[5]

Estes números complexos, dous dos oito valores de ${\displaystyle {\sqrt[{8}]{1}}}$, son mutuamente opostos

Casos sinxelos de inversos aditivos

${\displaystyle n}$	${\displaystyle -n}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle -7}$
${\displaystyle 0.35}$	${\displaystyle -0.35}$
${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{4}}}$
${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle -\pi }$
${\displaystyle 1+2i}$	${\displaystyle -1-2i}$

Relación coa resta

O inverso aditivo está intimamente relacionado coa resta, que se pode ver como unha suma usando a inversa:

a − b  =  a + (−b).

Pola contra, o inverso aditivo pode considerarse como unha resta de cero:

−a = 0 − a.

Esta conexión levou a que o signo menos se utilizase tanto para magnitudes opostas como para resta xa no século XVII. Aínda que esta notación é estándar hoxe en día, naquel momento atopouse con oposición, xa que algúns matemáticos consideraron que podería ser pouco clara e levar a erros.^[7]

Definición formal

Dada unha estrutura alxébrica definida baixo a suma ${\displaystyle (S,+)}$ cunha identidade aditiva ${\displaystyle e\in S}$, un elemento ${\displaystyle x\in S}$ ten unha inversa aditiva ${\displaystyle y}$ se e só se ${\displaystyle y\in S}$, ${\displaystyle x+y=e}$, e ${\displaystyle y+x=e}$. ^[6]

Normalmente, a adición só se usa para referirse a unha operación conmutativa, mais non é necesariamente asociativa. Cando é asociativa, de modo que ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$, os inversos pola esquerda e pola dereita, se os existen, coincidirán, e o inverso aditivo será único. En casos non asociativos, os inversos pola esquerda e pola dereita poden non coincidir, e nestes casos considérase que o inverso non existe.

A definición require pechamento, que o elemento aditivo ${\displaystyle y}$ estea en ${\displaystyle S}$. É por iso que malia que a suma está definida sobre os números naturais, non é unha inversa aditiva para os seus membros. Os inversos asociados serían os números negativos, polo que os enteiros si teñen un inverso aditivo.

Outros exemplos

• Nun espazo vectorial, o inverso aditivo −v (moitas veces chamada vector oposto de v) ten a mesma magnitude que v e mais a dirección oposta.
• En aritmética modular, o inverso aditivo modular de x é o número a tal que a + x ≡ 0 (mod n) e sempre existe. Por exemplo, o inverso de 3 módulo 11 é 8, xa que 3 + 8 ≡ 0 (mod 11).
• Nun anel booleano, que ten elementos ${\displaystyle \{0,1\}}$ a suma defínese a miúdo como a diferenza simétrica. Entón ${\displaystyle 0+0=0}$, ${\displaystyle 0+1=1}$, ${\displaystyle 1+0=1}$, e ${\displaystyle 1+1=0}$. A nosa identidade aditiva é 0, e ambos os elementos son o seu propio inverso aditivo pois ${\displaystyle 0+0=0}$ e ${\displaystyle 1+1=0}$. ^[8]