Normal (xeometría)

En xeometría, unha normal é un obxecto (por exemplo, unha liña, un raio ou un vector) que é perpendicular a outro obxecto dado. Por exemplo, a recta normal a unha curva plana nun punto dado é a recta perpendicular á tanxente á curva no punto.

Un polígono e os seus dous vectores normais

Unha normal a unha superficie nun punto é o mesmo que unha normal ao plano tanxente á superficie no mesmo punto.

Un vector normal de lonxitude un chámase vector normal unitario. Un vector de curvatura é un vector normal cuxa lonxitude é a curvatura do obxecto. Multiplicando un vector normal por −1 resulta o vector oposto, que se pode usar para indicar os lados (por exemplo, interior ou exterior).

No espazo tridimensional, unha superficie normal, ou simplemente unha normal, a unha superficie no punto P é un vector perpendicular ao plano tanxente da superficie en P. A palabra normal tamén se usa como adxectivo: unha liña normal a un plano, a compoñente normal dunha forza, o vector normal, etc. O concepto de normalidade xeneralízase á ortogonalidade (ángulos rectos ).

O concepto foi xeneralizado a variedades diferenciábeis de dimensión arbitraria mergulladas nun espazo euclidiano. O espazo vectorial normal ou espazo normal dunha variedade nun punto ${\displaystyle P}$ é o conxunto de vectores ortogonais ao espazo tanxente en ${\displaystyle P.}$ Os vectores normais son de especial interese no caso de curvas suaves e superficies suaves.

O pé dunha normal nun punto de interese Q (análogo ao pé dunha perpendicular) pódese definir no punto P da superficie onde o vector normal contén Q. A distancia normal dun punto Q a unha curva ou a unha superficie é a distancia euclidiana entre Q e o seu pé P.

Normal de curvas no espazo

Dirección normal (en vermello) a unha curva (en negro).

A dirección normal dunha curva espacial é:

${\displaystyle \mathbf {N} =R{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}}$

onde ${\displaystyle R=\kappa ^{-1}}$ é o raio de curvatura (curvatura recíproca); ${\displaystyle \mathbf {T} }$ é o vector tanxente, en termos da posición da curva ${\displaystyle \mathbf {r} }$ e a lonxitude do arco ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}}$

Normal a planos e polígonos

Ecuación do plano en forma normal

Para un polígono convexo (como un triángulo), unha normal de superficie pódese calcular como o produto vectorial de dúas arestas (non paralelas) do polígono.

Para un plano dado pola ecuación do plano de forma xeral ${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$ o vector ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$ é a normal do plano.

Para un plano cuxa ecuación está dada en forma paramétrica $${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,}$$onde ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ é un punto do plano e ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ son vectores non paralelos que apuntan ao longo do plano, unha normal ao plano é un vector normal a ámbolos dous ${\displaystyle \mathbf {p} }$ e ${\displaystyle \mathbf {q} ,}$ que se pode atopar como o produto vectorial ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .}$

Normal a superficies xerais no espazo 3D

Unha superficie curva que mostra os vectores normais unitarios (frechas azuis) á superficie

Se unha superficie (posiblemente non plana) ${\displaystyle S}$ no espazo 3D ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ está parametrizada por un sistema de coordenadas curvilíneas ${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),}$ con ${\displaystyle s}$ e ${\displaystyle t}$ variables reais, entón unha normal a S é, por definición, unha normal a un plano tanxente, dada polo produto vectorial das derivadas parciais. $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}$$

Se unha superficie ${\displaystyle S}$ dáse implícitamente como o conxunto de puntos ${\displaystyle (x,y,z)}$ que satisfán ${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$ entón unha normal nun punto ${\displaystyle (x,y,z)}$ na superficie vén dada polo gradiente $${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).}$$xa que o gradiente en calquera punto é perpendicular ao conxunto de niveis ${\displaystyle S.}$

Para unha superficie ${\displaystyle S}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dada como gráfica dunha función ${\displaystyle z=f(x,y),}$ pódese atopar unha normal cara arriba a partir da parametrización ${\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),}$ obtendo $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);}$$ ou máis simplemente desde a súa forma implícita ${\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,}$ obtendo ${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).}$ Dado que unha superficie non ten un plano tanxente nun punto singular, non ten unha normal ben definida nese punto: por exemplo, o vértice dun cono. En xeral, é posible definir unha normal en case todas as partes para unha superficie que é unha función continua de Lipschitz.

Orientación

Un campo vectorial de normais a unha superficie

A normal a unha (hiper)superficie adoita escalarse para ter unha lonxitude unidade, mais non ten unha dirección única, xa que o seu oposto tamén é unha unidade normal. Para unha superficie que é o fronteira topolóxica dun conxunto en tres dimensións, pódese distinguir entre dúas orientacións normais, a normal que apunta cara a dentro e a normal que apunta caara ao exterior. Para unha superficie orientada, a normal adoita estar determinada pola regra da man dereita ou o seu análogo en dimensións superiores.

Variedades definidas por ecuacións implícitas no espazo n-dimensional

Unha variedade diferencial definida por ecuacións implícitas no ${\displaystyle n}$-espazo dimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é o conxunto dos ceros comúns dun conxunto finito de funcións diferenciables en ${\displaystyle n}$ variables $${\displaystyle f_{1}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\ldots ,f_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).}$$A matriz jacobiana da variedade é a matriz ${\displaystyle k\times n}$ cuxa ${\displaystyle i}$-ésima fila é o gradiente de ${\displaystyle f_{i}.}$ Polo teorema da función implícita, a variedade é unha variedade na proximidade dun punto onde a matriz jacobiana ten rango ${\displaystyle k.}$ En tal punto ${\displaystyle P,}$ o espazo vectorial normal é o espazo vectorial xerado polos valores en ${\displaystyle P}$ dos vectores de gradiente do ${\displaystyle f_{i}.}$

O espazo normal (afín) nun punto ${\displaystyle P}$ da variedade é o subespazo afín que pasa por ${\displaystyle P}$ e xerado polo espazo vectorial normal en ${\displaystyle P.}$

Exemplo

Sexa V a variedade definida no espazo tridimensional polas ecuacións $${\displaystyle x\,y=0,\quad z=0.}$$Esta variedade é a unión do eixo ${\displaystyle x}$ e o eixo ${\displaystyle y}$.

Nun punto ${\displaystyle (a,0,0),}$ onde ${\displaystyle a\neq 0,}$ as filas da matriz jacobiana son ${\displaystyle (0,0,1)}$ e ${\displaystyle (0,a,0).}$ Así, o espazo afín normal é o plano de ecuación ${\displaystyle x=a.}$ Do mesmo xeito, se ${\displaystyle b\neq 0,}$ o plano normal en ${\displaystyle (0,b,0)}$ é o plano da ecuación ${\displaystyle y=b.}$

No punto ${\displaystyle (0,0,0)}$ as filas da matriz jacobiana son ${\displaystyle (0,0,1)}$ e ${\displaystyle (0,0,0).}$ Así, o espazo vectorial normal e o espazo afín normal teñen dimensión 1 e o espazo afín normal é o eixo ${\displaystyle z}$.