Produto de Hadamard

En matemáticas, o produto de Hadamard (tamén coñecido como produto elemento a elemento ou produto de Schur^[1]) é unha operación binaria que toma dúas matrices das mesmas dimensións e devolve unha matriz dos elementos correspondentes multiplicados. Esta operación pódese pensar como unha "multiplicación matricial inxenua" e é diferente do produto matricial. Atribúese e recibe o nome do matemático francés Jacques Hadamard ou do matemático ruso-alemán Issai Schur.

O produto de Hadamard opera sobre matrices de forma idéntica e produce unha terceira matriz das mesmas dimensións.

O produto de Hadamard é asociativo e distributivo. A diferenza do produto matricial, tamén é conmutativo.^[2]

Definición

Para dúas matrices A e B da mesma dimensión m × n, o produto de Hadamard ${\displaystyle A\odot B}$ (ás veces ${\displaystyle A\circ B}$^[3][4][5]) é unha matriz da mesma dimensión que os operandos, con elementos dados por ^[2]

${\displaystyle (A\odot B)_{ij}=(A)_{ij}(B)_{ij}.}$

Para matrices de diferentes dimensións ( m × n e p × q, onde m ≠ p ou n ≠ q ), o produto de Hadamard non está definido.

Por exemplo, o produto Hadamard para dúas matrices arbitrarias de 2 × 3 sería:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&1\\0&8&-2\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}3&1&4\\7&9&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 3&3\times 1&1\times 4\\0\times 7&8\times 9&-2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&3&4\\0&72&-10\end{bmatrix}}}$

Teorema do produto de Schur

Artigo principal: Teorema do produto de Schur.

O produto de Hadamard de dúas matrices positivas-semidefinidas é positiva-semidefinida.^[2] Isto coñécese como o teorema do produto de Schur^[6]. Para dúas matrices positivas-semidefinidas A e B, tamén se sabe que o determinante do seu produto de Hadamard é maior ou igual ao produto dos seus respectivos determinantes:^[7]

${\displaystyle \det({A}\odot {B})\geq \det({A})\det({B}).}$

Aplicacións

O produto Hadamard aparece en algoritmos de compresión con perdas como JPEG. O paso de decodificación implica un produto de elemento por elemento, noutras palabras, o produto Hadamard.

Tamén se usa para estudar as propiedades estatísticas de vectores aleatorios e matrices.^[8][9]