광학 전달 함수

사진기, 현미경, 인간의 눈, 또는 프로젝터와 같은 광학 시스템의 광학 전달 함수(영어: Optical transfer function, OTF)는 이미징 대비에 대한 스케일 의존적인 설명이다. 그 크기는 조화 강도 패턴 ${\displaystyle 1+\cos(2\pi \nu \cdot x)}$의 이미지 대비를 공간 주파수 ${\displaystyle \nu }$의 함수로 나타내며, 그 복소수 편각은 주기적인 패턴의 위상 변화를 나타낸다. 광학 전달 함수는 광학 엔지니어들이 물체나 장면에서 나오는 빛을 사진 필름, 검출기 배열, 망막, 스크린, 또는 단순히 광학 전송 체인의 다음 항목으로 어떻게 투영하는지 설명하는 데 사용된다.

공식적으로, 광학 전달 함수는 점 확산 함수 (PSF, 즉 광학계의 임펄스 응답, 점 광원의 이미지)의 푸리에 변환으로 정의된다. 푸리에 변환으로서 OTF는 일반적으로 복소수 값을 가지지만, 중심에 대해 대칭적인 PSF의 일반적인 경우에는 실수 값을 갖는다. 실제로는 광학 전달 함수의 크기 또는 모듈러스로 주어지는 이미징 대비가 가장 중요하다. 이 파생된 함수는 일반적으로 변조 전달 함수(modulation transfer function, MTF)라고 불린다.

오른쪽 이미지는 패널 (a)와 (d)에 두 개의 다른 광학 시스템에 대한 광학 전달 함수를 보여준다. 전자는 원형 동공을 가진 이상적인 회절 한계 이미징 시스템에 해당한다. 그 전달 함수는 공간 주파수가 증가함에 따라 회절 한계, 이 경우 밀리미터당 500 사이클 또는 2 μm의 주기에 도달할 때까지 점진적으로 감소한다. 이 기간만큼 작은 주기적 특징이 이 이미징 시스템에 의해 포착되므로, 그 해상도는 2 μm라고 말할 수 있다.^[1] 패널 (d)는 초점이 맞지 않는 광학 시스템을 보여준다. 이는 회절 한계 이미징 시스템에 비해 대비가 급격히 감소하는 결과를 초래한다. 대비는 밀리미터당 약 250 사이클 또는 4 μm 주기에서 0이 됨을 알 수 있다. 이것은 초점이 맞지 않는 시스템의 이미지 (e,f)가 회절 한계 시스템의 이미지 (b,c)보다 더 흐릿한 이유를 설명한다. 초점이 맞지 않는 시스템은 밀리미터당 약 250 사이클의 공간 주파수에서 대비가 매우 낮지만, 밀리미터당 500 사이클의 회절 한계 바로 아래 공간 주파수에서는 이상적인 시스템과 비슷한 대비를 가진다. 패널 (f)의 이미지를 자세히 관찰하면 스포크 타겟 중심 근처의 큰 스포크 밀도 이미지가 비교적 선명하게 나타난다.

정의 및 관련 개념

광학 전달 함수^[2](OTF)는 점 확산 함수(PSF)의 푸리에 변환으로 정의되므로, 일반적으로 공간 주파수의 복소수 값 함수이다. 특정 주기적 패턴의 투영은 절대값과 복소수 편각이 각각 투영된 이미지의 상대 대비 및 번역에 비례하는 복소수로 표현된다.

축외에서 발생하는 전형적인 수차인 코마를 나타내는 광학 시스템의 다양한 밀접하게 관련된 특성. (a) 점 확산 함수(PSF)는 점 광원의 이미지이다. (b) 선의 이미지는 선 확산 함수(line-spread function)라고 하며, 이 경우 수직선이다. 선 확산 함수는 점 확산 이미지의 수직 적분에 직접 비례한다. 광학 전달 함수(OTF)는 점 확산 함수의 푸리에 변환으로 정의되며, 따라서 일반적으로 2차원 복소 함수이다. 일반적으로 1차원 슬라이스만 표시되며 (c), 이는 선 확산 함수의 푸리에 변환에 해당한다. 두꺼운 녹색 선은 함수의 실수 부분을 나타내고, 얇은 빨간 선은 허수 부분을 나타낸다. 종종 복소 함수의 절대값만 표시되는데, 이는 2차원 함수를 시각화할 수 있게 한다 (d). 그러나 더 일반적으로는 1차원 함수만 표시된다 (e). 후자는 일반적으로 공간 주파수 0에서 정규화되며 변조 전달 함수(MTF)라고 불린다. 완전성을 위해 복소 편각은 때때로 위상 전달 함수(PhTF)로 제공되며, 이는 패널 (f)에 표시되어 있다.

차원	공간 함수	푸리에 변환
1D	선 확산 함수 (에지 확산 함수의 미분)	2D 광학 전달 함수의 1D 단면
2D	점 확산 함수	(2D) 광학 전달 함수
3D	3D 점 확산 함수	3D 광학 전달 함수

종종 대비 감소가 가장 중요하며 패턴의 이동은 무시할 수 있다. 상대 대비는 광학 전달 함수의 절대값으로 주어지며, 일반적으로 변조 전달 함수 (MTF)라고 불리는 함수이다. 이 값은 공간 주파수의 함수로서 객체의 대비가 이미지에서 얼마나 많이 캡처되는지를 나타낸다. MTF는 증가하는 공간 주파수에 따라 1에서 0(회절 한계에서)으로 감소하는 경향이 있지만, 이 함수는 종종 단조적이지 않다. 반면에, 패턴 이동도 중요할 때, 광학 전달 함수의 복소수 편각은 두 번째 실수 값 함수로 표현될 수 있으며, 일반적으로 위상 전달 함수 (PhTF)라고 불린다. 복소수 값 광학 전달 함수는 이 두 실수 값 함수의 조합으로 볼 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {OTF} (\nu )=\mathrm {MTF} (\nu )e^{i\,\mathrm {PhTF} (\nu )}}$

여기서

${\displaystyle \mathrm {MTF} (\nu )=\left\vert \mathrm {OTF} (\nu )\right\vert ,}$

${\displaystyle \mathrm {PhTF} (\nu )=\mathrm {arg} (\mathrm {OTF} (\nu )),}$

${\displaystyle \mathrm {arg} (\cdot )}$는 복소 편각 함수를 나타내고, ${\displaystyle \nu }$는 주기적 패턴의 공간 주파수이다. 일반적으로 ${\displaystyle \nu }$는 각 차원에 대한 공간 주파수를 가진 벡터이며, 즉 주기적 패턴의 방향도 나타낸다.

초점이 잘 맞는 광학 시스템의 임펄스 응답은 초점면에서 최대값을 가지는 3차원 강도 분포이며, 따라서 검출기를 축 방향으로 이동시키면서 이미지 스택을 기록함으로써 측정할 수 있다. 결과적으로, 3차원 광학 전달 함수는 임펄스 응답의 3차원 푸리에 변환으로 정의될 수 있다. 일반적으로 1차원 또는 때로는 2차원 단면만 사용되지만, 3차원 광학 전달 함수는 구조화 조명 현미경과 같은 현미경의 이해를 향상시킬 수 있다.

전달 함수의 정의에 따라 ${\displaystyle \mathrm {OTF} (0)=\mathrm {MTF} (0)}$는 점 광원 객체에서 검출된 빛의 비율을 나타내야 한다. 그러나 일반적으로 총 검출된 빛의 양에 대한 상대적 대비가 가장 중요하다. 따라서 광학 전달 함수를 검출된 강도에 대해 정규화하는 것이 일반적인 관행이며, 따라서 ${\displaystyle \mathrm {MTF} (0)\equiv 1}$이다.

일반적으로 광학 전달 함수는 방출된 빛의 스펙트럼 및 편광, 점 광원의 위치와 같은 요소에 따라 달라진다. 예를 들어, 이미지 대비 및 해상도는 일반적으로 이미지 중앙에서 최적이며, 시야 가장자리로 갈수록 저하된다. 상당한 변화가 발생할 때, 광학 전달 함수는 대표적인 위치 또는 색상 세트에 대해 계산될 수 있다.

때로는 이진 흑백 줄무늬 패턴을 기반으로 전달 함수를 정의하는 것이 더 실용적이다. 동일한 폭의 흑백 주기 패턴에 대한 전달 함수는 대비 전달 함수 (CTF)^[3]라고 불린다.

예시

이상적인 렌즈 시스템

완벽한 렌즈 시스템은 주기적인 패턴을 이동시키지 않고 높은 대비 투영을 제공하므로, 광학 전달 함수는 변조 전달 함수와 동일하다. 일반적으로 대비는 광학계의 해상도에 의해 정의되는 지점에서 점차적으로 0으로 감소한다. 예를 들어, 완벽하고 비수차인 f/4 광학 이미징 시스템을 500 nm의 가시광선 파장에서 사용하면, 오른쪽 그림과 같은 광학 전달 함수를 가질 것이다.

회절 한계 이미징 시스템의 1차원 광학 전달 함수는 변조 전달 함수와 동일하다.

회절 한계 이미징 시스템에 의해 촬영된 스포크 타겟.

이상적인 광학 수차 없는 (회절 한계) 이미징 시스템의 전달 함수 및 예시 이미지.

이 플롯에서 대비가 점진적으로 감소하여 밀리미터당 500 사이클의 공간 주파수에서 0에 도달한다는 것을 읽을 수 있다. 즉, 이미지 투영의 광학 해상도는 1/500^th 밀리미터이며, 이는 2 마이크로미터의 특징 크기에 해당한다. 밀리미터당 500 사이클을 초과하면 이 이미징 시스템의 대비와 변조 전달 함수는 0이다. 따라서 이 특정 이미징 장치에서는 스포크가 중심을 향해 점점 더 흐려져 회색의 미해결 디스크로 합쳐진다.

광학 전달 함수가 때때로 객체 또는 표본 공간, 관찰 각도, 필름 폭 단위로 주어지거나 이론적 최댓값으로 정규화된다는 점에 유의하십시오. 단위 간 변환은 일반적으로 곱셈 또는 나눗셈 문제이다. 예를 들어, 현미경은 일반적으로 모든 것을 10~100배 확대하고, 반사식 카메라는 일반적으로 5m 거리의 물체를 100~200배 축소한다.

디지털 이미징 장치의 해상도는 광학계뿐만 아니라 픽셀 수, 특히 픽셀 간 분리 거리에도 제한된다. 나이퀴스트-섀넌 표본화 정리에 따르면, 주어진 예시의 광학 해상도와 일치하려면 각 색상 채널의 픽셀이 1 마이크로미터, 즉 밀리미터당 500 사이클 주기의 절반만큼 떨어져 있어야 한다. 동일한 센서 크기에 더 많은 픽셀이 있어도 더 미세한 디테일을 해상할 수는 없다. 반면에 픽셀 간 간격이 1 마이크로미터보다 크면 해상도는 픽셀 간 분리에 의해 제한될 것이며, 더욱이 에일리어싱으로 인해 이미지 충실도가 더 감소할 수 있다.

불완전한 렌즈 시스템

불완전하고 수차가 있는 이미징 시스템은 다음 그림에 묘사된 광학 전달 함수를 가질 수 있다.

수차를 가진 불완전한 이미징 시스템의 광학 전달 함수의 실수 부분.

수차를 가진 불완전한 이미징 시스템의 변조 전달 함수.

수차 있는 광학 시스템에 의해 촬영된 스포크 타겟 이미지.

구면 수차가 0.25 표준 제르니케 계수를 가진 500nm에서 f/4 광학 이미징 시스템의 전달 함수 및 예시 이미지.

이상적인 렌즈 시스템과 마찬가지로, 대비는 밀리미터당 500 사이클의 공간 주파수에서 0에 도달한다. 그러나 낮은 공간 주파수에서는 대비가 이전 예시의 완벽한 시스템보다 상당히 낮다. 실제로, 밀리미터당 500 사이클보다 낮은 공간 주파수에서도 여러 번 대비가 0이 된다. 이것이 위 그림에 표시된 스포크 이미지에서 회색 원형 띠가 나타나는 이유이다. 회색 띠 사이에서 스포크는 흑백으로 역전되는 것처럼 보이는데, 이를 대비 반전이라고 하며, 이는 광학 전달 함수의 실수 부분에서 부호 반전과 직접적으로 관련되어 있으며, 일부 주기적 패턴에 대해 절반 주기만큼의 이동으로 나타난다.

이상적인 시스템과 불완전한 시스템 모두의 해상도가 2 μm 또는 500 LP/mm라고 주장할 수 있지만, 후자의 예시의 이미지가 덜 선명하다는 것은 분명하다. 인식되는 품질과 더 일치하는 해상도 정의는 대신 첫 번째 영점이 발생하는 공간 주파수인 10 μm 또는 100 LP/mm를 사용할 것이다. 해상도 정의는 완벽한 이미징 시스템의 경우에도 매우 다양하다. 더 완전하고 모호하지 않은 그림은 광학 전달 함수에 의해 제공된다.

비회전 대칭 수차를 가진 광학 시스템

삼엽 수차가 있는 광학 시스템을 통해 보면, 점 객체의 이미지는 세 개의 뾰족한 별처럼 보인다 (a). 점 확산 함수가 회전 대칭이 아니므로, 2차원 광학 전달 함수만이 이를 잘 설명할 수 있다 (b). 표면 플롯의 높이는 절대값을 나타내고, 색조는 함수의 복소 편각을 나타낸다. 이러한 이미징 장치로 촬영된 스포크 타겟은 (c)의 시뮬레이션에 의해 보여진다.

광학 시스템, 특히 광학 수차는 항상 회전 대칭이 아니다. 따라서 다른 방향을 가진 주기적인 패턴은 주기가 동일하더라도 다른 대비로 이미지화될 수 있다. 따라서 광학 전달 함수 또는 변조 전달 함수는 일반적으로 2차원 함수이다. 다음 그림은 이전에 논의된 이상적인 시스템과 불완전한 시스템의 2차원 등가물을, 삼엽 수차라는 비회전 대칭 수차를 가진 광학 시스템에 대해 보여준다.

광학 전달 함수가 항상 실수 값은 아니다. 주기적 패턴은 시스템의 수차에 따라 어떤 양만큼 이동될 수 있다. 이는 일반적으로 비회전 대칭 수차의 경우에 해당한다. 위 그림의 표면 플롯 색상의 색조는 위상을 나타낸다. 회전 대칭 수차의 경우 위상이 0 또는 π이므로 전달 함수가 실수 값인 반면, 비회전 대칭 수차의 경우 전달 함수는 허수 성분을 가지며 위상이 연속적으로 변한다는 것을 알 수 있다.

실제 예시: 고화질 비디오 시스템

일반적으로 카메라 시스템과 관련하여 사용되는 광분해능은 이미지의 화소 수만을 설명하며, 따라서 미세한 세부 사항을 표시할 잠재력을 설명하지만, 전달 함수는 인접한 픽셀이 다양한 공간 주파수 패턴에 반응하여 흑백으로 변할 수 있는 능력을 설명하며, 따라서 완전하거나 감소된 대비로든 미세한 세부 사항을 표시할 실제 능력을 설명한다. 높은 공간 주파수에서 '롤오프(roll off)'되는 광학 전달 함수로 재현된 이미지는 일상 언어에서 '흐릿하게' 보일 것이다.

현재의 고화질(HD) 비디오 시스템을 예로 들면, 1920x1080 픽셀을 가진 시스템에서 나이퀴스트 정리는 완벽한 시스템에서 총 1920개의 흑백 교차 라인을 완전히 해상할 수 있어야 한다고 말한다. 이는 그림 너비당 1920/2=960 라인 쌍, 또는 그림 너비당 960 사이클의 공간 주파수(각도 단위 또는 mm당 사이클 단위의 정의도 가능하지만, 카메라를 다룰 때는 덜 명확하고 망원경 등에 더 적합하다)로도 알려져 있다. 실제로 이는 실제와는 거리가 멀고, 나이퀴스트율에 근접하는 공간 주파수는 일반적으로 진폭이 감소하여 재현되므로, 미세한 세부 사항은 볼 수 있지만 대비가 크게 줄어든다. 이로 인해 흥미로운 관찰이 발생하는데, 예를 들어 나중에 설명할 오버샘플링을 사용하는 필름 스캐너에서 파생된 표준 화질 텔레비전 사진이 낮은 변조 전달 함수를 가진 카메라로 촬영된 고화질 사진보다 더 선명하게 보일 수 있다. 두 사진은 종종 놓치는 흥미로운 차이를 보여주는데, 전자는 특정 지점까지는 세부 사항에 완전한 대비를 가지지만 실제로는 미세한 세부 사항이 없고, 후자는 더 미세한 세부 사항을 포함하지만 대비가 너무 줄어들어 전체적으로 열등해 보인다.

카메라에 사용되는 화소 수를 아무리 늘려도 완벽한 광학 공간 필터가 없는 한 이것은 항상 사실로 남을 것이다. 마찬가지로, 5메가픽셀 스틸 카메라에서 얻은 5메가픽셀 이미지는 동일한 품질의 10메가픽셀 스틸 카메라에서 다운컨버전을 통해 얻은 5메가픽셀 이미지보다 더 선명할 수 없다. 높은 대비 MTF를 유지하는 문제 때문에 BBC와 같은 방송사들은 오랫동안 표준 화질 TV를 유지하면서 훨씬 더 많은 픽셀로 촬영하고 시청함으로써 품질을 향상시키는 것을 고려했지만(앞서 언급했듯이, 이러한 시스템은 인상적일지라도 궁극적으로는 감쇠되었음에도 불구하고 진정한 HD 시청 효과를 향상시키는 매우 미세한 디테일이 부족하다).

디지털 카메라와 캠코더에서 또 다른 요소는 렌즈 해상도이다. 렌즈가 1920개의 수평선을 '해상'한다고 말할 수 있지만, 이는 흑백에서 완전한 변조로 해상한다는 의미는 아니다. '변조 전달 함수'(위상이 무시된 광학 전달 함수의 크기에 대한 용어일 뿐)는 렌즈 성능의 진정한 척도를 제공하며, 공간 주파수에 대한 진폭 그래프로 표현된다.

렌즈 조리개 회절도 MTF를 제한한다. 렌즈의 조리개를 줄이면 일반적으로 수차가 줄어들어 MTF의 평탄도가 향상되지만, 모든 렌즈와 이미지 센서 크기에 대해 최적의 조리개가 있으며, 그 이상으로 작은 조리개는 회절로 인해 해상도를 감소시킨다. 이는 빛을 이미지 센서 전체에 퍼뜨린다. 이는 플레이트 카메라 시대와 심지어 35mm 필름 시대에는 거의 문제가 되지 않았지만, 일부 디지털 카메라 및 특히 비디오 카메라에 사용되는 매우 작은 포맷 센서에서는 극복할 수 없는 한계가 되었다. 1세대 HD 소비자 캠코더는 1/4인치 센서를 사용했는데, f4보다 작은 조리개는 해상도를 제한하기 시작한다. 심지어 전문 비디오 카메라조차 대부분 2/3인치 센서를 사용하므로, 필름 포맷에 대해 정상으로 간주되었을 f16 주변의 조리개 사용을 금지한다. 특정 카메라(예: Pentax K10D)는 최대 선명도를 위해 조리개 선택이 최적화되는 "MTF 자동 노출" 모드를 특징으로 한다.^[4] 일반적으로 이는 조리개 범위의 중간쯤을 의미한다.

대형 포맷 DSLR과 MTF 잠재력 향상 경향

최근 저조도 감도 및 얕은 피사계 심도 효과의 필요성에 의해 대형 이미지 포맷 DSLR 사용이 증가하는 추세이다. 이로 인해 이러한 카메라는 '영화 같은' 잠재력 때문에 일부 영화 및 TV 프로그램 제작자들에게 전문 HD 비디오 카메라보다 선호되게 되었다. 이론적으로 16 및 21메가픽셀 센서가 있는 카메라를 사용하면 카메라 내부에서 다운컨버전을 통해 거의 완벽한 선명도를 얻을 수 있으며, 에일리어싱을 제거하기 위한 디지털 필터링이 가능하다. 이러한 카메라는 매우 인상적인 결과를 내며, 비디오 제작에서 대형 포맷 다운컨버전과 디지털 필터링이 평탄한 MTF를 구현하고 에일리어싱으로부터 진정으로 자유로워지는 표준 접근 방식이 되는 방향으로 이끌고 있는 것으로 보인다.

OTF의 디지털 역전

광학적 효과로 인해 대비가 최적이 아닐 수 있으며, 디스플레이의 나이퀴스트 주파수에 도달하기 전에 0에 가까워질 수 있다. 광학적 대비 감소는 디스플레이 또는 추가 처리 전에 공간 주파수를 선택적으로 디지털 방식으로 증폭함으로써 부분적으로 역전될 수 있다. 더 진보된 디지털 이미지 복원 절차가 존재하지만, 위너 디컨볼루션 알고리즘은 단순성과 효율성 때문에 종종 사용된다. 이 기술은 이미지의 공간 스펙트럼 성분을 곱하므로, 노이즈와 에일리어싱 등으로 인한 오류도 증폭시킨다. 따라서 충분히 높은 신호 대 잡음비를 가진 고품질 녹화에만 효과적이다.

제한 사항

일반적으로, 점 광원의 이미지인 점 확산 함수는 파장 (색상) 및 시야각 (측면 점 광원 위치)과 같은 요소에도 의존한다. 이러한 변화가 충분히 점진적일 경우, 광학 시스템은 일련의 광학 전달 함수로 특징지어질 수 있다. 그러나 점 광원의 이미지가 급격하게 변할 경우, 광학 전달 함수는 광학 시스템을 정확하게 설명하지 못한다. 이러한 부정확성은 잘 선택된 파장 또는 시야 위치에서 광학 전달 함수를 수집함으로써 종종 완화될 수 있다. 그러나 라이트 필드 카메라와 같은 일부 이미징 시스템에는 더 복잡한 특성화가 필요할 수 있다.

같이 보기

• 보케
• 감마 보정
• 최소 분해 가능 대비
• 최소 해결 가능한 온도 차이
• 광분해능
• 신호 대 잡음비
• 신호 전달 함수
• 스트렐 비율
• 전달 함수
• 파면 코딩