巨大な素数の一覧

『巨大な素数の一覧』（きょだいなそすうのいちらん、英: The List of Largest Known Primes）とは、アメリカの数学者クリス・カルドウェル（Chris Caldwell）が管理するウェブサイト「The PrimePages」^{[※ 1]}にて公開されている、現在知られている中で最大の素数の上位ランキングを記した一覧である。

2024年10月の時点で「素数として確認された最大の数」は 2^136,279,841 − 1 である。この素数は41,024,320 桁の長さを持ち、2024年10月12日に Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) によって発表された^[1]。

電子計算機の出現以降、知られている最大の素数の桁数が月日と共に増加していく様子を表したグラフ。縦軸は対数スケールである。赤線は経過年数 t の指数関数 y = exp(0.187394t − 360.527) による近似曲線。

ユークリッドにより素数が無数に存在することが証明されて以来、多くの数学者やアマチュア愛好家によってより大きな素数の探索が行われてきた。

発見済みの巨大な素数の多くがメルセンヌ数に属する。2024年10月現在までに発見された素数の大きさを比べると、上位7位までを全てメルセンヌ素数が占め、8位に初めてメルセンヌ数ではない素数が入る^[2]。

メルセンヌ数の素数判定を行うリュカ-レーマー・テストでは、高速フーリエ変換を応用した効率的な実装を計算機上で利用することが可能であるため、メルセンヌ数以外の素数判定よりも速度の上で有利という事情がある。

最大記録

2024年10月時点で素数であることが確認されている最大の数は 2^136,279,841 − 1 で表される数で、十進法表示では 41,024,320 桁の数である。この素数は2024年に GIMPS により発見された^[1]。

懸賞金

Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) では、彼らの無料ソフトウェアを入手し計算機上で実行してくれる参加者が、1億桁未満のメルセンヌ素数のいずれかを発見する毎に、3000米ドルの懸賞金を渡すと提示している。

電子フロンティア財団 (EFF (英語版) ) では大きな素数の新記録に対する懸賞金を何部門か提示している^[3]。1億桁以上の素数を最初に発見した者に与えられる予定の電子フロンティア財団からの懸賞金150,000米ドルに対し、GIMPS では賞金を参加者と分配する方向で調整中である。

100万桁を越える素数が1999年に発見されたときの懸賞金は50,000米ドルであった^[4]。1000万桁を超える素数が2008年に発見されたときの懸賞金は100,000米ドルであり、さらに電子フロンティア財団からCooperative Computing Award (英語版) 賞が授与された^[3]。この業績は Time 誌が選ぶ「2008年 Top Invention」の29番目として紹介された^[5]。1億桁を越える素数の発見と10億桁を超える素数の発見に対する懸賞金はまだ提示されたままである^[3]。ちなみに50,000米ドルと100,000米ドルの懸賞金の受賞者は両方ともGIMPSの参加者である。

歴史

以下の表は、時代と共に次々と大きな素数が発見されてきた経緯を時系列で示したものである^[6]。ここでは M_n = 2ⁿ − 1 は指数 n のメルセンヌ数とする。「発見された中で最大の素数」としての扱いを受けた最長期間記録の素数は、M₁₉ の 524,287 である。この素数は144年間にわたって「最大の素数」の座を守り続けた。ただし、1456年以前の最長記録は不明。

