Produto interno

En matemática, chámase produto interno (ou interior) a unha función de dous vectores que satisfai determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na xeometría euclidiana, é un caso especial de produto interno.

Artigos principais: Espazo prehilbertiano e produto escalar.

Definicións

Sexa V un espazo vectorial sobre un corpo K. En V, podemos definir a función binaria ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow K}$ (denominada produto interno), que satisfai os seguintes axiomas:

1. ${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\overline {\langle v,u\rangle }}}$
2. ${\displaystyle \langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle }$
3. ${\displaystyle \langle \lambda u,v\rangle =\lambda \langle u,v\rangle }$
4. Se ${\displaystyle v\neq 0}$, entón ${\displaystyle \langle v,v\rangle }$> ${\displaystyle 0}$

onde u, v e w son vectores de V, e λ é un elemento de K.

A partir deses axiomas, é posíbel probar as seguintes consecuencias:

• ${\displaystyle \langle u,v+w\rangle =\langle u,v\rangle +\langle u,w\rangle }$
• ${\displaystyle \langle u,\lambda v\rangle ={\overline {\lambda }}\langle u,v\rangle }$
• Se ${\displaystyle v=0}$, entón ${\displaystyle \langle v,v\rangle =0}$
• Se ${\displaystyle \langle v,v\rangle =0}$, entón ${\displaystyle v=0}$

Outra definición que resulta de utilidade é a de semi-produto interno, que se define substituíndo a condición 4 da definición do produto interno pola seguinte:

• Se ${\displaystyle v}$ é un vector tal que ${\displaystyle \langle v,w\rangle =0,\forall w\in {\mathbf {V}}}$, entón ${\displaystyle v=0}$.

Cando se cumpre tal condicón, dise que o produto é non dexenerado. Ademais, todo produto interno é un semi-produto interno, xa que a condición 4 implica que o produto é non dexenerado.

Exemplos

O produto escalar sobre o espazo vectorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ satisfai os axiomas do produto interno e é definido por:

${\displaystyle \langle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\rangle =x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}$

Se f e g son dúas funcións, é posíbel definir o produto interno:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int f(x){\overline {g(x)}}\,dx}$

Aplicacións

A partir do produto interno, é posíbel definir os conceptos de ortogonalidade, norma e distancia entre vectores.

Véxase tamén

• Espazo de produto interno
• Produto escalar
• Álxebra
• Produto externo