אברהם אילת בוגר הגימנסיה הרצליה בתל אביב וחניך תנועת השומר הצעיר. בזמן לימודיו בגימנסיה העברית הרצליה בתל אביב השתתף בחוג לציור בהדרכת הצייר אריה אלואיל שהאמין בכישרונו ואף הזמין אותו בחופש הגדול לצפת לצייר בהדרכתו (1954).
לאחר שסיים שירותו בצה"ל במסגרת הנח"ל הצטרף לקיבוץ שמיר באצבע הגליל, שם היה חבר בין השנים 1960–1978. בשנותיו הראשונות בשמיר עבד אילת כרועה צאן לצידו של הצייר משה כגן שהיה אביו המאמץ בקיבוץ. שנים 1962 – 1965, במקביל לעבודתו כרועה צאן בקיבוץ, למד יומיים בשבוע ב"בית הספר הגבוה לציור" בהדרכתו של מייסד בית הספר הצייר אריה מרגושילסקי. המגע הבלתי אמצעי עם הטבע ותופעותיו השפיע על תפישת עולמו של אילת וקבע את הנושאים החוזרים ומופיעים לאורך השנים ביצירתו.
ב־1966 נסע אברהם אילת לפריז והצטרף ל"אטלייה 17" - סדנה בינלאומית לתחריט - אותה הקים וניהל האמן האנגלי ויליאם סטנלי הייטר(W.S.Hayter). בסדנה התוודע אילת לאמנים מארצות שונות והתיידד עם הצייר היפניקנג'י יושידה(Kenji Yoshida) ששנתיים מאוחר יותר היה אורחו בקיבוץ שמיר. ב-1970, לאחר שכבר הציג מספר תערוכות, זכה אילת במלגת השתלמות בחו"ל של קרן אמריקה-ישראל והתקבל ללימודים מתקדמים בבית הספר לאמנות סנט מרטין (St. Martin's School of Art) בלונדון, שם למד בהנחייתו של הפסל אנתוני קארו, ובמקביל החל ליצור סרטים נסיוניים בהדרכתו של אמן הקולנוע המחתרתי מלקולם לה גרייס(Malcolm Le Grice).
אברהם אילת מתגורר עם בת זוגו מרגול גוטמן בעין הוד ויוצר בחיפה ובעין הוד.
ללא כותרת, 1968 עיפרון על נייר
מתוך הסדרה נופי ריק, תצריב, 1995 תצריב
1985-1986 - יזם את הביאנלה הישראלית הראשונה לצילום בעין חרוד, חבר בצוות הקמתה, מכין ומנהל במסגרתה שבוע של סדנאות בהשתתפות אנשי צילום ידועי שם מרחבי העולם
1992-1998 - חבר בוועדה לאמנות פלסטית של "אמנות לעם"
1995-1998 - יו"ר "פירמידה", עמותה לאמנות עכשווית, ואדי סליב, חיפה
2003-2010 - יו"ר "פירמידה", עמותה לאמנות עכשווית, שהוא אחד ממייסדיה, בוואדי סליב, חיפה.
בין השנים 1962–1998 לימד מקצועות שונים של אמנות במוסדות להשכלה גבוהה, ביניהם: מכללת תל-חי, בית הספר "קלישר" תל אביב, בצלאל בירושלים, הפקולטה לאדריכלות בטכניון בחיפה ומכללת ויצו לעיצוב בחיפה בה גם עמד בתקופה מסוימת בראש המחלקה לצילום.
עבודותיו של אילת הוצגו במאות תערוכות קבוצתיות בארץ ובעולם, והן מופיעות בקטלוגים רבים. להלן רשימה חלקית (רשימה מלאה של תערוכות קבוצתיות ניתן למצוא באתר האמן: www.eilatart.com):