라리타-슈윙거 방정식

라리타-슈윙거 방정식(영어: Rarita–Schwinger equation)은 그래비티노와 같은 스핀 1½인 페르미온을 다루는 파동 방정식이다.

장방정식

스핀 0	클라인-고든 방정식
스핀 ½	디랙 방정식 · 바일 방정식 · 마요라나 방정식
스핀 1	맥스웰 방정식 · 프로카 방정식
스핀 1½	라리타-슈윙거 방정식
스핀 2	아인슈타인 방정식
v t e

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 스핀 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$의 (디랙 또는 마요라나 또는 바일 또는 마요라나-바일) 스피너 다발 ${\displaystyle S\twoheadrightarrow M}$
• 필바인 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$, ${\displaystyle e_{\mu }^{a}\in \Omega ^{1}(M;E)}$

그렇다면,

${\displaystyle \psi _{\mu }\mathrm {d} x^{\mu }\in \Omega ^{1}(M;S)}$

에 대하여 다음과 같은 편미분 방정식을 적을 수 있으며, 이를 (무질량) 라리타-슈윙거 방정식이라고 한다.^[1]:(5.2)

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\partial _{[\mu }\psi _{\nu ]}=0}$

이는 다음과 같은 라그랑지언으로부터 유도된다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-\int \mathrm {d} ^{D}x\,(\det e){\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu \rho }={\frac {1}{6}}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }-\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }+\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)}$

일부 경우 여기에 질량항을 추가할 수도 있다.

성질

게이지 변환

${\displaystyle 2^{n}}$개의 실수 성분을 갖는 스피너를 기반으로 한 라리타-슈윙거 장은 (질량 껍질 밖에서) 다음과 같은 수의 성분을 갖는다.^[1]틀:Rp§5

${\displaystyle 2^{n}(D-1)}$

즉, 이는 ${\displaystyle 2^{n}}$차원의 게이지 변환

${\displaystyle \psi _{\mu }\mapsto \psi _{\mu }+\partial _{\mu }\epsilon }$

을 겪는다.

예를 들어, (1,3)차원 민코프스키 공간의 경우, 마요라나 스피너는 4개의 실수 성분을 가진다. 이 경우, 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4×3 = 12개의 실수 성분을 갖는다. 이는 로런츠 군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)}$(의 범피복군)의

${\displaystyle (1,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},1)}$

표현에 해당한다.

마찬가지로, (1,5)차원의 경우, 바일 스피너는 4개의 복소수 성분을 가지며, 이에 기반하는 라리타-슈윙거 장은 4×5 = 20개의 복소수 성분을 갖는다. 이는 로런츠 군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,5)}$의 콤팩트화 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)}$의 20차원 표현

${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{3}\mathbf {4} =\mathbf {20} }$

에 해당한다.

마찬가지로, (1,10)차원의 경우, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이 경우 마요라나-슈윙거 장은 32×10 = 320개의 실수 성분을 갖는다.

질량 껍질

질량 껍질 위에서, ${\displaystyle 2^{n}}$개의 실수 성분을 갖는 스피너를 기반으로 한 (무질량) 라리타-슈윙거 장은 다음과 같은 수의 성분을 갖는다.^[1]:§5

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(D-3)2^{n}}$

예를 들어, (1,3)차원 민코프스키 공간의 경우, 마요라나 스피너는 4개의 실수 성분을 가지며, 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4×1×½ = 2개의 자유도를 갖는다. (1,3)차원에서 중력장은 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}D(D-3)=2}$개의 자유도를 가지므로, (1,3)차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초대칭에서 이들은 하나의 초다중항을 이룰 수 있다.

역사

1941년에 미국의 윌리엄 라리타(영어: William R. Rarita, 1907~1999)와 줄리언 슈윙거가 도입하였다.^[2]