Teoremas do isomorfismo

En matemáticas, en concreto álxebra abstracta, os teoremas do isomorfismo (tamén coñecidos como Teoremas de isomorfismo de Noether) son teoremas que describen a relación entre cocientes, homomorfismos e, subobxectos. Existen versións dos teoremas para grupos, aneis, espazos vectoriais, módulos, Álxebras de Lie, e outras estruturas alxébricas. En álxebra universal, os teoremas de isomorfismo poden ser xeneralizados ao contexto de álxebras e congruencias.

Historia

Os teoremas do isomorfismo foron formulados nalgunha xeneralidade para homomorfismos de módulos por Emmy Noether no seu artigo Abstrakter Aufbau der Idealtheorie en alxébrica Zahl - Und Funktionenkörpern, que foi publicado en 1927 en Mathematische Annalen. As versións menos xerais destes teoremas pódense atopar no traballo de Richard Dedekind e documentos anteriores de Noether.

Tres anos despois, B. l. van der Waerden publicou a súa influente Moderne Algebra, o primeiro libro de texto de álxebra abstracta que levou unha aproximación a este tema en grupos-aneis-corpos. Van der Waerden utilizou as conferencias de Noether sobre teoría de grupos e Emil Artín sobre álxebra, así como un seminario realizado por Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier, e o propio van der Waerden sobre ideais como as principais referencias.

Imos ver os teoremas de isomorfismo referidos aos grupos. Os teoremas refírense pola orde ou as veces polas letras A, B e C.

Primeiro teorema do isomorfismo

Diagrama do teorema fundamental sobre homomorfismos

Sexan G e H grupos, e sexa f : G → H un homomorfismo. Entón:

1. O kernel de f é un subgrupo normal de G.
2. A imaxe de f é un subgrupo de H.
3. A imaxe de f é isomorfa ao grupo cociente G / ker(f).

En particular, se f é sobrexectivo entón H é isomorfo a G / ker(f).

Segundo teorema do isomorfismo

Diagrama para o segundo teorema punto 4. Os dous grupos cocientes (punteados) son isomorfos.

Sexa ${\displaystyle G}$ un grupo. Sexa ${\displaystyle S}$ un subgrupo de ${\displaystyle G}$, e sexa ${\displaystyle N}$ un subgrupo normal de ${\displaystyle G}$. Entón cúmprese o seguinte:^[1]

1. O produto ${\displaystyle SN}$ é un subgrupo de ${\displaystyle G}$.
2. O subgrupo ${\displaystyle N}$ é un subgrupo normal de ${\displaystyle SN}$.
3. A intersección ${\displaystyle S\cap N}$ é un subgrupo normal de ${\displaystyle S}$.
4. Os grupos cocientes ${\displaystyle (SN)/N}$ e ${\displaystyle S/(S\cap N)}$ son isomorfos.

Tecnicamente, non é necesario que ${\displaystyle N}$ sexa un subgrupo normal, sempre que ${\displaystyle S}$ sexa un subgrupo do normalizador de ${\displaystyle N}$ en ${\displaystyle G}$. Neste caso, ${\displaystyle N}$ non é un subgrupo normal de ${\displaystyle G}$ mais ${\displaystyle N}$ é aínda un subgrupo normal do produto ${\displaystyle SN}$.

Unha aplicación do segundo teorema do isomorfismo é identificar os grupos lineares proxectivos, por exemplo, o grupo sobre a liña proxectiva complexa comeza facendo ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$, o grupo de matrices complexas 2 × 2 invertíbeis, ${\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$, o subgrupo de matrices de determinante 1, e ${\displaystyle N}$ o subgrupo normal de matrices escalares ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}$, con eses grupos temos ${\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}$, onde ${\displaystyle I}$ é a matriz identidade e, ${\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$. Entón o segundo teorema do isomorfismo afirma que:

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Terceiro teorema do isomorfismo

Sexa ${\displaystyle G}$ un grupo, e ${\displaystyle N}$ un subgrupo normal de ${\displaystyle G}$. Entón

