六角数

六角数（ろっかくすう、hexagonal number）とは多角数の一種で、正六角形の形に点を下図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。六角数は無数にあり、そのなかでは1が最も小さい。4で割ると1余る整数を1から小さい順に加えた数と定義してもよい。

例：6 = 1 + 5 、15 = 1 + 5 + 9 、120 = 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29

1		6		15		28

n番目の六角数を H_n とすると上図より

H₁ = 1 , H_n+1 = H_n + 4n + 1

が導かれる。よって六角数の式は

H_{n}=H_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}(4k+1)=n(2n-1)\quad (n\geqq 2)

これは n = 1 のときも成り立つ。六角数を小さいものから順に列記すると

となる。

n 番目の六角数は 2n − 1 番目（すなわち奇数番目）の三角数に等しい。ゆえに全ての六角数は三角数でもある。

また偶数の完全数は全て奇数番目の三角数でもあるので、知られている完全数は全て六角数でもあり、全て 4n − 1 番目の三角数でもあるので偶数の六角数（偶数番目の六角数と言っても同じ）に限られる。この偶数の六角数は 2n(4n − 1) で表すことができる。具体的には

六角数は1から順に奇数と偶数が交互に現れる。また1以外の六角数は全て合成数である。

全ての自然数は高々6つの六角数の和で表すことができる（→多角数定理）。ただし1791よりも大きな自然数は4つの六角数の和で表すことができ、十分に大きい自然数は3つの六角数の和で表すことができる。6つの六角数が必要な数は11と26の二つのみで次のような和の形で表される。

11 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6 、26 = 1 + 1 + 6 + 6 + 6 + 6

六角数の逆数の総和は以下のようになる。 $ln$ は自然対数とする。

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(2k-1)}}&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}+{\frac {1}{2k}}-{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {1}{k}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n+k}}\\&=2\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {k}{n}}}}\\&=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}dx\\&=2[\ln(1+x)]_{0}^{1}\\&=2\ln {2}\\&\approx {1.386294}\cdots \\\end{aligned}}

関連項目