素数の式	十進法表記 （50桁まで）	桁数	発見された年	備考 (巨大なメルセンヌ素数の発見経緯に関してはメルセンヌ数を参照)
11	00,000,000,000,011	00,000,002	～紀元前1650年	古代エジプト人(Rhied Papyrus)（議論）[7]
7	00,000,000,000,007	00,000,001	～紀元前400年	フィロラオスにより 7 は素数と認識されていた[8]。
127	00,000,000,000,127	00,000,003	～紀元前300年	ユークリッドにより 127 と 89 は素数と認識されていた[9][10]。
M13	00,000,000,008,191	00,000,004	1456年	発見者不明
M17	00,000,000,131,071	00,000,006	1460年	発見者不明
M19	00,000,000,524,287	00,000,006	1588年	ピエトロ・カタルディ（英語版）が発見
${\displaystyle {\tfrac {2^{32}+1}{641}}}$	00,000,006,700,417	00,000,007	1732年	レオンハルト・オイラーが発見
M31	00,002,147,483,647	00,000,010	1772年	レオンハルト・オイラーが発見
${\displaystyle {\tfrac {2^{64}+1}{274177}}}$	67,280,421,310,721	00,000,014	1855年	トーマス・クラウゼンが発見
M127	[数値 1]	00,000,039	1876年	エドゥアール・リュカが発見 （手計算で素数であることが確かめられた最大の素数）
${\displaystyle {\tfrac {2^{148}+1}{17}}}$	[数値 2]	00,000,044	1951年	Aimé Ferrierが発見 （電子計算機を用いずに導かれた最大の素数）
180 × (M127)2 + 1		00,000,079	1951年	ケンブリッジ大学の電子計算機 EDSAC を使用
M521		00,000,157	1952年
M607		00,000,183	1952年
M1279		00,000,386	1952年
M2203		00,000,664	1952年
M2281		00,000,687	1952年
M3217		00,000,969	1957年
M4423		00,001,332	1961年
M9689		00,002,917	1963年
M9941		00,002,993	1963年
M11213		00,003,376	1963年
M19937		00,006,002	1971年	米国のブライアント・タッカーマン博士がIBM360/91型コンピュータで39分26秒4かけて計算[11]
M21701		00,006,533	1978年
M23209		00,006,987	1979年
M44497		00,013,395	1979年	カリフォルニア大学ローレンス・リバモア研究所でクレイ・ワン・コンピュータを2か月使って計算[12]
M86243		00,025,962	1982年
M132049		00,039,751	1983年
M216091		00,065,050	1985年	シェブロン・ジオサイエンセス社がCray X-MP/24コンピュータを使って計算[13]
391581 × 2216193 − 1		00,065,087	1989年
M756839		00,227,832	1992年	英国オクソンのAEAテクノロジーズ・ハーウェル研究所でCRAY-2スーパーコンピュータを使って計算[14]
M859433		00,258,716	1994年
M1257787		00,378,632	1996年
M1398269		00,420,921	1996年
M2976221		00,895,932	1997年
M3021377		00,909,526	1998年
M6972593		02,098,960	1999年
M13466917		04,053,946	2001年
M20996011		06,320,430	2003年
M24036583		07,235,733	2004年
M25964951		07,816,230	2005年
M30402457		09,152,052	2005年
M32582657		09,808,358	2006年
M43112609		12,978,189	2008年
M57885161		17,425,170	2013年
M74207281		22,338,618	2016年
M77232917		23,249,425	2017年
M82589933		24,862,048	2018年
M136279841		41,024,320	2024年

• 横軸：西暦
• 縦軸：桁数の対数スケール
• 赤：円周率近似値の桁数
• 緑：最大素数の桁数

上位20位の大きな素数

順位	素数	発見日	桁数	出典	備考
1	2136279841 − 1	2024年10月12日	41,024,320	[1]
2	282589933 − 1	2018年12月07日	24,862,048	[15]
3	277232917 − 1	2017年12月26日	23,249,425	[16]
4	274207281 − 1	2016年01月07日	22,338,618	[17]
5	257885161 − 1	2013年01月25日	17,425,170	[18]
6	243112609 − 1	2008年08月23日	12,978,189	[19]
7	242643801 − 1	2009年04月12日	12,837,064	[20]
8	5166932097152 − 5166931048576 + 1	2023年10月02日	11,981,518	[21]	Mn 以外の式で導かれた、最大の素数
9	4658592097152 − 4658591048576 + 1	2023年05月31日	11,887,192	[22]
10	237156667 − 1	2008年09月06日	11,185,272	[19]
11	232582657 − 1	2006年09月04日	9,808,358	[23]
12	10223 × 231172165 + 1	2016年10月31日	9,383,761	[24]
13	230402457 − 1	2005年12月15日	9,152,052	[25]
14	4 × 511786358 + 1	2024年10月01日	8,238,312	[26]
15	225964951 − 1	2005年02月18日	7,816,230	[27]
16	69 × 224612729 − 1	2024年08月13日	7,409,172	[28]
17	224036583 − 1	2004年05月15日	7,235,733	[29]
18	107347 × 223427517 − 1	2024年08月04日	7,052,391	[30]
19	38432361048576 + 1	2024年12月17日	6,904,556	[31][32]
20	3 × 222103376 − 1	2024年09月30日	6,653,780	[33][32]

素数探索の有力候補・手がかりに関する項目

• メルセンヌ数
• カレン数
• ウッダル数
• シェルピンスキー数
• リーゼル数（英語版）
• プロス数
• ソフィー・ジェルマン素数
• フェルマー数
• サービト数

主な素数探索プロジェクト

• PrimeGrid（探索対象：ウッダル数、カレン数、その他）
• GIMPS（探索対象：メルセンヌ数）
• Riesel Sieve（終了）（探索対象：リーゼル数に伴う素数）

関連項目

• 素数
• 素数の一覧
• 素数判定
• タイタニック素数
• 巨大素数
• メガ素数
• 巨大数

注釈

1. PrimePages: prime number research records and results

数値

1. 170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727
2. 20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921