1. Se ${\displaystyle K}$ é un subgrupo de ${\displaystyle G}$ tal que ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$, entón ${\displaystyle G/N}$ ten un subgrupo isomorfo a ${\displaystyle K/N}$.
2. Cada subgrupo de ${\displaystyle G/N}$ é da forma ${\displaystyle K/N}$ para algún subgrupo ${\displaystyle K}$ de ${\displaystyle G}$ tal que ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$.
3. Se ${\displaystyle K}$ é un subgrupo normal de ${\displaystyle G}$ tal que ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$, entón ${\displaystyle G/N}$ ten un subgrupo normal isomorfo a ${\displaystyle K/N}$.
4. Cada subgrupo normal de ${\displaystyle G/N}$ é da forma ${\displaystyle K/N}$ para algún subgrupo normal ${\displaystyle K}$ de ${\displaystyle G}$ tal que ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$.
5. Se ${\displaystyle K}$ é un subgrupo normal de ${\displaystyle G}$ tal que ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$, entón o grupo cociente ${\displaystyle (G/N)/(K/N)}$ é isomorfo a ${\displaystyle G/K}$.

As catro primeiras afirmacións adoitan subsumirse baixo o Cuarto teorema do isomorfismo que mostramos a continuación.

Cuarto teorema do isomorfismo

Sexa ${\displaystyle G}$ un grupo, e ${\displaystyle N}$ un subgrupo normal de ${\displaystyle G}$. O homomorfismo da proxección canónica ${\displaystyle G\rightarrow G/N}$ define unha correspondencia bixectiva entre o conxunto de subgrupos de ${\displaystyle G}$ contendo ${\displaystyle N}$ e o conxunto dos (todos) subgrupos de ${\displaystyle G/N}$. Baixo esta correspondencia, os subgrupos normais correspóndense con subgrupos normais.

Este teorema denomínanse tamén como o teorema da retícula, teorema de correspondencia.

Comentarios

O primeiro teorema do isomorfismo pode ser expresado en teoría das categoría coomo que a categoría de grupos é (epi normal, mono) factorizábel; noutras palabras, os epimorfismos normais e os monomorfismos forman un sistema de factorización para a categoría. Isto está capturado no diagrama conmutativo na marxe, que mostra os obxectos e morfismos cuxa existencia pode deducirse do morfismo ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$. O diagrama mostra que cada morfismo na categoría de grupos ten un kernel no sentido da teoría das categorías; o morfismo arbitrario f factoriza en ${\displaystyle \iota \circ \pi }$, onde ${\displaystyle \iota }$ é un monomorfismo e ${\displaystyle \pi }$ é un epimorfismo (na categoría conormal, todos os epimorfismos son normais). Isto está representado no diagrama por un obxecto ${\displaystyle \ker f}$ e un monomorfismo ${\displaystyle \kappa$ :\ker f\rightarrow G} (os kernels son sempre monomorfismos), que completan a secuencia exacta curta que vai desde a parte inferior esquerda ata a parte superior dereita do diagrama. O uso da convención da secuencia exacta sálvanos de ter que debuxar os morfismos cero de ${\displaystyle \ker f}$ cara a ${\displaystyle H}$ e cara a ${\displaystyle G/\ker f}$.

No segundo teorema do isomorfismo, o produto SN é o join de S e N na rede de subgrupos de G, mentres que a intersección S ∩ N é o meet.

O terceiro teorema do isomorfismo é xeneralizado polo lema nove para categorías abelianas e máis en xeral mapas entre obxectos.

Álxebra Universal

Para xeneralizar o visto anteriormente para grupos na álxebra universal, os subgrupos normais deben ser substituídos por relacións de congruencia.

Imos mostra un exemplo para o teorema fundamental do isomorfismo.

Primeiro teorema do isomorfismo na álxebra universal

Sexa ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ unha álxebra homomorfismo. Entón a imaxe de ${\displaystyle f}$ é unha subalxebra de ${\displaystyle B}$, a relación dada por ${\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}$ (é dicir, o kernel de ${\displaystyle f}$) é unha congruencia sobre ${\displaystyle A}$, e as álxebras ${\displaystyle A/\Phi }$ e ${\displaystyle \operatorname {im} f}$ son isomorfas. (Note que no caso dun grupo, ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ se e só se ${\displaystyle f(xy^{-1})=1}$, así cubrimos a noción de kernel usado na teoría de grupos neste caso.)