데카르트 닫힌 범주

범주론에서 데카르트 닫힌 범주(Descartes닫힌範疇, 영어: Cartesian closed category, 약자 CCC)는 사상 집합을 대상으로 간주할 수 있어, 정의역이 곱 대상인 사상을, 사상 집합을 공역으로 갖는 사상으로 치환할 수 있는 범주이다.

정의

지수 대상

모노이드 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes )}$에서, 두 대상 ${\displaystyle Y,Z\in {\mathcal {C}}}$의 지수 대상(영어: exponential object) ${\displaystyle (Z^{Y}\in {\mathcal {C}},\operatorname {eval} \colon Z^{Y}\otimes Y\to Z)}$은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 대상이다. 임의의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$ 및 사상 ${\displaystyle g\colon X\otimes Y\to Z}$에 대하여, 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상 ${\displaystyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$이 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X\otimes Y\\{\scriptstyle \lambda g\otimes \operatorname {id} _{Y}}\downarrow &\searrow \scriptstyle g\\Z^{Y}\otimes Y&{\xrightarrow[{\operatorname {eval} }]{}}&Z\end{matrix}}}$

데카르트 닫힌 범주

모노이드 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes )}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 모노이드 범주를 닫힌 모노이드 범주(영어: closed monoidal category)라고 한다.

• 임의의 두 대상 ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, 지수 대상 ${\displaystyle Y^{X}}$가 존재한다.
• 모든 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여 다음과 같은 수반 함자가 존재한다.

  ${\displaystyle (-\otimes X)\dashv (-)^{X}}$

곱 ${\displaystyle \times }$에 대한 닫힌 모노이드 범주를 데카르트 닫힌 범주라고 한다.

국소 데카르트 닫힌 범주

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 위의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 두 조각 범주 사이에 자연스러운 함자

${\displaystyle f_{!}\colon {\mathcal {C}}/X\to {\mathcal {C}}/Y}$

${\displaystyle f_{!}\colon g\mapsto f\circ g}$

가 존재한다. 만약 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 유한 완비 범주라면 밑 변환(영어: base change) 함자

${\displaystyle f^{*}\colon {\mathcal {C}}/Y\to {\mathcal {C}}/X}$

${\displaystyle f^{*}\colon (g\colon A\to Y)\mapsto (g_{X}\colon A\times _{Y}X\to X)}$

의 왼쪽 수반 함자 ${\displaystyle f_{!}}$가 존재한다. ${\displaystyle f_{!}}$ 함자를 의존합(依存合, 영어: dependent sum)이라고 부른다.

유한 완비 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유한 완비 범주를 국소 데카르트 닫힌 범주(영어: locally Cartesian closed category)라고 한다.

• 임의의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, 조각 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$는 데카르트 닫힌 범주이다.
• 임의의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 조각 범주 사이의 함자 ${\displaystyle f^{*}\colon {\mathcal {C}}/Y\to {\mathcal {C}}/X}$는 또한 오른쪽 수반 함자 ${\displaystyle f_{*}\colon {\mathcal {C}}/X\to {\mathcal {C}}/Y}$를 갖는다.

끝 대상 ${\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}}$에 대한 조각 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}/1}$은 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$와 동형이므로, 모든 (유한 완비) 국소 데카르트 닫힌 범주는 데카르트 닫힌 범주이다.

국소 데카르트 닫힌 범주에서, 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여 존재하는 오른쪽 수반 함자 ${\displaystyle f_{*}\colon {\mathcal {C}}/X\to {\mathcal {C}}/Y}$는 의존곱(依存-, 영어: dependent product)이라고 한다. 대략, 사상 ${\displaystyle \pi \colon E\to X}$이 주어졌을 때 이를 ${\displaystyle X}$ 위의 "다발"로 해석하고, "밑공간" ${\displaystyle X}$ 위의 ${\displaystyle Y}$-점에 대하여 그 "올" ${\displaystyle E_{x}}$을 정의할 수 있다. 그렇다면, 의존곱은 이를 다발 ${\displaystyle E\to X}$의 "단면"들의 모임으로 대응시킨다. 이러한 해석은 물론 임의의 범주에서 적용되지 않지만, 집합의 범주나 다른 토포스 속에서 성립한다.

예

데카르트 닫힌 범주

데카르트 닫힌 범주의 예는 다음과 같다.

이름	대상	사상	곱	지수 대상
${\displaystyle \operatorname {Set} }$	집합	함수	곱집합 ${\displaystyle X\times Y}$	함수의 집합 ${\displaystyle Y^{X}=\hom(X,Y)}$
${\displaystyle \operatorname {FinSet} }$	유한 집합	유한 집합 사이의 함수	곱집합	함수의 집합 ${\displaystyle Y^{X}=\hom(X,Y)}$
${\displaystyle \operatorname {Set} ^{G}}$ (${\displaystyle G}$는 하나의 대상을 갖는 범주로 여긴 군)	${\displaystyle G}$의 작용을 갖는 집합	${\displaystyle G}$의 작용과 호환되는 함수	(자연스러운 곱 작용을 갖춘) 곱집합 ${\displaystyle X\times Y}$	${\displaystyle G}$의 작용과 호환되는 함수의 집합 ${\displaystyle Y^{X}=\hom(X,Y)}$. (${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle (g\cdot f)(x)=g\cdot (f(g^{-1}\cdot x)}$)
${\displaystyle \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}}$ (${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 작은 범주)	함자 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }$	자연 변환	공역에서의 곱 ${\displaystyle F\times G\colon (C\in {\mathcal {C}})\mapsto F(C)\times G(C)}$	${\displaystyle F,G\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }$ 및 ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle G^{F}(C)}$는 자연 변환 ${\displaystyle (C\times -)\times F\implies G}$의 집합
조각 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} /A}$ (${\displaystyle A}$는 집합)	함수 ${\displaystyle X\to A}$	${\displaystyle f\colon X\to A}$, ${\displaystyle g\in Y\to A}$에 대하여 ${\displaystyle \hom(f,g)=\{h\colon x=g\circ h\}}$	${\displaystyle f\colon X\to A}$ 및 ${\displaystyle g\in Y\to A}$에 대하여, 당김 ${\displaystyle X\times _{A}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}}$	${\displaystyle f\colon X\to A}$ 및 ${\displaystyle g\in Y\to A}$에 대하여, ${\displaystyle \{(a,h)\colon a\in A,h\colon f^{-1}(a)\to g^{-1}(a)\}}$
${\displaystyle \operatorname {Cat} }$	작은 범주	함자	곱 범주 (대상·사상이 각각 대상·사상의 순서쌍)	함자 범주 ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathcal {C}}}$ (대상은 함자, 사상은 자연 변환)
${\displaystyle \operatorname {CGHaus} }$[1]	콤팩트 생성(영어: compactly generated) 하우스도르프 공간	콤팩트 생성 하우스도르프 공간 사이의 연속함수	${\displaystyle k(X\times _{\operatorname {Top} }Y)}$ (${\displaystyle X\times _{\operatorname {Top} }Y}$는 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$에서의 곱위상, ${\displaystyle k(-)}$는 콤팩트 생성화)	${\displaystyle Y^{X}=k({\mathcal {C}}(X,Y))}$ (${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}$는 콤팩트-열린집합 위상을 갖춘 연속함수들의 공간)

일반적인 위상 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$에서는 곱 (=곱위상을 갖춘 곱공간) 및 끝 대상 (=한원소 공간)이 존재하지만, 지수 대상은 일반적으로 존재하지 않는다. (그러나 이 위에는 독특한 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조가 존재한다.)

닫힌 모노이드 범주

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간의 범주 ${\displaystyle K{\text{-Vect}}}$에서는 곱 (=직합 ${\displaystyle V\oplus W}$) 및 끝 대상 (=0차원 벡터 공간)이 존재하지만, 지수 대상은 존재하지 않는다. 그러나 텐서곱(${\displaystyle V\otimes W}$)에 대해서는 지수 대상과 유사한 대상 (선형 변환의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)}$)이 존재한다. 즉, 이는 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

아벨 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$는 아벨 군의 텐서곱에 대하여 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 두 아벨 군 사이의 군 준동형들의 집합은 점별 합에 대하여 자연스럽게 아벨 군을 이룬다.

모든 위상 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$ 위에는 유일한 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조가 존재한다.^{[2]:291, Corollary 2.4[3]:62, Remark 6.1.2} 이 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조에서,

• 대칭 이항 연산은 집합으로서 곱집합이지만, 이 위에는 곱공간과 현저히 다른 위상이 주어진다. (이는 지수 대상의 위상으로부터 유일하게 결정된다.)
• 항등원은 한원소 공간이다.
• 지수 대상은 집합으로서 연속 함수의 집합이지만, 이 위에는 콤팩트-열린 집합 위상 대신 점별 수렴 위상이 주어진다.

이 때문에 이 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조는 위상수학에서 그리 유용하지 않다.^{[3]:62, Remark 6.1.2}

국소 데카르트 닫힌 범주

모든 토포스와 모든 준토포스는 국소 데카르트 닫힌 범주이다. 토포스의 조각 범주 역시 토포스이며, 토포스 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 속의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 의하여 수반 함자

${\displaystyle f_{!}\dashv f^{*}\dashv f_{*}}$

가 유도된다. 이는 토포스의 본질적 기하학적 사상을 이룬다.

특히, 집합과 함수의 토포스 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$는 국소 데카르트 범주이다. 집합의 범주에서, 함수 ${\displaystyle f\colon X\to I}$에 대한 의존곱은 함수 ${\displaystyle \pi \colon E\to X}$를

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}\Gamma _{X_{i}}(E_{i})}$

로 대응시킨다. 여기서

${\displaystyle X_{i}=f^{-1}(i)}$

${\displaystyle E_{i}=(f\circ \pi )^{-1}(i)}$

이며,

${\displaystyle \Gamma _{X_{i}}(E_{i})=\left\{f\in E^{X_{i}}\colon \forall x\in X_{i}\colon \pi (f(x))=x\right\}}$

는 "단면 집합"이다.

특히, 만약 ${\displaystyle I}$가 끝 대상인 한원소 집합이라면, ${\displaystyle f\colon X\to \{\bullet \}}$에 대한 의존곱은 ${\displaystyle \pi \colon E\to X}$를 단면 집합 ${\displaystyle \Gamma _{X}(E)}$으로 대응시킨다.

같이 보기

• 커링