កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

ក្នុង​គណិតវិទ្យា អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​គឺ​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

ក្រាបនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​នៅលើ​ដែនកំនត់ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

និមយន័យ

អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ cosh គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖

${\displaystyle {\begin{matrix}\cosh$ :&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\\ &z&\longmapsto &{\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}\end{matrix}}}

ដែល ${\displaystyle \ e}$ គឺជាអនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកក៏មានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹងអនុគមន៍ស៊ីនុសក្នុងធរណីមាត្រអ៊ីពែបូលីកដែរ។

គេនិយមសរសេរ

${\displaystyle \cosh z={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}}$

លក្ខណៈទូទៅ

• អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (cosh) ជាអនុគមន៍ជាប់ និង មានដេរីវេអនន្ត (មានដេរីវេមិនចេះចប់) ។ អាចនិយាយថាវាស្ថិតនៅក្នុងថ្នាក់ ${\displaystyle C^{\infty }}$
• ដេរីវេនៃអនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (cosh) គឺជា អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (sinh)

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\cosh x)=(\cosh x)'=(\sinh x)}$

• ព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកគឺ sinh + C ដែល C ជាថេរអាំងតេក្រាល

${\displaystyle \int \cosh xdx=\sinh x+C}$

• អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកជាអនុគមន៍គូ មានដែនកំនត់លើ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ និងជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ។

លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

តាមនិយមន័យនៃ​អនុគមន៍កូស៊ីនុស​និង​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក គេអាចទាញបានសមភាពដូចខាងក្រោម៖

${\displaystyle \ e^{z}=\cosh z+\sinh z}$

${\displaystyle \ e^{-z}=\cosh z-\sinh z}$

សមភាពនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹងរូបមន្តអយល័រក្នុងត្រីកោណមាត្រ (ខ្មែរយើងភាគច្រើនអានថាអឺលែរ)​។

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះកូអរដោនេ ${\displaystyle \ (\cos t,\sin t)}$ កំនត់បានរង្វង់មួយ។ ${\displaystyle \ (\cos t,\sin t)}$ កំនត់បានផ្នែកវិជ្ជមាននៃប៉ារ៉ាបូលនិយ័តមួយ។ គេបានចំពោះ ${\displaystyle \ t>0}$

${\displaystyle \ \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1}$

ម្យ៉ាងវិញទៀតចំពោះ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \cosh(ix)={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}=\cos x}$

${\displaystyle \ \cosh x=\cos(ix)}$

${\displaystyle \ \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y}$

${\displaystyle \cosh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1+\cosh x}{2}}}$

ស៊េរីតេល័រ

cosh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេមិនកំនត់ និងអាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រដូចខាងក្រោម៖

${\displaystyle \cosh z=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}}$

តំលៃ

តំលៃមួយចំនួននៃ cosh

• ${\displaystyle \ \cosh(0)=1}$
• ${\displaystyle \cosh(1)={\frac {e^{2}+1}{2e}}}$
• ${\displaystyle \ \cosh(i)=\cos(1)}$

អនុគមន៍ច្រាស់

អនុគមន៍ច្រាស់នៃ cosh តាងដោយ arccosh ឬ arcosh ឬ ${\displaystyle \ \cosh ^{-1}}$។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។ សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយការពុះចែកអង្កត់ ${\displaystyle \left]-\infty ;1\right[}$ ។

${\displaystyle \operatorname {arcosh} (z)=\ln(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}})}$

ចំពោះ ${\displaystyle x\in \left[1;+\infty \right[}$ cosh មានដែនកំនត់លើ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ហើយអនុគមន៍ច្រាស់របស់វាកំនត់ដោយ៖ ${\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$

ក្រាបនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកច្រាស់ ${\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)}$

សូមមើលផងដែរ

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
• តង់សង់អ៊ីពែបូលីក
• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក