고런스틴 환

가환대수학에서 고런스틴 환(Gorenstein環, 영어: Gorenstein ring)은 국소적으로 표준 선다발의 단면의 가군층이 자유 가군층인 가환환이다.^[1]:519 즉, 특이점을 가질 수 있지만, 특이점이 비교적으로 "정칙적인" 아핀 스킴에 대응하는 가환환이다.

정의

뇌터 국소환 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 국소환을 고런스틴 국소환(영어: Gorenstein local ring)이라고 한다.^{[2]:141–142, Theorem 18.1}

• ${\displaystyle R}$의 단사 차원이 유한하다.
• ${\displaystyle R}$의 단사 차원이 크룰 차원과 같다. (뇌터 국소환의 크룰 차원은 항상 유한하다.)
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(R/{\mathfrak {m}},R)\cong {\begin{cases}0&n\neq \dim R\\R/{\mathfrak {m}}&n=\dim R\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(R/{\mathfrak {m}},R)=0}$인 ${\displaystyle n>\dim R}$가 존재한다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • 모든 ${\displaystyle n<\dim R}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(R/{\mathfrak {m}},R)=0}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{\dim R}(R/{\mathfrak {m}},R)\cong R/{\mathfrak {m}}}$
• ${\displaystyle R}$는 코언-매콜리 환이며, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{\dim n}(R/{\mathfrak {m}},R)\cong R/{\mathfrak {m}}}$

여기서 ${\displaystyle \dim R}$는 ${\displaystyle R}$의 크룰 차원이며, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}}$는 Ext 함자이다.

뇌터 가환환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 고런스틴 환(영어: Gorenstein ring)이라고 한다.^[2]:145

• 모든 극대 아이디얼에서의 국소화가 고런스틴 국소환이다.
• 모든 소 아이디얼에서의 국소화가 고런스틴 국소환이다.

마찬가지로, 국소 뇌터 스킴에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 뇌터 스킴을 고런스틴 스킴(영어: Gorenstein scheme)이라고 한다.

• 모든 닫힌 점(극대 아이디얼)에서의 국소 가환환이 고런스틴 국소환이다.
• 모든 점(소 아이디얼)에서의 국소 가환환이 고런스틴 국소환이다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

정칙환 ⊊ 완비교차환(영어: complete intersection ring) ⊊ 고런스틴 환 ⊊ 코언-매콜리 환

뇌터 국소환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[2]:145, Theorem 18.3}

• ${\displaystyle R}$가 고런스틴 국소환이다.
• ${\displaystyle R}$의 (극대 아이디얼에서의) 완비화 ${\displaystyle {\hat {R}}}$가 고런스틴 국소환이다.

임의의 체 ${\displaystyle K}$ 위의 아르틴 가환 결합 대수(즉, ${\displaystyle K}$-벡터 공간으로서 유한 차원인 것) ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[3]:Theorem 3.15, Theorem 16.23}

• 고런스틴 환이다.
• 어떤 ${\displaystyle K}$-선형 변환 ${\displaystyle t\colon R\to K}$에 대하여, 대칭 쌍선형 형식 ${\displaystyle \langle x,y\rangle =t(xy)}$이 비퇴화 쌍선형 형식이다.

크룰 차원이 0인 임의의 뇌터 국소환 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},\kappa =R/{\mathfrak {m}})}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle R}$는 고런스틴 국소환이다.
• ${\displaystyle \hom _{R}(\kappa ,R)}$는 ${\displaystyle \kappa }$-벡터 공간으로서 1차원이다.

세르 쌍대성

다음이 주어졌다고 하자.

• 고런스틴 스킴 ${\displaystyle X}$
• 체 ${\displaystyle K}$
• 유한형 사상 ${\displaystyle f\colon X\to \operatorname {Spec} K}$

그렇다면, 세르 쌍대성에서, 쌍대화 복합체는 사실 하나만의 가역층으로 주어진다. (이는 쌍대화 복합체에서 등급 ${\displaystyle -\dim X}$의 성분이다.) 물론, 만약 ${\displaystyle f}$가 매끄러운 사상이라면, 이 가역층은 ${\displaystyle \dim X}$차 미분 형식의 가역층인 표준 선다발이다.

역사

대니얼 고런스틴(영어: Daniel Gorenstein)의 대수 곡선에 대한 논문^[4]을 바탕으로, 알렉산더 그로텐디크가 도입하였다.^[5] 고런스틴 자신은 "나는 고런스틴 환의 정의조차 이해하지 못한다"고 말하는 것을 좋아했다고 한다.^[1]:230