모노이드 범주

범주론에서 모노이드 범주(monoid範疇, 영어: monoidal category)는 동형 사상 아래 결합 법칙이 성립하고 동형 사상 아래 왼쪽·오른쪽 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다.^[1][2] 모노이드 범주 속에는 모노이드 대상의 개념을 정의할 수 있다.

정의

모노이드 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• 함자 ${\displaystyle \otimes \colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$
• 대상 ${\displaystyle I\in {\mathcal {C}}}$. 이를 항등원(恒等元, 영어: identity element)이라고 한다.
• 함자 ${\displaystyle (-\otimes -)\otimes -\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle -\otimes (-\otimes -)\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ 사이의 자연 동형 ${\displaystyle \alpha \colon (-\otimes -)\otimes -\Rightarrow -\otimes (-\otimes -)}$. 그 성분을 ${\displaystyle \alpha _{XYZ}\colon (X\otimes Y)\otimes Z\to X\otimes (Y\otimes Z)}$로 쓰자. 이를 결합자(結合子, 영어: associator)라고 한다.
• 함자 ${\displaystyle I\otimes \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ 사이의 자연 동형 ${\displaystyle \lambda \colon I\otimes \Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}}$. 그 성분을 ${\displaystyle \lambda _{X}\colon I\otimes X\to X}$로 쓰자. 이를 왼쪽 항등자(왼쪽恒等子, 영어: left unitor)라고 한다.
• 함자 ${\displaystyle \otimes I\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ 사이의 자연 동형 ${\displaystyle \rho \colon \otimes I\Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}}$. 그 성분을 ${\displaystyle \rho _{X}\colon X\otimes I\to X}$로 쓰자. 이를 오른쪽 항등자(오른쪽恒等子, 영어: right unitor)라고 한다.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• (결합자의 일관성) 임의의 대상 ${\displaystyle X,Y,Z,W\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle \alpha _{X,Y,Z\otimes W}\circ \alpha _{X\otimes Y,Z,W}=\operatorname {id} _{X}\otimes \alpha _{Y,Z,W}\circ \alpha _{X,Y\otimes Z,W}\circ \alpha _{X,Y,Z}\otimes \operatorname {id} _{W}}$. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}((X\otimes Y)\otimes Z)\otimes W&{\xrightarrow {\alpha }}&(X\otimes (Y\otimes Z))\otimes W&{\xrightarrow {\alpha }}&X\otimes ((Y\otimes Z)\otimes W)\\&{\scriptstyle \alpha }\searrow &&&\downarrow \scriptstyle \alpha \\&&(X\otimes Y)\otimes (Z\otimes W)&{\xrightarrow[{\alpha }]{}}&X\otimes (Y\otimes (Z\otimes W))\end{matrix}}}$

• (항등원의 일관성) 임의의 대상 ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle \alpha _{X,I,Y}\circ \operatorname {id} _{X}\otimes \lambda _{Y}=\rho _{X}\otimes \operatorname {id} _{Y}}$. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}(X\otimes I)\otimes Y&{\xrightarrow {\alpha }}&X\otimes (I\otimes Y)\\&{\scriptstyle \rho }\searrow &\downarrow \scriptstyle \lambda \\&&X\otimes Y\end{matrix}}}$

모노이드 함자

두 모노이드 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}$와 ${\displaystyle ({\mathcal {C}}',\otimes ',I',\alpha ',\lambda ',\rho ')}$ 사이의 (강한) 모노이드 함자(monoid函子, 영어: (strong) monoidal functor) ${\displaystyle (F,\xi ,\xi _{0})}$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}'}$
• 자연 동형 ${\displaystyle \xi \colon F(-)\otimes 'F(-)\to F(-\otimes -)}$. 그 성분을 ${\displaystyle \xi _{X,Y}\colon F(X)\otimes 'F(Y)\to F(X\otimes Y)}$로 쓰자.
• 동형 사상 ${\displaystyle \xi _{0}\colon I'\to F(I)}$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• (결합자의 보존) 임의의 대상 ${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle F\alpha _{X,Y,Z}\circ \xi _{X\otimes Y,Z}\circ (\xi _{X,Y}\otimes \operatorname {id} _{F(Z)})=\xi _{X,Y\otimes Z}\circ (\operatorname {id} _{F(X)}\otimes \xi _{Y,Z})\circ \alpha '_{F(X),F(Y),F(Z)}}$. 즉, 다음 그림이 가환 그림이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}(F(X)\otimes 'F(Y))\otimes 'F(Z)&\xrightarrow {\xi \otimes \operatorname {id} } &F(X\otimes Y)\otimes 'F(Z)&\xrightarrow {\xi } &F((X\otimes Y)\otimes Z)\\\downarrow \scriptstyle \alpha '&&&&\downarrow \scriptstyle F\alpha \\F(X)\otimes '(F(Y)\otimes 'F(Z))&{\xrightarrow[{\operatorname {id} \otimes \xi }]{}}&F(X)\otimes 'F(Y\otimes Z)&{\xrightarrow[{\xi }]{}}&F(X\otimes (Y\otimes Z))\end{matrix}}}$

• (왼쪽 항등자의 보존) 임의의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle \lambda '_{F(X)}=F\lambda _{X}\circ \xi _{I,X}\circ (\xi _{0}\otimes \operatorname {id} _{F(X)})}$. 즉, 다음 그림이 가환 그림이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}I'\otimes 'F(X)&\xrightarrow {\xi _{0}\otimes \operatorname {id} } &F(I)\otimes 'F(X)\\{\scriptstyle \lambda '}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \xi \\F(X)&\xleftarrow {F\lambda } &F(I\otimes X)\end{matrix}}}$

• (오른쪽 항등자의 보존) 임의의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle \rho '_{F(X)}=F\rho _{X}\circ \xi _{X,I}\circ (\operatorname {id} _{F(X)}\otimes \xi _{0})}$. 즉, 다음 그림이 가환 그림이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}F(X)\otimes 'I'&\xrightarrow {\operatorname {id} \otimes \xi _{0}} &F(X)\otimes 'F(I)\\{\scriptstyle \rho '}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \xi \\F(X)&\xleftarrow {F\rho } &F(X\otimes I)\end{matrix}}}$

자연 동형 ${\displaystyle \xi }$를 자연 변환으로 약화시키고, 동형 사상 ${\displaystyle \xi _{0}}$을 사상으로 약화시키면 약한 모노이드 함자(영어: lax monoidal functor)의 정의를 얻는다.

모노이드 자연 변환

두 모노이드 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}$와 ${\displaystyle ({\mathcal {C}}',\otimes ',I',\alpha ',\lambda ',\rho ')}$ 사이의 두 모노이드 함자 ${\displaystyle (F,\xi ,\xi _{0})}$와 ${\displaystyle (G,\phi ,\phi _{0})}$ 사이의 모노이드 자연 변환(monoid自然變換, 영어: monoidal functor)은 다음 두 조건을 만족시키는 자연 변환 ${\displaystyle \eta \colon F\Rightarrow G}$이다.

• (모노이드 함자 구조의 보존) 임의의 대상 ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle \eta _{X\otimes Y}\circ \xi _{X,Y}=\phi _{X,Y}\circ (\eta _{X}\otimes \eta _{Y})}$. 즉, 다음 그림이 가환한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}F(X)\otimes F(Y)&\xrightarrow {\xi } &F(X\otimes Y)\\{\scriptstyle \eta \otimes \eta }\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle \eta }\\G(X)\otimes G(Y)&{\xrightarrow[{\phi }]{}}&G(X\otimes Y)\end{matrix}}}$

• (모노이드 함자 구조의 보존) ${\displaystyle \phi _{0}=\eta _{I}\circ \xi _{0}}$. 즉, 다음 그림이 가환한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}I'&\xrightarrow {\xi _{0}} &F(I)\\&{\scriptstyle \phi _{0}}\searrow &\downarrow {\scriptstyle \eta _{I}}\\&&G(I)\end{matrix}}}$

추가 구조와 종류

대칭 모노이드 범주

 이 부분의 본문은 대칭 모노이드 범주입니다.

모노이드 범주에서, 이항 연산은 일반적으로 교환 법칙을 만족시키지 않는다. 즉, 임의의 두 대상 ${\displaystyle X,Y}$에 대하여, ${\displaystyle X\otimes Y\cong Y\otimes X}$일 필요가 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, 대칭 모노이드 범주의 개념을 얻는다.

닫힌 모노이드 범주

 이 부분의 본문은 닫힌 모노이드 범주입니다.

모노이드 범주에서, 모노이드 연산과 호환되는 일종의 지수 대상의 존재에 대한 조건을 추가하면, 닫힌 모노이드 범주의 개념을 얻는다.

예

(끝 대상을 포함한) 유한 곱이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 모노이드 범주를 데카르트 모노이드 범주(영어: Cartesian monoidal category)라고 한다. 마찬가지로, (시작 대상을 포함한) 유한 쌍대곱이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 이러한 모노이드 범주를 쌍대 데카르트 모노이드 범주(영어: co-Cartesian monoidal category)라고 한다.

범주	연산 ${\displaystyle \otimes }$	항등원 ${\displaystyle I}$	대칭 모노이드 범주?
집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$	곱집합 ${\displaystyle \times }$	한원소 집합	예
집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$	분리합집합 ${\displaystyle \sqcup }$	공집합	예
작은 범주의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Cat} }$	곱범주	하나의 대상 및 하나의 사상을 가진 범주 ${\displaystyle \mathbb {1} }$	예
가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 가군의 범주 ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$	가군의 텐서곱 ${\displaystyle \otimes _{R}}$	1차 자유 가군 ${\displaystyle R}$	예
가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 가군의 범주 ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$	가군의 직합 ${\displaystyle \oplus }$	자명 가군 ${\displaystyle 0}$	예
아벨 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} \simeq \mathbb {Z} {\text{-Mod}}}$	아벨 군의 텐서곱 ${\displaystyle \otimes _{\mathbb {Z} }}$	무한 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$	예
모노이드 ${\displaystyle M}$의 원소를 대상으로 하고, 모든 사상이 항등 사상인 작은 범주	모노이드 이항 연산	모노이드 항등원	아닐 수 있음

역사

손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였고, 모노이드 범주가 만족시켜야 하는 (무한한 수의) 항등식 가환 그림들이 오직 5개의 가환 그림만으로 함의된다는 매클레인 일관성 정리(Mac Lane一貫性定理, 영어: Mac Lane coherence theorem)를 증명하였다.^[3] 조금 더 정확히 말하면, 모든 모노이드 범주는 결합자와 두 항등자가 모두 항등 자연 변환인 모노이드 범주와 (모노이드 범주로서) 동치이다. 이후 그레고리 맥스웰 켈리(영어: Gregory Maxwell Kelly, 1930~2007)가 매클레인의 5개의 가환 그림이 2개(오각형과 삼각형)의 가환 그림만으로 함의된다는 것을 보였다.^{[4]:Theorem 3′}