Polinomio característico

Na álxebra linear, o polinomio característico dunha matriz cadrada é un polinomio que é invariante baixo a semellanza de matrices e ten os eigenvalores como raíces. Ten o determinante e a traza da matriz entre os seus coeficientes.

O polinomio característico dun endomorfismo dun espazo vectorial de dimensión finita é o polinomio característico da matriz dese endomorfismo sobre calquera base (é dicir, o polinomio característico non depende da elección dunha base).

A ecuación característica, tamén coñecida como ecuación determinante,^[1][2][3] é a ecuación obtida ao igualar o polinomio característico a cero.

Na teoría de grafos espectral, o polinomio característico dun grafo é o polinomio característico da súa matriz de adxacencia.^[4]

Definición formal

Considere unha matriz ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$. O polinomio característico de ${\displaystyle A,}$ denotado como ${\displaystyle p_{A}(t),}$ é o polinomio definido por^[5] $${\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)}$$ onde ${\displaystyle I}$ denota a matriz de identidade ${\displaystyle n\times n}$.

Algúns autores definen o polinomio característico ser ${\displaystyle \det(A-tI).}$

Exemplos

Para calcular o polinomio característico da matriz $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$$ calcúlase o determinante da seguinte matriz: $${\displaystyle tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}}$$e atopamos que o polinomio característico de ${\displaystyle A}$ ven sendo ${\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!.}$

Segundo exemplo, esta vez usando funcións hiperbólicas dun ángulo hiperbólico φ como coeficientes da matriz. Para a matriz $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}},}$$o seu polinomio característico é $${\displaystyle \det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).}$$

Propiedades

O feito máis importante sobre o polinomio característico xa se mencionou no parágrafo inicial os autovalores de ${\displaystyle A}$ son precisamente as raíces de ${\displaystyle p_{A}(t)}$.

Para as matrices ${\displaystyle A}$ de dimensión ${\displaystyle 2\times 2}$ o polinomio característico vén dado por $${\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).}$$

O teorema de Cayley-Hamilton estabelece que substituíndo ${\displaystyle t}$ por ${\displaystyle A}$ no polinomio característico (interpretando as potencias resultantes como potencias matriciais e o termo constante ${\displaystyle c}$ como ${\displaystyle c}$ veces a matriz identidade) dá a matriz cero. Informalmente falando, cada matriz satisfai a súa propia ecuación característica.

Dúas matrices semellantes teñen o mesmo polinomio característico. Porén, a inversa non é verdade en xeral: dúas matrices co mesmo polinomio característico poden non ser semellantes.

A matriz ${\displaystyle A}$ e a súa transposta teñen o mesmo polinomio característico. ${\displaystyle A}$ é semellante a unha matriz triangular se e só se o seu polinomio característico pode factorizarse completamente en factores lineares sobre ${\displaystyle K}$ (o mesmo ocorre co polinomio mínimo en lugar do polinomio característico). Neste caso ${\displaystyle A}$ é semellante a unha matriz na forma normal de Jordan.

Polinomio característico de Ak

Se ${\displaystyle \lambda }$ é un eigenvalor dunha matriz cadrada ${\displaystyle A}$ con eigenvector ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ entón ${\displaystyle \lambda ^{k}}$ é un eigenvalor de ${\displaystyle A^{k}}$ porque $${\displaystyle A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.}$$

Tamén se pode demostrar que as multiplicidades coinciden, e isto xeneralízase a calquera polinomio en lugar de ${\displaystyle x^{k}}$:^[6]

Sexa ${\displaystyle A}$ unha matriz cadrada ${\displaystyle n\times n}$ e sexa ${\displaystyle f(t)}$ un polinomio. Se o polinomio característico de ${\displaystyle A}$ ten unha factorización $${\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})}$$ entón o polinomio característico da matriz ${\displaystyle f(A)}$ ven dado por $${\displaystyle p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).}$$

O teorema aplícase a matrices e polinomios sobre calquera caorpo ou anel conmutativo.^[7] Porén, a suposición de que ${\displaystyle p_{A}(t)}$ ten unha factorización en factores lineares non sempre é verdade, a non ser que a matriz estea sobre un corpo alxebricamente pechado como os números complexos.