카르티에 인자

대수기하학에서 카르티에 인자(Cartier因子, 영어: Cartier divisor)는 국소환 달린 공간 위에 정의될 수 있는 어떤 아벨 군 층의 단면이며, 특수한 경우 선다발에 대응한다. 적절한 조건을 만족시키는 스킴의 경우, 카르티에 인자에서 베유 인자로 가는 단사 함수가 존재하며, 비특이 대수다양체의 경우에 이는 전단사 함수이다 (즉, 모든 베유 인자는 카르티에 인자이다).

정의

국소환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$의 유리 함수층 ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}}$를 생각하자. 그렇다면 다음과 같은, 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle {\underline {1}}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {K}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\underline {1}}}$

여기서 ${\displaystyle (-)^{\times }}$는 가역원층을 뜻하며, ${\displaystyle {\underline {1}}}$은 자명군의 상수층이다.

${\displaystyle X}$의 카르티에 인자층(Cartier主因層, 영어: sheaf of Cartier divisors)은 다음과 같은 아벨 군층이다.

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$

${\displaystyle X}$의 카르티에 인자군은 카르티에 인자층의 대역 단면들의 아벨 군, 즉

${\displaystyle \operatorname {CaDiv} (X)=\Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$

이다. ${\displaystyle X}$의 카르티에 인자는 카르티에 인자층의 대역 단면, 즉 카르티에 인자군의 원소이다.^{[1]:141[2]:256, Definition 7.1.17} 즉, 구체적으로 ${\displaystyle X}$의 카르티에 인자는 ${\displaystyle X}$의 열린 덮개 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ 및 유리 함수 ${\displaystyle \{f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\}_{i\in I}}$로 정의되며, 이 경우 임의의 ${\displaystyle i,j\in I}$에 대하여 만약 ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing }$이라면

${\displaystyle f_{i}/f_{j}\in \Gamma (U_{i}\cap U_{j};{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$

이어야 한다.

효과적 인자

효과적 카르티에 인자(效果的Cartier因子, 영어: effective Cartier divisor)는 모노이드 준동형

${\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {O}}_{X}\cap {\mathcal {K}}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$

의 상에 속하는 카르티에 인자이다.^{[2]:256, Definition 7.1.17} 즉, 위와 같이 구체적으로 ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}_{i\in I}}$로 나타내었을 때, ${\displaystyle f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})\cap \Gamma (U_{i},{\mathcal {K}}_{X}^{\times })}$로 잡을 수 있는 카르티에 인자이다.^[1]:145 이 경우, 각 ${\displaystyle f_{i}}$는 아이디얼 층 ${\displaystyle (f_{i})}$를 정의하며, 이는 여차원이 1인 부분 스킴을 정의한다.

카르티에 인자 유군

층의 짧은 완전열에 따라서, 다음과 같은 아벨 군의 긴 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 1\to \Gamma (X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }){\xrightarrow {(-)}}\Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\to \cdots }$

카르티에 주인자(Cartier主因子, 영어: principal Cartier divisor)는 ${\displaystyle (-)\colon \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$의 상에 속하는 카르티에 인자이다.^{[2]:256, Definition 7.1.17} 이에 대한 몫군

${\displaystyle {\frac {\Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}{(\Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }))}}}$

을 카르티에 인자 유군(영어: Cartier divisor class group)이라고 한다.^{[2]:256, Definition 7.1.17}

완전열의 정의에 따라 카르티에 인자 유군은 피카르 군 ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)=\operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$의 부분군이며, 만약 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })=1}$이라면 카르티에 인자 유군은 피카르 군과 일치한다. 이것이 성립할 충분 조건은 ${\displaystyle X}$가 축소 뇌터 스킴인 것이다.^{[2]:257, Corollary 7.1.19}

성질

${\displaystyle X}$가 정역 스킴이라고 하자. 그렇다면, 피카르 군 ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$은 가역층들의 동치류들로 구성될 수 있으며, 카르티에 인자 유군은 피카르 군의 부분군이므로, 카르티에 인자 ${\displaystyle D}$에 대응하는 선다발 ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ (또는 가역층 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$)을 정의할 수 있으며, 인자의 합은 이 선다발의 텐서곱에 해당한다.

구체적으로, ${\displaystyle X}$의 (충분히 섬세한) 열린 덮개 ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$에 대하여, 선다발은 ${\displaystyle U_{i}}$와 ${\displaystyle U_{j}}$ 사이의 전이 사상(영어: transition map) ${\displaystyle h_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to k^{\times }}$들로 정의된다. 카르티에 인자

${\displaystyle \{[f_{i}]\}_{i\in I}}$

${\displaystyle [f_{i}]\in \Gamma (U_{i};{\mathcal {K}}_{X}/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$

${\displaystyle f_{i}\in \Gamma (U_{i};{\mathcal {K}}_{X})=\operatorname {Frac} (\Gamma (U_{i};{\mathcal {O}}_{X}))}$

가 주어졌을 때, 전이 사상들을

${\displaystyle h_{ij}={\frac {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j}}^{U_{i}}f_{i}}{\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j}}^{U_{j}}f_{j}}}\in \Gamma (U_{i}\cap U_{j}\in {\mathcal {K}}_{X})}$

로 정의하자. 그렇다면, 이는 전이 사상의 성질들 ${\displaystyle h_{ij}h_{ji}=1}$, ${\displaystyle h_{ij}h_{jk}h_{ki}=1}$을 만족시킴을 쉽게 알 수 있다.

역사

베유 인자의 개념을 1950년대에 피에르 카르티에가 개량하여, 층 이론을 사용하여 카르티에 인자를 도입하였다.^[3] 이로서 후자는 특이점이 있는 공간에도 적용할 수 있게 되었다.