ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

ក្នុង​គណិតវិទ្យា អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​គឺ​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

ក្រាបនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកលើដែនកំនត់ R

និយមន័យ

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ sinh គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖

${\displaystyle {\begin{matrix}\sinh$ :&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\\ &z&\longmapsto &{\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}\end{matrix}}}

ដែល ${\displaystyle \ e}$ គឺជាអនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកក៏មានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹងអនុគមន៍ស៊ីនុសក្នុងធរណីមាត្រអ៊ីពែបូលីកដែរ។

គេនិយមសរសេរ

${\displaystyle \sinh z={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}}$

លក្ខណៈទូទៅ

• អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (sinh) ជាអនុគមន៍ជាប់ និង មានដេរីវេអនន្ត (មានដេរីវេមិនចេះចប់)
• ដេរីវេនៃអនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (sinh) គឺជា អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (cosh)

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\sinh x)=(\sinh x)'=(\cosh x)}$

• ព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកគឺ cosh + C ដែល C ជាថេរអាំងតេក្រាល

${\displaystyle \int \sinh xdx=\cosh x+C}$

• អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកជាអនុគមន៍សេស​និងកើនដាច់ខាតលើ ${\displaystyle \ \mathbb {R} }$។

លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

តាមនិយមន័យនៃ​​អនុគមន៍ស៊ីនុស​​និង​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក គេអាចទាញបានសមភាពដូចខាងក្រោម៖

${\displaystyle \ e^{z}=\cosh z+\sinh z}$

${\displaystyle \ e^{-z}=\cosh z-\sinh z}$

សមភាពនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹងរូបមន្តអយល័រក្នុងត្រីកោណមាត្រ (ខ្មែរយើងភាគច្រើនអានថាអឺលែរ)​។

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះកូអរដោនេ ${\displaystyle \ (\cos t,\sin t)}$ កំនត់បានរង្វង់មួយ។ ${\displaystyle \ (\cos t,\sin t)}$ កំនត់បានផ្នែកវិជ្ជមាននៃប៉ារ៉ាបូលនិយ័តមួយ។ គេបានចំពោះ ${\displaystyle \ t>0}$

${\displaystyle \ \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1}$

ម្យ៉ាងវិញទៀតចំពោះ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sinh(ix)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x}$

${\displaystyle \ \sinh x=-i\sin(ix)}$

${\displaystyle \ \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y}$

${\displaystyle \sinh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{2}}}$

ស៊េរីតេល័រ

sinh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេមិនកំនត់ និងអាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រដូចខាងក្រោម៖

${\displaystyle \sinh z=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

តំលៃ

តំលៃមួយចំនួននៃ sinh

• ${\displaystyle \ \sinh(0)=0}$
• ${\displaystyle \sinh(1)={\frac {e^{2}-1}{2e}}}$
• ${\displaystyle \ \sinh(i)=i\sin(1)}$

អនុគមន៍ច្រាស់

ក្រាបនៃអនុគមន៍ ${\displaystyle \ \operatorname {arcsinh} }$

អនុគមន៍ច្រាសនៃsinh គឺជា​អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកច្រាស​តាងដោយ ${\displaystyle \ \operatorname {arsinh} }$ ឬ arcsinh ។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។ សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយកាត់ជាបំនែកអង្កត់ ${\displaystyle \left]-\infty i;-i\right[}$ និង ${\displaystyle \left]i;+\infty i\right[}$ ។

${\displaystyle \operatorname {arcsinh} (z)=\ln(z+{\sqrt {1+z^{2}}})}$

ចំពោះ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$sinh មានដែនកំនត់លើ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ហើយអនុគមន៍ច្រាស់របស់វាកំនត់ដោយ៖

${\displaystyle arcsinh(x)=ln\left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}$

សូមមើលផងដែរ

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
• តង់សង់អ៊ីពែបូលីក
• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក