Intervalo unidade

En matemáticas, o intervalo unitario (tamén intervalo unitario) é o intervalo pechado [0,1], é dicir, o conxunto de todos os números reais que son maiores ou iguais a 0 e menores ou iguais a 1. A miúdo denotado como I. Alén do seu papel na análise real, o intervalo unitario úsase para estudar teoría da homotopía no campo da topoloxía.

O intervalo unidade como subconxunto da recta real

Propiedades

O intervalo unidade é un espazo métrico completo, homeomorfo á recta numérica real estendida. Como espazo topolóxico, é compacto, contráctil, conexo e conexo localmente.

O cubo de Hilbert obtense tomando un produto topolóxico de moitas copias numerábeis do intervalo unidade.

Na análise matemática, o intervalo unidade é unha variedade analítica unidimensional cuxo límite está formado polos dous puntos 0 e 1. A súa orientación estándar vai de 0 a 1.

O intervalo unidade é un conxunto totalmente ordenado e unha retícula completa (todo subconxunto do intervalo unidade ten un supremo e un ínfimo).

Cardinalidade

O tamaño ou cardinalidade dun conxunto é o número de elementos que contén.

O intervalo unidade é un subconxunto dos números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Porén, ten o mesmo tamaño que todo o conxunto: a cardinalidade do continuo. Dado que os números reais poden usarse para representar puntos ao longo dunha liña infinitamente longa, isto implica que un segmento de liña de lonxitude 1, que é unha parte desa liña, ten o mesmo número de puntos que a liña enteira. A maiores, ten o mesmo número de puntos que un cadrado de área 1, que un cubo de volume 1 e tamén os mesmos puntos que un espazo euclidiano n-dimensional non limitado ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (ver Curva de recheo de espazos).

O número de elementos (números reais ou puntos) en todos os conxuntos anteriormente mencionados é non numerábel, xa que é estritamente maior que o número de números naturais.

Xeneralizacións

O intervalo [ -1,1 ], de lonxitude dous, delimitado polas unidades positivas e negativas, úsase con frecuencia, como no intervalo das funcións trigonométricas seno e coseno e a función hiperbólica tanh. Este intervalo pódese usar para o dominio das funcións inversas. Por exemplo, cando 𝜃 está restrinxido a [− π/2, π/2 ] entón ${\displaystyle \sin \theta }$ está nese intervalo e alí defínese o arcoseno.