អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹង​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតា។ អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកគ្រឹះសំខាន់ៗរួមមាន​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ sinh ) កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ cosh ) និង តង់សង់អ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ tanh )។

និយមន័យ

sinh, cosh និង tanh

csch, sech និងcoth

• ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!}$

• កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix\!}$

• តង់សង់អ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=-i\tan ix\!}$

• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=i\cot ix\!}$

• សេកង់អ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec {ix}\!}$

• កូសេកង់អ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix\!}$

ដែល ${\displaystyle i\,}$ ជាឯកតានិមិត្មនៃចំនួនកុំផ្លិច ( ${\displaystyle i^{2}=-1\,}$) ។ ទំរង់នៃចំនួនកុំផ្លិចខាងលើទាញចេញពីរូបមន្តអឺលែរ។

• សំគាល់៖ ក្នុងការបំលែងនៅក្នុងកន្សោមផ្សេងៗ ${\displaystyle \sinh ^{2}x\,}$ សំដៅលើ ${\displaystyle (\sinh x)^{2}\,}$ មិនមែន ${\displaystyle \sinh(\sinh x)\,}$ ទេ។

អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកជាអនុគមន៍លោការីត

• ${\displaystyle \sinh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}$

• ${\displaystyle \cosh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}$

• ${\displaystyle \tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1}$

• ${\displaystyle \operatorname {sech} ^{-1}x=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right);0<x\leq 1}$

• ${\displaystyle \operatorname {csch} ^{-1}x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)}$

• ${\displaystyle \coth ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1}$

ទំនាក់ទំនងសំខាន់ៗ

• ${\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x\,\!}$
• ${\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x\,\!}$
• ${\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x\,\!}$
• ${\displaystyle \coth(-x)=-\coth x\,\!}$
• ${\displaystyle \operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!}$
• ${\displaystyle \operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!}$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}}^{2}(x)={\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}}\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth(x)=1-\coth ^{2}(x)=-{\hbox{csch}}^{2}(x)={\frac {-1}{\sinh ^{2}(x)}}\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch(x)}}=-\coth(x)\ {\hbox{csch(x)}}\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech(x)}}=-\tanh(x)\ {\hbox{sech(x)}}\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sinh ^{-1}u\right)={\frac {1}{\sqrt {1+u^{2}}}}\cdot {\frac {du}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\cosh ^{-1}u\right)={\frac {1}{\sqrt {u^{2}-1}}}\cdot {\frac {du}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\tanh ^{-1}u\right)={\frac {1}{1-u^{2}}}\cdot {\frac {du}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {csch} ^{-1}u\right)={\frac {1}{\left|u\right|{\sqrt {1+u^{2}}}}}\cdot -{\frac {du}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {sech} ^{-1}u\right)={\frac {1}{u{\sqrt {1-u^{2}}}}}\cdot -{\frac {du}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\coth ^{-1}u\right)={\frac {1}{1-u^{2}}}\cdot {\frac {du}{dx}}}$

អាំងតេក្រាលស្តង់ដារនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

សំរាប់តារាងពេញលេញនៃអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក សូមមើលតារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក។

${\displaystyle \int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C}$

${\displaystyle \int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C}$

${\displaystyle \int \tanh ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\cosh ax|+C}$

${\displaystyle \int \coth ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\sinh ax|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+c}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+c}$

ក្នុងកន្សោមខាងលើ C ត្រូវបានគេហៅថា ថេរអាំងតេក្រាល។

កន្សោមស៊េរីតាយល័រ

អនុគមន៍ខាងលើគ៏អាចសំដែងជាសេរីតាយល័រផងដែរ។

${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

${\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }$ (សេរីឡូរង់)

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }$ (សេរីឡូរង់ Laurent series)

ដែល

${\displaystyle B_{n}\,}$ គឺជាចំនួនប៊ែរនូយីទី ${\displaystyle n\!}$

${\displaystyle E_{n}\,}$ គឺជាចំនួនអឺលែរទី ${\displaystyle n\!}$

លក្ខណៈដូចគ្នានឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

${\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,}$

${\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,}$

${\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\,}$

រូបមន្តមុំឌុប

${\displaystyle \sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x\,}$

${\displaystyle \cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1\,}$

រូបមន្តកន្លះមុំ

${\displaystyle \cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}}$

${\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}}$

${\displaystyle \tanh ^{2}x=1-\operatorname {sech} ^{2}x}$

${\displaystyle \coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x}$

ដេរីវេនៃ ${\displaystyle \sinh x\,}$ គឺ ${\displaystyle \cosh x\,}$ និង ដេរីវេនៃ ${\displaystyle \cosh x\,}$ គឺ ${\displaystyle \sinh x\,}$ ។

ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកនិងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ទាញចេញពីនិយមន័យនៃស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក និង កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក យើងបានលក្ខណៈដូចខាងក្រោម៖

${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}$

និង

${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!}$

ដោយផ្អែកលើរូបមន្តអឺលែរ កន្សោមទាំងនេះមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានិងកន្សោមស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ដែលវាជាផលបូកនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកចំពោះចំនួនកុំផ្លិច

ទំនាក់ទំនងចំពោះ​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតា​គឺត្រូវបានអោយដោយរូបមន្តអឺលែរចំពោះចំនួនកុំផ្លិច៖

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\;\sin x}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x}$

ដូច្នេះ

${\displaystyle \cosh ix={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos x}$

${\displaystyle \sinh ix={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x}$

${\displaystyle \tanh ix=i\tan x\,}$

${\displaystyle \cosh x=\cos ix\,}$

${\displaystyle \sinh x=-i\sin ix\,}$

${\displaystyle \tanh x=-i\tan ix\,}$

អនុគមន៍អ៊ីពែលីកក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

${\displaystyle \operatorname {sinh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {cosh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {tanh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {coth} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {sech} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {csch} (z)}$

សូមមើលផងដែរ

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកច្រាស់
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក