로런츠 변환의 역사

로런츠 변환의 역사는 로런츠 군 또는 푸앵카레 군을 구성하는 선형 변환의 발전 과정을 포함하며, 로런츠 간격 ${\displaystyle -x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$ 및 민코프스키 내적 ${\displaystyle -x_{0}y_{0}+\cdots +x_{n}y_{n}}$을 보존한다.

수학에서 나중에 로런츠 변환으로 알려진 변환과 등가인 다양한 차원의 변환은 19세기 이차 형식, 쌍곡기하학, 뫼비우스 기하학, 그리고 구면 기하학 이론과 관련하여 논의되었다. 이는 쌍곡 공간에서의 운동 그룹, 뫼비우스 군 또는 사영 특수 선형군, 그리고 라게르 군이 동형임을 통해 로런츠 군과 연결된다.

물리학에서는 20세기 초 맥스웰 방정식의 대칭성을 나타낸다는 것이 발견되면서 로런츠 변환이 알려졌다. 이후 로런츠 변환은 민코프스키 시공간의 대칭성을 나타내며 특수 상대성이론의 기초를 이루어 빛의 속력을 서로 다른 관성 좌표계 사이에서 불변하게 만들었기 때문에 모든 물리학의 기본이 되었다. 로런츠 변환은 일정한 상대 속도 v를 가진 두 임의의 관성 좌표계의 시공간 좌표를 연결한다. 한 좌표계에서는 사건의 위치가 x, y, z로 주어지고 시간은 t로 주어지며, 다른 좌표계에서는 동일한 사건이 x′, y′, z′ 및 t′ 좌표를 갖는다.

수학적 선사시대

대칭행렬 A의 계수, 관련 쌍선형 형식, 그리고 변환행렬 g를 통한 선형 변환을 사용하여 로런츠 변환은 다음 조건이 충족될 때 주어진다.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}-x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}&=-x_{0}^{\prime 2}+\dots +x_{n}^{\prime 2}\\-x_{0}y_{0}+\cdots +x_{n}y_{n}&=-x_{0}^{\prime }y_{0}^{\prime }+\cdots +x_{n}^{\prime }y_{n}^{\prime }\end{aligned}}\\\hline {\begin{matrix}\mathbf {x} '=\mathbf {g} \cdot \mathbf {x} \\\mathbf {x} =\mathbf {g} ^{-1}\cdot \mathbf {x} '\end{matrix}}\\\hline {\begin{matrix}{\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {g} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {A} &=\mathbf {g} ^{-1}\\\mathbf {g} ^{\rm {T}}\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {g} &=\mathbf {A} \\\mathbf {g} \cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {g} ^{\mathrm {T} }&=\mathbf {A} \end{aligned}}\end{matrix}}\\\hline \mathbf {A} ={\rm {diag}}(-1,1,\dots ,1)\\\det \mathbf {g} =\pm 1\end{matrix}}}$

이는 O(1,n)이라는 로런츠 군이라고 불리는 부정직교군을 형성하며, det g=+1인 경우는 제한된 로런츠 군 SO(1,n)을 형성한다. 이차 형식은 민코프스키 공간(유사 유클리드 공간의 특수한 경우)의 부정 이차 형식의 관점에서 로런츠 간격이 되고, 관련 쌍선형 형식은 민코프스키 내적이 된다.^[1][2] 특수 상대성이론이 등장하기 훨씬 이전에 이는 케일리-클라인 거리, 쌍곡면 모델 및 쌍곡기하학의 다른 모델, 타원함수 및 적분의 계산, 부정 이차 형식의 변환, 쌍곡선의 압착 사상, 군론, 뫼비우스 변환, 구면파 변환, 사인-고든 방정식의 변환, 이중 사원수 대수, 분할 복소수, 클리퍼드 대수 등과 같은 주제에서 사용되었다.

위키배움터에 관련 강좌가 있습니다:

• The Wikiversity: History of most general Lorentz transformations

includes contributions of 카를 프리드리히 가우스 (1818), 카를 구스타프 야코프 야코비 (1827, 1833/34), 미셸 샬 (1829), 빅토르아메데 레베그 (1837), 토마스 웨들 (1847), 에드몽 부르 (1856), 오시프 이바노비치 소모프 (1863), 빌헬름 킬링 (1878–1893), 앙리 푸앵카레 (1881), 호머샴 콕스 (1881–1883), 조지 윌리엄 힐 (1882), 에밀 피카르 (1882-1884), 옥타브 칼랑드로 (1885), 소푸스 리 (1885-1890), 루이 제라르 (1892), 펠릭스 하우스도르프 (1899), 프레더릭 S. 우즈 (1901-05), 하인리히 리프만 (1904/05).

• The Wikiversity: History of Lorentz transformations via imaginary orthogonal transformation

includes contributions of 소푸스 리 (1871), 헤르만 민코프스키 (1907–1908), 아르놀트 조머펠트 (1909).

• The Wikiversity: History of Lorentz transformations via hyperbolic functions

includes contributions of 빈첸초 리카티 (1757), 요한 하인리히 람베르트 (1768–1770), 프란츠 타우리누스 (1826), 에우제니오 벨트라미 (1868), 샤를앙주 라이상 (1874), 구스타프 폰 에셔리히 (1874), 제임스 휘트브레드 리 글레이셔 (1878), 지그문트 귄터 (1880/81), 호머샴 콕스 (1881/82), 루돌프 립시츠 (1885/86), 프리드리히 슈르 (1885-1902), 페르디난트 폰 린데만 (1890–91), 루이 제라르 (1892), 빌헬름 킬링 (1893-97), 앨프리드 노스 화이트헤드 (1897/98), 에드윈 베일리 엘리엇 (1903), 프레더릭 S. 우즈 (1903), 하인리히 리프만 (1904/05), 필리프 프랑크 (1909), 구스타프 헤르글로츠 (1909/10), 블라디미르 바리차크 (1910).

• The Wikiversity: History of Lorentz transformations via sphere transformation

includes contributions of 피에르 오시안 보네 (1856), 알베르 리보쿠르 (1870), 소푸스 리 (1871a), 가스통 다르부 (1873-87), 에드몽 라게르 (1880), 시파리소 스테파노스 (1883), 게오르크 셰퍼스 (1899), 퍼시 F. 스미스 (1900), 해리 베이트먼과 에버네저 커닝햄 (1909–1910).

• The Wikiversity: History of Lorentz transformations via Cayley–Hermite transformation

was used by 아서 케일리 (1846–1855), 샤를 에르미트 (1853, 1854), 파울 구스타프 하인리히 바흐만 (1869), 에드몽 라게르 (1882), 가스통 다르부 (1887), 퍼시 F. 스미스 (1900), 에밀 보렐 (1913).

• The Wikiversity: History of Lorentz transformations via Cayley–Klein parameters, Möbius and spin transformations

includes contributions of 카를 프리드리히 가우스 (1801/63), 펠릭스 클라인 (1871–97), 에두아르트 셀링 (1873–74), 앙리 푸앵카레 (1881), 루이지 비앙키 (1888-93), 로베르트 프리케 (1891–97), 프레더릭 S. 우즈 (1895), 구스타프 헤르글로츠 (1909/10).

• The Wikiversity: History of Lorentz transformations via quaternions and hyperbolic numbers

includes contributions of 제임스 코클 (1848), 호머샴 콕스 (1882/83), 시파리소 스테파노스 (1883), 아서 부흐하임 (1884), 루돌프 립시츠 (1885/86), 테오도르 발렌 (1901/02), 프리츠 뇌터 (1910), 펠릭스 클라인 (1910), 아서 W. 콘웨이 (1911), 루드비히 질버슈타인 (1911).

• The Wikiversity: Lorentz transformation via trigonometric functions

includes contributions of 루이지 비앙키 (1886), 가스통 다르부 (1891/94), 게오르크 셰퍼스 (1899), 루터 프팔러 아이젠하르트 (1905), 블라디미르 바리차크 (1910), 헨리 크로지어 키팅 플러머 (1910), 폴 그루너 (1921).

• The Wikiversity: History of Lorentz transformations via squeeze mappings

includes contributions of 앙투안 앙드레 루이 레노 (1819), 펠릭스 클라인 (1871), 샤를앙주 라이상 (1874), 소푸스 리 (1879-84), 지그문트 귄터 (1880/81), 에드몽 라게르 (1882), 가스통 다르부 (1883–1891), 루돌프 립시츠 (1885/86), 루이지 비앙키 (1886–1894), 페르디난트 폰 린데만 (1890/91), 멜렌 W. 해스켈 (1895), 퍼시 F. 스미스 (1900), 에드윈 베일리 엘리엇 (1903), 루터 프팔러 아이젠하르트 (1905).

전기역학과 특수 상대성이론

개요

특수 상대성이론에서 로런츠 변환은 상수 c를 빛의 속력으로 사용하고, 매개변수 v를 두 관성 좌표계 사이의 상대적 속도로 사용하여 민코프스키 시공간의 대칭성을 나타낸다. 위 조건을 사용하면 3+1 차원의 로런츠 변환은 다음과 같은 형태를 띤다.

${\displaystyle {\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\\\hline \left.{\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+x{\frac {v}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}\end{matrix}}\Rightarrow {\begin{aligned}(ct'+x')&=(ct+x){\sqrt {\frac {c+v}{c-v}}}\\(ct'-x')&=(ct-x){\sqrt {\frac {c-v}{c+v}}}\end{aligned}}}$

물리학에서는 포크트(1887)가 비압축성 매체와 관련하여 유사한 변환을 도입했으며, 헤비사이드(1888), 톰슨(1889), 설(1896)과 로런츠(1892, 1895)는 맥스웰 방정식을 분석했다. 이들은 라머(1897, 1900)와 로런츠(1899, 1904)에 의해 완성되었고, 푸앵카레(1905)에 의해 로런츠 변환이라는 이름이 붙여져 현대적인 형태로 정립되었다.^[3] 결국 아인슈타인(1905)은 특수 상대성이론을 발전시키면서 상대성 원리와 빛의 속도 불변성만으로도 이 변환이 도출될 수 있음을 보였으며, 로런츠와 푸앵카레와 달리 역학적 에테르를 요구하지 않고 시공간의 전통적 개념을 수정했다.^[4] 민코프스키(1907–1908)는 이 변환을 사용하여 공간과 시간이 시공간으로서 분리될 수 없게 연결되어 있다고 주장했다.

로런츠 변환의 특수한 표현과 관련하여: 민코프스키(1907–1908)와 조머펠트(1909)는 허수 삼각함수를 사용했고, 프랑크(1909)와 바리차크(1910)는 쌍곡선 함수를 사용했으며, 베이트먼과 커닝햄(1909–1910)은 구면파 변환을 사용했고, 헤르글로츠(1909–10)는 뫼비우스 변환을 사용했으며, 플러머(1910)와 그루너(1921)는 삼각 로런츠 부스트를 사용했고, 이그나톱스키(1910)는 빛의 속도 가설 없이 변환을 유도했으며, 뇌터(1910)와 클라인(1910)뿐만 아니라 콘웨이(1911)와 질버슈타인(1911)은 이중 사원수를 사용했고, 이그나톱스키(1910/11), 헤르글로츠(1911) 등은 임의의 방향에 유효한 벡터 변환을 사용했으며, 보렐(1913–14)은 케일리-에르미트 매개변수를 사용했다.

볼데마어 포크트 (1887년)

볼데마어 포크트 (1887)^{[R 1]}는 도플러 효과와 비압축성 매체와 관련하여 현대적 표기법으로는 다음과 같은 변환을 개발했다.^[5][6]

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}\xi _{1}&=x_{1}-\varkappa t\\\eta _{1}&=y_{1}q\\\zeta _{1}&=z_{1}q\\\tau &=t-{\frac {\varkappa x_{1}}{\omega ^{2}}}\\q&={\sqrt {1-{\frac {\varkappa ^{2}}{\omega ^{2}}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&={\frac {y}{\gamma }}\\z^{\prime }&={\frac {z}{\gamma }}\\t^{\prime }&=t-{\frac {vx}{c^{2}}}\\{\frac {1}{\gamma }}&={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

만약 그의 방정식의 우변에 γ를 곱하면 현대의 로런츠 변환이 된다. 포크트의 이론에서는 빛의 속력이 불변하지만, 그의 변환은 상대론적 부스트와 시공간의 재조정(rescaling)을 혼합한다. 자유 공간에서의 광학 현상은 척도 불변, 등각 불변, 로런츠 불변이므로 이 조합 역시 불변이다.^[6] 예를 들어, 로런츠 변환은 계수 ${\displaystyle l}$을 사용하여 확장될 수 있다.^{[R 2]}

${\displaystyle x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)}$.

l=1/γ는 포크트 변환을, l=1은 로런츠 변환을 제공한다. 그러나 척도 변환은 모든 자연 법칙의 대칭이 아니라 전자기학의 대칭일 뿐이므로, 이 변환들은 일반적인 상대성 원리를 정립하는 데 사용될 수 없다. 푸앵카레와 아인슈타인은 위의 변환을 대칭적으로 만들고 상대성 원리가 요구하는 그룹을 형성하기 위해서는 l=1로 설정해야 함을 입증했으며, 따라서 로런츠 변환만이 유일하게 가능한 선택이다.

포크트는 1887년 논문을 1908년에 로런츠에게 보냈고,^[7] 이는 1909년에 다음과 같이 인정되었다.

1887년에 발표된 "Ueber das Doppler'sche Princip" (Gött. Nachrichten, p. 41) 논문은 유감스럽게도 수년 동안 내 눈에 띄지 않았지만, 포크트는 (이 책의 § 3에 있는) 방정식 (7) 형태 [즉 ${\displaystyle \Delta \Psi -{\tfrac {1}{c^{2}}}{\tfrac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=0}$]에 대해 공식 (287) 및 (288) [즉 ${\displaystyle x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\ y^{\prime }=ly,\ z^{\prime }=lz,\ t^{\prime }=\gamma l\left(t-{\tfrac {v}{c^{2}}}x\right)}$]과 동등한 변환을 적용했다. 위 (그리고 § 44에서) 사용된 변환의 아이디어는 포크트로부터 빌려왔을 수 있으며, 이것이 자유 에테르에 대한 방정식의 형태를 변경하지 않는다는 증명은 그의 논문에 포함되어 있다.^{[R 3]}

또한 헤르만 민코프스키는 1908년에 상대성 원리에서 중요한 역할을 하는 변환이 1887년에 포크트에 의해 처음으로 연구되었다고 말했다. 포크트는 같은 논문에서 자신의 이론이 전자기 이론이 아닌 빛의 탄성 이론에 기반을 두고 있다고 답했다. 그러나 그는 일부 결과가 실제로 동일하다고 결론지었다.^{[R 4]}

올리버 헤비사이드 (1888년), 조지프 존 톰슨 (1889년), 조지 프레데릭 찰스 설 (1896년)

1888년 올리버 헤비사이드^{[R 5]}는 맥스웰의 전기역학에 따라 운동하는 전하의 특성을 조사했다. 그는 이 공식으로 표현되는 움직이는 물체의 전기장 내 비등방성 등을 계산했다.^[8]

${\displaystyle \mathrm {E} =\left({\frac {q\mathrm {r} }{r^{2}}}\right)\left(1-{\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}\right)^{-3/2}}$.

그 결과 조지프 존 톰슨 (1889)^{[R 6]}은 다음 수학적 변환을 사용하여 움직이는 전하에 대한 계산을 상당히 단순화하는 방법을 발견했다 (로런츠나 라머와 같은 다른 저자들과 마찬가지로, 톰슨 또한 그의 방정식에서 암묵적으로 갈릴레이 군 z-vt를 사용했다^[9]).

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}z&=\left\{1-{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\right\}^{\frac {1}{2}}z'\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}z^{\ast }=z-vt&={\frac {z'}{\gamma }}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

이에 따라 비균일 전자기파 방정식은 푸아송 방정식으로 변환된다.^[9] 결국 조지 프레데릭 찰스 설^{[R 7]}은 1896년에 헤비사이드의 표현이 전기장의 변형을 초래하며, 이를 축비에 따른 "헤비사이드-타원체"라고 불렀다.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}&{\sqrt {\alpha }}:1:1\\\alpha =&1-{\frac {u^{2}}{v^{2}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}&{\frac {1}{\gamma }}:1:1\\{\frac {1}{\gamma ^{2}}}&=1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$^[9]

헨드릭 안톤 로런츠 (1892년, 1895년)

빛의 수차와 피조 실험 결과를 맥스웰 방정식과 일치시키기 위해 로런츠는 1892년에 에테르가 완전히 정지해 있고 에테르 내에서 빛의 속력이 모든 방향에서 일정하다는 모델("로런츠 에테르 이론")을 개발했다. 움직이는 물체의 광학을 계산하기 위해 로런츠는 에테르 시스템에서 움직이는 시스템으로 변환하기 위해 다음 양들을 도입했다 (그가 포크트, 헤비사이드, 톰슨의 영향을 받았는지는 알려져 있지 않다).^{[R 8][10]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}{\mathfrak {x}}&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-p^{2}}}}x\\t'&=t-{\frac {\varepsilon }{V}}{\mathfrak {x}}\\\varepsilon &={\frac {p}{\sqrt {V^{2}-p^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\t^{\prime }&=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\\gamma {\frac {v}{c}}&={\frac {v}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

여기서 x^*는 갈릴레이 변환 x-vt이다. 시간 변환의 추가 γ를 제외하면 이것은 완전한 로런츠 변환이다.^[10] t가 에테르에 정지한 관찰자에게는 "진정한" 시간인 반면, t′은 움직이는 시스템에 대한 과정을 계산하기 위한 보조 변수일 뿐이다. 로런츠와 후에 라머도 이 변환을 두 단계로 공식화했다는 점도 중요하다. 처음에는 암묵적인 갈릴레이 변환을, 그 다음에는 로런츠 변환을 사용하여 "가상의" 전자기 시스템으로 확장했다. 마이컬슨-몰리 실험의 부정적 결과를 설명하기 위해 그는 1892년에^{[R 9]} 분자간 힘도 유사하게 영향을 받는다는 추가 가설을 도입하고 (그가 인정했듯이 증명 없이) 자신의 이론에 길이 수축을 도입했다. 동일한 가설은 이전에 조지 프랜시스 피츠제럴드가 1889년에 헤비사이드의 연구를 바탕으로 제기한 바 있다. 로런츠에게 길이 수축은 실제 물리적 효과였지만, 그는 시간 변환을 단지 경험적 작업 가설이자 수학적 규정으로만 간주했다.

1895년에 로런츠는 자신의 이론을 더욱 정교하게 다듬고 "대응 상태 정리"를 도입했다. 이 정리는 (에테르에 상대적으로) 움직이는 관찰자가 자신의 "가상의" 장에서 정지한 관찰자가 자신의 "실제" 장에서 v/c의 1차 항까지 동일한 관측을 한다는 것을 말한다. 로런츠는 에테르와 움직이는 좌표계의 정전기 시스템의 차원이 이 변환에 의해 연결된다는 것을 보였다.^{[R 10]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&=x^{\prime }{\sqrt {1-{\frac {{\mathfrak {p}}^{2}}{V^{2}}}}}\\y&=y^{\prime }\\z&=z^{\prime }\\t&=t^{\prime }\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\ast }=x-vt&={\frac {x^{\prime }}{\gamma }}\\y&=y^{\prime }\\z&=z^{\prime }\\t&=t^{\prime }\end{aligned}}\end{matrix}}}$

광학 문제를 해결하기 위해 로런츠는 다음 변환을 사용했으며, 여기서 수정된 시간 변수를 그가 "국소 시간"(독일어: Ortszeit)이라고 불렀다.^{[R 11]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&=\mathrm {x} -{\mathfrak {p}}_{x}t\\y&=\mathrm {y} -{\mathfrak {p}}_{y}t\\z&=\mathrm {z} -{\mathfrak {p}}_{z}t\\t^{\prime }&=t-{\frac {{\mathfrak {p}}_{x}}{V^{2}}}x-{\frac {{\mathfrak {p}}_{y}}{V^{2}}}y-{\frac {{\mathfrak {p}}_{z}}{V^{2}}}z\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-v_{x}t\\y^{\prime }&=y-v_{y}t\\z^{\prime }&=z-v_{z}t\\t^{\prime }&=t-{\frac {v_{x}}{c^{2}}}x'-{\frac {v_{y}}{c^{2}}}y'-{\frac {v_{z}}{c^{2}}}z'\end{aligned}}\end{matrix}}}$

이 개념을 통해 로런츠는 도플러 효과, 빛의 수차, 그리고 피조 실험을 설명할 수 있었다.^[11]

조지프 라머 (1897년, 1900년)

1897년 라머는 로런츠의 작업을 확장하여 다음 변환을 유도했다.^{[R 12]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{1}&=x\varepsilon ^{\frac {1}{2}}\\y_{1}&=y\\z_{1}&=z\\t^{\prime }&=t-vx/c^{2}\\dt_{1}&=dt^{\prime }\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}\\\varepsilon &=\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x_{1}&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\y_{1}&=y\\z_{1}&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {vx^{\ast }}{c^{2}}}=t-{\frac {v(x-vt)}{c^{2}}}\\dt_{1}&={\frac {dt^{\prime }}{\gamma }}\\\gamma ^{2}&={\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

라머는 분자의 구성이 전기적이라고 가정하면 피츠제럴드-로런츠 수축이 이 변환의 결과이며, 이는 마이컬슨-몰리 실험을 설명한다고 언급했다. 주목할 만한 점은 라머가 이 변환의 결과로 어떤 종류의 시간 팽창이 발생한다는 것을 처음으로 인식했다는 것이다. "개별 전자는 [정지] 시스템에 대해 1/γ 비율로 더 짧은 시간에 해당 궤도 부분을 기술한다"는 그의 언급에서 알 수 있다.^[12][13] 라머는 (v/c)²보다 높은 차수의 항을 무시하고 자신의 전기역학 방정식과 변환을 작성했다. 그의 1897년 논문이 1929년에 재인쇄되었을 때, 라머는 다음 주석을 추가하여 v/c의 모든 차수에 대해 어떻게 유효하게 만들 수 있는지를 설명했다.^{[R 13]}

아무것도 무시할 필요가 없습니다. 방정식에서 v/c²를 εv/c²로 대체하고 t에서 t′으로의 변화에도 동일하게 적용하면 변환은 정확합니다. 이는 Aether and Matter (1900), p. 168에 설명되어 있으며, 로런츠도 1904년에 이를 발견하여 내재적 관계적 상대성 이론의 현대적 체계를 자극했습니다.

이 주석과 일치하게, 라머는 1900년에 출판된 그의 저서 "에테르와 물질"에서 1897년 표현 t′=t-vx/c² 대신 t″=t′-εvx′/c²라는 수정된 국소 시간을 사용했는데, 이는 v/c²를 εv/c²로 대체한 것으로, t″는 이제 로런츠가 1892년에 제시한 것과 동일하며, 이를 x′, y′, z′, t′ 좌표에 대한 갈릴레이 변환과 결합했다.^{[R 14]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t\\t^{\prime \prime }&=t^{\prime }-\varepsilon vx^{\prime }/c^{2}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t\\t^{\prime \prime }=t^{\prime }-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\prime }}{c^{2}}}&=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}}$

라머는 마이컬슨-몰리 실험이 (v/c)² 인자에 의존하는 운동의 효과를 감지하기에 충분히 정확하다는 것을 알고 있었기 때문에 "2차 항까지 정확한" (그의 표현대로) 변환을 찾았다. 따라서 그는 최종 변환 (x′=x-vt와 t″는 위와 같음)을 다음과 같이 작성했다.^{[R 15]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{1}&=\varepsilon ^{\frac {1}{2}}x^{\prime }\\y_{1}&=y^{\prime }\\z_{1}&=z^{\prime }\\dt_{1}&=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}dt^{\prime \prime }=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}\left(dt^{\prime }-{\frac {v}{c^{2}}}\varepsilon dx^{\prime }\right)\\t_{1}&=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}t^{\prime }-{\frac {v}{c^{2}}}\varepsilon ^{\frac {1}{2}}x^{\prime }\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x_{1}&=\gamma x^{\prime }=\gamma (x-vt)\\y_{1}&=y'=y\\z_{1}&=z'=z\\dt_{1}&={\frac {dt^{\prime \prime }}{\gamma }}={\frac {1}{\gamma }}\left(dt^{\prime }-{\frac {\gamma ^{2}vdx^{\prime }}{c^{2}}}\right)=\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}}\right)\\t_{1}&={\frac {t^{\prime }}{\gamma }}-{\frac {\gamma vx^{\prime }}{c^{2}}}=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}}$

이로써 그는 완전한 로런츠 변환에 도달했다. 라머는 맥스웰 방정식이 이 2단계 변환에 대해 "v/c의 2차 항까지" 불변임을 보였는데, 로런츠(1904)와 푸앵카레(1905)는 이 변환에 대해 v/c의 모든 차수에서 실제로 불변임을 나중에 보였다.

라머는 1904년에 발표된 두 편의 논문에서 로런츠에게 공로를 돌렸으며, 로런츠의 좌표와 장 구성에 대한 1차 변환에 대해 "로런츠 변환"이라는 용어를 사용했다.

p. 583: [..] 로런츠의 변환은 정지된 전기역학적 물질 시스템의 활동 영역에서 에테르를 통해 균일한 병진 속도로 움직이는 시스템으로 이동하기 위한 것입니다.
p. 585: [..] 로런츠 변환은 즉각적으로 분명하지 않은 것을 보여주었습니다 [..]^{[R 16]}
p. 622: [..] 로런츠가 처음 개발한 변환: 즉, 공간의 각 지점은 시간이 측정되는 고유한 원점을 가져야 하며, 로런츠의 용어로 "국소 시간"이라고 불리고, 그런 다음 정지 시스템에서 분자 사이의 에테르 내 모든 지점에서의 전기 및 자기 벡터 [..] 값은 해당 국소 시간에서 대류 시스템의 벡터 [..] 값과 동일합니다.^{[R 17]}

헨드릭 안톤 로런츠 (1899년, 1904년)

로런츠 또한 1899년에 그의 대응 상태 정리를 확장했다. 먼저 그는 1892년의 것과 동등한 변환을 작성했다 (다시, x*는 x-vt로 대체되어야 한다).^{[R 18]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}}x\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {{\mathfrak {p}}_{x}}{V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}x\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}}$

그 다음 그는 결정할 방법이 없다고 말한 인자 ε을 도입하고, 다음과 같이 자신의 변환을 수정했다 (여기서 위 t′ 값은 삽입되어야 한다).^{[R 19]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&={\frac {\varepsilon }{k}}x^{\prime \prime }\\y&=\varepsilon y^{\prime \prime }\\z&=\varepsilon x^{\prime \prime }\\t^{\prime }&=k\varepsilon t^{\prime \prime }\\k&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\ast }=x-vt&={\frac {\varepsilon }{\gamma }}x^{\prime \prime }\\y&=\varepsilon y^{\prime \prime }\\z&=\varepsilon z^{\prime \prime }\\t^{\prime }=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)&=\gamma \varepsilon t^{\prime \prime }\\\gamma &={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

이것은 x″과 t″에 대해 풀면 ε=1일 때 완전한 로런츠 변환과 동등하다. 라머처럼 로런츠도 1899년에^{[R 20]} 진동하는 전자의 주파수와 관련하여 "S에서의 진동 시간이 S₀에서의 진동 시간보다 kε배 더 길다"는 일종의 시간 팽창 효과를 발견했다 (여기서 S₀는 에테르 프레임이다).^[14]

1904년에 그는 l=1/ε로 설정하여 방정식을 다음과 같은 형태로 다시 썼다 (다시, x*는 x-vt로 대체되어야 한다).^{[R 21]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&=klx\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t'&={\frac {l}{k}}t-kl{\frac {w}{c^{2}}}x\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma lx^{\ast }=\gamma l(x-vt)\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t^{\prime }&={\frac {lt}{\gamma }}-{\frac {\gamma lvx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma l\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}}$

v=0일 때 l=1이라고 가정하면, 그는 l=1이 모든 속도에서 성립해야 함을 증명했고, 따라서 길이 수축은 운동 방향에서만 발생할 수 있다. 이렇게 계수 l을 1로 설정함으로써 로런츠의 변환은 이제 라머의 변환과 동일한 형태를 띠게 되었고 완성되었다. 맥스웰 방정식의 공변성을 2차 항까지 보여주는 데 그친 라머와 달리, 로런츠는 그 공변성을 v/c의 모든 차수로 확장하려고 노력했다. 그는 또한 전자기적 질량의 속도 의존성에 대한 정확한 공식을 유도했으며, 변환 공식이 전기적 힘뿐만 아니라 모든 자연의 힘에 적용되어야 한다고 결론지었다.^{[R 22]} 그러나 그는 전하 밀도와 속도에 대한 변환 방정식의 완전한 공변성을 달성하지 못했다.^[15] 1904년 논문이 1913년에 재인쇄되었을 때, 로런츠는 다음과 같은 주석을 추가했다.^[16]

이 작업에서 아인슈타인의 상대성 이론 변환 방정식이 완전히 도달하지 못했다는 것을 알 수 있을 것이다. [..] 이러한 상황 때문에 이 작업의 많은 후속 고려 사항들이 어색해졌다.

로런츠의 1904년 변환은 알프레드 부헤러에 의해 1904년 7월에 인용되고 사용되었다.^{[R 23]}

${\displaystyle x^{\prime }={\sqrt {s}}x,\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t'={\frac {t}{\sqrt {s}}}-{\sqrt {s}}{\frac {u}{v^{2}}}x,\quad s=1-{\frac {u^{2}}{v^{2}}}}$

또는 빌헬름 빈에 의해 1904년 7월에 인용되었다.^{[R 24]}

${\displaystyle x=kx',\quad y=y',\quad z=z',\quad t'=kt-{\frac {v}{kc^{2}}}x}$

또는 에밀 콘에 의해 1904년 11월에 (빛의 속도를 1로 설정하고) 인용되었다.^{[R 25]}

${\displaystyle x={\frac {x_{0}}{k}},\quad y=y_{0},\quad z=z_{0},\quad t=kt_{0},\quad t_{1}=t_{0}-w\cdot r_{0},\quad k^{2}={\frac {1}{1-w^{2}}}}$

또는 리처드 간스에 의해 1905년 2월에 인용되었다.^{[R 26]}

${\displaystyle x^{\prime }=kx,\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t'={\frac {t}{k}}-{\frac {kwx}{c^{2}}},\quad k^{2}={\frac {c^{2}}{c^{2}-w^{2}}}}$

앙리 푸앵카레 (1900년, 1905년)

국소 시간

로런츠나 라머는 국소 시간의 기원에 대해 명확한 물리적 해석을 제공하지 않았다. 그러나 앙리 푸앵카레는 1900년에 로런츠의 "놀라운 발명품"인 국소 시간의 기원에 대해 언급했다.^[17] 그는 움직이는 기준계에서 시계들이 신호 교환을 통해 동기화될 때 발생하며, 이 신호들이 양방향으로 동일한 속도 ${\displaystyle c}$로 이동한다고 가정하여 오늘날 동시성의 상대성이라고 불리는 현상으로 이어진다고 언급했다. 다만 푸앵카레의 계산에는 길이 수축이나 시간 팽창이 포함되지 않았다.^{[R 27]} 지구 (x*, t* 좌표계)에서 시계들을 동기화하기 위해 한 시계 (원점)에서 다른 시계 (x*)로 빛 신호를 보냈다가 다시 보낸다. 지구는 어떤 정지 시스템 (x, t)에서 x 방향 (= x* 방향)으로 속도 v로 움직인다고 가정한다 (즉, 로런츠와 라머에게는 광 에테르 시스템). 바깥으로 나가는 비행 시간은 다음과 같다.

${\displaystyle \delta t_{a}={\frac {x^{\ast }}{\left(c-v\right)}}}$

그리고 되돌아오는 비행 시간은 다음과 같다.

${\displaystyle \delta t_{b}={\frac {x^{\ast }}{\left(c+v\right)}}}$.

신호가 돌아왔을 때 시계에 경과된 시간은 δt_a+δt_b이고, 빛 신호가 멀리 있는 시계에 도달한 순간에 t*=(δt_a+δt_b)/2의 시간이 할당된다. 정지 좌표계에서는 그 순간에 t=δt_a 시간이 할당된다. 약간의 대수를 통해 반사 순간에 할당된 서로 다른 시간 좌표 사이의 관계를 얻을 수 있다. 따라서

${\displaystyle t^{\ast }=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{*}}{c^{2}}}}$

이는 로런츠(1892)와 동일하다. ${\displaystyle {\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}\ll 1}$이라는 가정하에 γ² 인자를 제거하면 푸앵카레는 t*=t-vx*/c²라는 결과를 얻었는데, 이는 로런츠가 1895년에 사용한 형태이다.

국소 시간에 대한 유사한 물리적 해석은 나중에 에밀 콘 (1904)^{[R 28]}과 막스 아브라함 (1905)^{[R 29]}에 의해 제시되었다.

로런츠 변환

1905년 6월 5일 (6월 9일 출판), 푸앵카레는 라머와 로런츠의 것과 대수적으로 동등한 변환 방정식을 공식화하고 현대적인 형태를 부여했다.^{[R 30]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\prime }&=kl(x+\varepsilon t)\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t'&=kl(t+\varepsilon x)\\k&={\frac {1}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}\end{aligned}}}$.

분명히 푸앵카레는 라머의 공헌을 알지 못했던 것 같다. 왜냐하면 그는 로런츠만을 언급했고, 따라서 "로런츠 변환"이라는 이름을 처음으로 사용했다.^[18][19] 푸앵카레는 빛의 속도를 1로 설정하고, l=1로 설정함으로써 변환의 군 특성을 지적했으며, 상대성 원리를 완전히 만족시키기 위해 로런츠의 전자기학 방정식 유도를 일부 세부 사항에서 수정/교정했다. 즉, 이들을 완전히 로런츠 공변적으로 만들었다.^[20]

1905년 7월 (1906년 1월 출판)^{[R 31]} 푸앵카레는 최소 작용 원리의 결과로서 변환과 전자기 방정식이 어떻게 되는지를 상세히 보여주었다. 그는 자신이 로런츠 군이라고 부른 변환의 군 특성을 더 자세히 설명했고, x²+y²+z²-t²의 조합이 불변임을 보였다. 그는 ${\displaystyle ct{\sqrt {-1}}}$를 네 번째 허수 좌표로 도입함으로써 로런츠 변환이 4차원 공간에서 원점을 중심으로 한 단순한 회전임을 알아차렸고, 사차원 벡터의 초기 형태를 사용했다. 그는 또한 이미 1905년 5월 로런츠에게 보낸 미출판 편지에서 유도했던 속도 덧셈 공식을 공식화했다.^{[R 32]}

${\displaystyle \xi '={\frac {\xi +\varepsilon }{1+\xi \varepsilon }},\ \eta '={\frac {\eta }{k(1+\xi \varepsilon )}}}$.

알베르트 아인슈타인 (1905년): 특수 상대성이론

1905년 6월 30일 (1905년 9월 출판) 아인슈타인은 오늘날 특수 상대성이론이라고 불리는 이론을 발표하고, 상대성 원리와 빛의 속도 불변성 원리에만 기반하여 변환의 새로운 유도를 제시했다. 로런츠가 "국소 시간"을 마이컬슨-몰리 실험을 설명하기 위한 수학적 규정 장치로 간주했던 반면, 아인슈타인은 로런츠 변환에 의해 주어진 좌표가 실제로 상대적으로 움직이는 기준 좌표계의 관성 좌표임을 보였다. v/c의 1차 항까지는 푸앵카레도 1900년에 같은 방식으로 수행했지만, 아인슈타인은 이 방법으로 완전한 변환을 유도했다. 에테르 내의 실제 시간과 움직이는 관찰자에 대한 겉보기 시간을 여전히 구별했던 로런츠와 푸앵카레와 달리, 아인슈타인은 이 변환이 움직이는 좌표계의 운동학에 적용된다는 것을 보였다.^[21][22][23]

이 변환의 표기법은 1905년 푸앵카레의 것과 동일하지만, 아인슈타인은 빛의 속도를 1로 설정하지 않았다.^{[R 33]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &=\beta \left(t-{\frac {v}{V^{2}}}x\right)\\\xi &=\beta (x-vt)\\\eta &=y\\\zeta &=z\\\beta &={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}\end{aligned}}}$

아인슈타인은 또한 속도 덧셈 공식을 정의했다.^{[R 34]}

${\displaystyle {\begin{matrix}x={\frac {w_{\xi }+v}{1+{\frac {vw_{\xi }}{V^{2}}}}}t,\ y={\frac {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}{1+{\frac {vw_{\xi }}{V^{2}}}}}w_{\eta }t\\U^{2}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2},\ w^{2}=w_{\xi }^{2}+w_{\eta }^{2},\ \alpha =\operatorname {arctg} {\frac {w_{y}}{w_{x}}}\\U={\frac {\sqrt {\left(v^{2}+w^{2}+2vw\cos \alpha \right)-\left({\frac {vw\sin \alpha }{V}}\right)^{2}}}{1+{\frac {vw\cos \alpha }{V^{2}}}}}\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}{\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}}}=u_{\xi }\\{\frac {u_{y}}{\beta \left(1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}\right)}}=u_{\eta }\\{\frac {u_{z}}{\beta \left(1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}\right)}}=u_{\zeta }\end{matrix}}\right.}$

그리고 광행차 공식:^{[R 35]}

${\displaystyle \cos \varphi '={\frac {\cos \varphi -{\frac {v}{V}}}{1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }}}$

헤르만 민코프스키 (1907~1908년): 시공간

로런츠, 아인슈타인, 막스 플랑크의 상대성 원리 연구는 푸앵카레의 4차원 접근 방식과 함께 헤르만 민코프스키에 의해 1907년과 1908년에 쌍곡면 모델과 더욱 정교하게 결합되었다.^{[R 36][R 37]} 민코프스키는 특히 전기역학을 4차원 방식으로 재구성했다 (민코프스키 시공간).^[24] 예를 들어, 그는 x, y, z, it를 x₁, x₂, x₃, x₄ 형태로 썼다. ψ를 z축 주위의 회전 각도로 정의하여, 로런츠 변환은 (c=1일 때) 다음 형태를 취한다.^{[R 38]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x'_{1}&=x_{1}\\x'_{2}&=x_{2}\\x'_{3}&=x_{3}\cos i\psi +x_{4}\sin i\psi \\x'_{4}&=-x_{3}\sin i\psi +x_{4}\cos i\psi \\\cos i\psi &={\frac {1}{\sqrt {1-q^{2}}}}\end{aligned}}}$

민코프스키는 허수 iψ를 사용했지만, 한 번은^{[R 38]} 속도 방정식에서 쌍곡 탄젠트를 직접 사용했다.

${\displaystyle -i\tan i\psi ={\frac {e^{\psi }-e^{-\psi }}{e^{\psi }+e^{-\psi }}}=q}$ with ${\displaystyle \psi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+q}{1-q}}}$.

민코프스키의 표현은 ψ=atanh(q)로도 쓸 수 있으며, 나중에 신속도라고 불렸다. 그는 또한 로런츠 변환을 행렬 형태로 작성했다.^{[R 39]}

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}+x_{3}^{\prime 2}+x_{4}^{\prime 2}\\\left(x_{1}^{\prime }=x',\ x_{2}^{\prime }=y',\ x_{3}^{\prime }=z',\ x_{4}^{\prime }=it'\right)\\-x^{2}-y^{2}-z^{2}+t^{2}=-x^{\prime 2}-y^{\prime 2}-z^{\prime 2}+t^{\prime 2}\\\hline x_{h}=\alpha _{h1}x_{1}^{\prime }+\alpha _{h2}x_{2}^{\prime }+\alpha _{h3}x_{3}^{\prime }+\alpha _{h4}x_{4}^{\prime }\\\mathrm {A} =\mathrm {\left|{\begin{matrix}\alpha _{11},&\alpha _{12},&\alpha _{13},&\alpha _{14}\\\alpha _{21},&\alpha _{22},&\alpha _{23},&\alpha _{24}\\\alpha _{31},&\alpha _{32},&\alpha _{33},&\alpha _{34}\\\alpha _{41},&\alpha _{42},&\alpha _{43},&\alpha _{44}\end{matrix}}\right|,\ {\begin{aligned}{\bar {\mathrm {A} }}\mathrm {A} &=1\\\left(\det \mathrm {A} \right)^{2}&=1\\\det \mathrm {A} &=1\\\alpha _{44}&>0\end{aligned}}} \end{matrix}}}$

로런츠 변환의 그래픽 표현으로 그는 민코프스키 다이어그램을 도입했는데, 이는 상대성 이론에 대한 교과서 및 연구 논문에서 표준 도구가 되었다.^{[R 40]}

1908년 민코프스키의 원본 시공간 다이어그램.

아르놀트 조머펠트 (1909년): 구면 삼각법

민코프스키와 같은 허수 신속도를 사용하여 아르놀트 조머펠트 (1909)는 삼각함수와 구면 코사인 법칙을 사용하여 로런츠 부스트와 상대론적 속도 덧셈을 공식화했다.^{[R 41]}

${\displaystyle {\begin{matrix}\left.{\begin{array}{lrl}x'=&x\ \cos \varphi +l\ \sin \varphi ,&y'=y\\l'=&-x\ \sin \varphi +l\ \cos \varphi ,&z'=z\end{array}}\right\}\\\left(\operatorname {tg} \varphi =i\beta ,\ \cos \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\ \sin \varphi ={\frac {i\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)\\\hline \beta ={\frac {1}{i}}\operatorname {tg} \left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)={\frac {1}{i}}{\frac {\operatorname {tg} \varphi _{1}+\operatorname {tg} \varphi _{2}}{1-\operatorname {tg} \varphi _{1}\operatorname {tg} \varphi _{2}}}={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}\\\cos \varphi =\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\cos \alpha \\v^{2}={\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2v_{1}v_{2}\cos \alpha -{\frac {1}{c^{2}}}v_{1}^{2}v_{2}^{2}\sin ^{2}\alpha }{\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}v_{1}v_{2}\cos \alpha \right)^{2}}}\end{matrix}}}$

필리프 프랑크 (1909년): 쌍곡선 함수

필리프 프랑크 (1909)는 ψ를 신속도로 사용하여 로런츠 변환을 유도하면서 쌍곡선 함수를 사용했다.^{[R 42]}

${\displaystyle {\begin{matrix}x'=x\varphi (a)\,{\rm {ch}}\,\psi +t\varphi (a)\,{\rm {sh}}\,\psi \\t'=-x\varphi (a)\,{\rm {sh}}\,\psi +t\varphi (a)\,{\rm {ch}}\,\psi \\\hline {\rm {th}}\,\psi =-a,\ {\rm {sh}}\,\psi ={\frac {a}{\sqrt {1-a^{2}}}},\ {\rm {ch}}\,\psi ={\frac {1}{\sqrt {1-a^{2}}}},\ \varphi (a)=1\\\hline x'={\frac {x-at}{\sqrt {1-a^{2}}}},\ y'=y,\ z'=z,\ t'={\frac {-ax+t}{\sqrt {1-a^{2}}}}\end{matrix}}}$

해리 베이트먼과 에버네저 커닝햄 (1909년~1910년): 구면파 변환

소푸스 리 (1871)의 허수 반지름 좌표와 4차원 등각 변환 사이의 관계에 대한 연구와 연관하여, 베이트먼과 커닝햄 (1909–1910)은 u=ict를 허수 4차 좌표로 설정함으로써 시공간 등각 변환을 생성할 수 있음을 지적했다. 이차 형식 ${\displaystyle \lambda \left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+du^{2}\right)}$뿐만 아니라 맥스웰 방정식도 λ의 선택에 관계없이 이러한 변환에 대해 공변적이다. 이러한 등각 또는 리 구면 변환의 변형을 베이트먼은 구면파 변환이라고 불렀다.^{[R 43][R 44]} 그러나 이러한 공변성은 전기역학 같은 특정 영역에 한정되며, 관성 좌표계의 자연 법칙 전체는 로런츠 군에 대해 공변적이다.^{[R 45]} 특히, λ=1로 설정하면 로런츠 군 SO(1,3)는 15개 매개변수 시공간 등각 군 Con(1,3)의 10개 매개변수 부분군으로 볼 수 있다.

베이트먼 (1910–12)^[25]은 라게르 반전과 로런츠 변환 사이의 항등식도 언급했다. 일반적으로 라게르 군과 로런츠 군 사이의 동형성은 엘리 카르탕 (1912, 1915–55),^{[R 46]} 앙리 푸앵카레 (1912–21)^{[R 47]} 등등에 의해 지적되었다.

구스타프 헤르글로츠 (1909/10년): 뫼비우스 변환

펠릭스 클라인 (1889–1897)과 프리케 & 클라인 (1897)의 케일리 절대, 쌍곡 운동 및 그 변환에 대한 연구를 따라, 구스타프 헤르글로츠 (1909–10)는 1개 매개변수 로런츠 변환을 록소드로믹, 쌍곡, 포물선, 타원형으로 분류했다. 일반적인 경우(왼쪽)와 로런츠 변환 또는 압착 사상과 동등한 쌍곡선 경우는 다음과 같다.^{[R 48]}

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0\\z_{1}=x,\ z_{2}=y,\ z_{3}=z,\ z_{4}=t\\Z={\frac {z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}}={\frac {x+iy}{t-z}},\ Z'={\frac {x'+iy'}{t'-z'}}\\Z={\frac {\alpha Z'+\beta }{\gamma Z'+\delta }}\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}Z=Z'e^{\vartheta }\\{\begin{aligned}x&=x',&t-z&=(t'-z')e^{\vartheta }\\y&=y',&t+z&=(t'+z')e^{-\vartheta }\end{aligned}}\end{matrix}}}$

블라디미르 바리차크 (1910년): 쌍곡선 함수

조머펠트 (1909)에 이어, 블라디미르 바리차크는 1910년부터 여러 논문에서 쌍곡선 함수를 사용했으며, 바이어슈트라스 좌표를 사용하여 쌍곡기하학에 기반한 특수 상대성이론 방정식을 표현했다. 예를 들어, l=ct와 v/c=tanh(u) (u는 신속도)로 설정하여 로런츠 변환을 다음과 같이 작성했다.^{[R 49]}

${\displaystyle {\begin{aligned}l'&=-x\operatorname {sh} u+l\operatorname {ch} u,\\x'&=x\operatorname {ch} u-l\operatorname {sh} u,\\y'&=y,\quad z'=z,\\\operatorname {ch} u&={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}\end{aligned}}}$

그리고 구더만 함수 및 평행각과의 신속도 관계를 보였다.^{[R 49]}

${\displaystyle {\frac {v}{c}}=\operatorname {th} u=\operatorname {tg} \psi =\sin \operatorname {gd} (u)=\cos \Pi (u)}$

그는 또한 속도 덧셈을 쌍곡 코사인 법칙과 연관시켰다.^{[R 50]}

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {ch} {u}=\operatorname {ch} {u_{1}}\operatorname {c} h{u_{2}}+\operatorname {sh} {u_{1}}\operatorname {sh} {u_{2}}\cos \alpha \\\operatorname {ch} {u_{i}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}},\ \operatorname {sh} {u_{i}}={\frac {v_{i}}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}}\\v={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-\left({\frac {v_{1}v_{2}}{c}}\right)^{2}}}\ \left(a={\frac {\pi }{2}}\right)\end{matrix}}}$

이후 E. T. 휘태커 (1910) 또는 앨프레드 롭 (1911, 신속도라는 용어를 만들었다)과 같은 다른 저자들도 유사한 표현을 사용했으며, 이는 현대 교과서에서도 여전히 사용되고 있다.

헨리 크로지어 키팅 플러머 (1910년): 삼각 로런츠 부스트

헨리 크로지어 키팅 플러머 (1910)는 삼각함수를 사용하여 로런츠 부스트를 정의했다.^{[R 51]}

${\displaystyle {\begin{matrix}\tau =t\sec \beta -x\tan \beta /U\\\xi =x\sec \beta -Ut\tan \beta \\\eta =y,\ \zeta =z,\\\hline \sin \beta =v/U\end{matrix}}}$

블라디미르 이그나톱스키 (1910년)

이전 로런츠 변환의 유도와 공식화가 처음부터 광학, 전기역학 또는 빛의 속도 불변성에 의존했던 반면, 블라디미르 이그나톱스키 (1910)는 상대성 원리(및 관련 군론 원리)만을 사용하여 두 관성 좌표계 사이의 다음 변환을 유도할 수 있음을 보였다.^{[R 52][R 53]}

${\displaystyle {\begin{aligned}dx'&=p\ dx-pq\ dt\\dt'&=-pqn\ dx+p\ dt\\p&={\frac {1}{\sqrt {1-q^{2}n}}}\end{aligned}}}$

변수 n은 실험을 통해 또는 전기역학과 같은 알려진 물리 법칙으로부터 값을 결정해야 하는 시공간 상수이다. 이를 위해 이그나톱스키는 위에서 언급한 헤비사이드 타원체를 사용했는데, 이는 운동 방향으로 x/γ만큼 정전기장의 수축을 나타낸다. 이는 n=1/c²일 때만 이그나톱스키의 변환과 일치하며, p=γ와 로런츠 변환이 도출된다. n=0일 때는 길이 변화가 발생하지 않고 갈릴레이 변환이 따른다. 이그나톱스키의 방법은 필리프 프랑크와 헤르만 로테 (1911, 1912)에 의해 더욱 발전되고 개선되었으며,^{[R 54]} 이후 여러 저자들이 유사한 방법을 개발했다.^[26]

프리츠 뇌터 (1910년), 펠릭스 클라인 (1910년): 사원수

펠릭스 클라인 (1908)은 케일리 (1854)의 4D 사원수 곱셈을 "Drehstreckungen"(인자를 제외하고 이차 형식을 불변으로 남기는 회전의 관점에서 직교 치환)으로 설명했으며, 민코프스키가 제공한 현대 상대성 원리가 본질적으로 이러한 Drehstreckungen의 결과적인 적용일 뿐이라고 지적했지만, 자세한 내용은 제공하지 않았다.^{[R 55]}

클라인과 조머펠트의 "팽이 이론" (1910) 부록에서 프리츠 뇌터는 ${\displaystyle \omega ={\sqrt {-1}}}$을 사용하여 이중 사원수를 통한 쌍곡 회전을 공식화하는 방법을 보여주었으며, ω²=-c²로 설정하여 이를 빛의 속도와도 연결했다. 그는 이것이 로런츠 변환 군의 합리적인 표현을 위한 주요 요소라고 결론지었다.^{[R 56]}

${\displaystyle {\begin{matrix}V={\frac {Q_{1}vQ_{2}}{T_{1}T_{2}}}\\\hline X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+\omega ^{2}S^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\omega ^{2}s^{2}\\\hline {\begin{aligned}V&=Xi+Yj+Zk+\omega S\\v&=xi+yj+zk+\omega s\\Q_{1}&=(+Ai+Bj+Ck+D)+\omega (A'i+B'j+C'k+D')\\Q_{2}&=(-Ai-Bj-Ck+D)+\omega (A'i+B'j+C'k-D')\\T_{1}T_{2}&=T_{1}^{2}=T_{2}^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}+\omega ^{2}\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}}$

뇌터는 아서 케일리 (1854)의 사원수 관련 표준 작품 외에 슈투디 (1899)의 클라인 백과사전 항목과 엘리 카르탕 (1908)의 프랑스어 버전을 언급했다.^[27] 카르탕 버전에는 슈투디의 이원수, 클리퍼드의 이중 사원수 (쌍곡기하학을 위한 ${\displaystyle \omega ={\sqrt {-1}}}$ 선택 포함), 클리퍼드 대수에 대한 설명과 스테파노스 (1883), 부흐하임 (1884–85), 발렌 (1901–02) 등의 참고 자료가 포함되어 있다.

뇌터를 인용하여 클라인 자신은 1910년 8월에 로런츠 변환 군을 형성하는 다음 사원수 치환을 발표했다.^{[R 57]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}&\left(i_{1}x'+i_{2}y'+i_{3}z'+ict'\right)\\&\quad -\left(i_{1}x_{0}+i_{2}y_{0}+i_{3}z_{0}+ict_{0}\right)\end{aligned}}={\frac {\left[{\begin{aligned}&\left(i_{1}(A+iA')+i_{2}(B+iB')+i_{3}(C+iC')+i_{4}(D+iD')\right)\\&\quad \cdot \left(i_{1}x+i_{2}y+i_{3}z+ict\right)\\&\quad \quad \cdot \left(i_{1}(A-iA')+i_{2}(B-iB')+i_{3}(C-iC')-(D-iD')\right)\end{aligned}}\right]}{\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)-\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}\right)}}\\\hline {\text{where}}\\AA'+BB'+CC'+DD'=0\\A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}>A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\end{matrix}}}$

또는 1911년 3월에^{[R 58]}

${\displaystyle {\begin{matrix}g'={\frac {pg\pi }{M}}\\\hline {\begin{aligned}g&={\sqrt {-1}}ct+ix+jy+kz\\g'&={\sqrt {-1}}ct'+ix'+jy'+kz'\\p&=(D+{\sqrt {-1}}D')+i(A+{\sqrt {-1}}A')+j(B+{\sqrt {-1}}B')+k(C+{\sqrt {-1}}C')\\\pi &=(D-{\sqrt {-1}}D')-i(A-{\sqrt {-1}}A')-j(B-{\sqrt {-1}}B')-k(C-{\sqrt {-1}}C')\\M&=\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}\right)-\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)\\&AA'+BB'+CC'+DD'=0\\&A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}>A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

아서 W. 콘웨이 (1911년), 루드비히 질버슈타인 (1911년): 사원수

아서 W. 콘웨이는 1911년 2월에 속도 λ에 대한 다양한 전자기량의 사원수 로런츠 변환을 명시적으로 공식화했다.^{[R 59]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}{\mathtt {D}}&=\mathbf {a} ^{-1}{\mathtt {D}}'\mathbf {a} ^{-1}\\{\mathtt {\sigma }}&=\mathbf {a} {\mathtt {\sigma }}'\mathbf {a} ^{-1}\end{aligned}}\\e=\mathbf {a} ^{-1}e'\mathbf {a} ^{-1}\\\hline a=\left(1-hc^{-1}\lambda \right)^{\frac {1}{2}}\left(1+c^{-2}\lambda ^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\end{matrix}}}$

또한 루드비히 질버슈타인은 1911년 11월^{[R 60]}과 1914년^[28]에 속도 v에 대한 로런츠 변환을 공식화했다.

${\displaystyle {\begin{matrix}q'=QqQ\\\hline {\begin{aligned}q&=\mathbf {r} +l=xi+yj+zk+\iota ct\\q&'=\mathbf {r} '+l'=x'i+y'j+z'k+\iota ct'\\Q&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\sqrt {1+\gamma }}+\mathrm {u} {\sqrt {1-\gamma }}\right)\\&=\cos \alpha +\mathrm {u} \sin \alpha =e^{\alpha \mathrm {u} }\\&\left\{\gamma =\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1/2},\ 2\alpha =\operatorname {arctg} \ \left(\iota {\frac {v}{c}}\right)\right\}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

질버슈타인은 케일리 (1854, 1855)와 슈투디의 백과사전 항목 (1908년 카르탕의 확장된 프랑스어 버전), 그리고 클라인과 조머펠트 책의 부록을 인용한다.

블라디미르 이그나톱스키 (1910/11년), 구스타프 헤르글로츠 (1911년) 등: 벡터 변환

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블라디미르 이그나톱스키 (1910, 1911년 출판)는 임의의 속도와 좌표를 허용하도록 로런츠 변환을 재구성하는 방법을 보였다.^{[R 61]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}{\mathfrak {v}}={\frac {{\mathfrak {v}}'+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'+pq{\mathfrak {c}}_{0}}{p\left(1+nq{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'\right)}}&\left|{\begin{aligned}{\mathfrak {A}}'&={\mathfrak {A}}+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}-pqb{\mathfrak {c}}_{0}\\b'&=pb-pqn{\mathfrak {A}}{\mathfrak {c}}_{0}\\\\{\mathfrak {A}}&={\mathfrak {A}}'+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}'+pqb'{\mathfrak {c}}_{0}\\b&=pb'+pqn{\mathfrak {A}}'{\mathfrak {c}}_{0}\end{aligned}}\right.\end{matrix}}\\\left[{\mathfrak {v}}=\mathbf {u} ,\ {\mathfrak {A}}=\mathbf {x} ,\ b=t,\ {\mathfrak {c}}_{0}={\frac {\mathbf {v} }{v}},\ p=\gamma ,\ n={\frac {1}{c^{2}}}\right]\end{matrix}}}$

구스타프 헤르글로츠 (1911)^{[R 62]} 또한 임의의 속도 v=(v_x, v_y, v_z) 및 좌표 r=(x, y, z)를 허용하도록 변환을 공식화하는 방법을 보였다.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{0}&=x+\alpha u(ux+vy+wz)-\beta ut\\y^{0}&=y+\alpha v(ux+vy+wz)-\beta vt\\z^{0}&=z+\alpha w(ux+vy+wz)-\beta wt\\t^{0}&=-\beta (ux+vy+wz)+\beta t\\&\alpha ={\frac {1}{{\sqrt {1-s^{2}}}\left(1+{\sqrt {1-s^{2}}}\right)}},\ \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-s^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x'&=x+\alpha v_{x}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{x}t\\y'&=y+\alpha v_{y}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{y}t\\z'&=z+\alpha v_{z}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{z}t\\t'&=-\gamma \left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)+\gamma t\\&\alpha ={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}},\ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

이것은 루드비히 질버슈타인 (1911년 왼쪽, 1914년 오른쪽)에 의해 벡터 표기법을 사용하여 단순화되었다.^{[R 63]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {ru} )\mathbf {u} +i\beta \gamma lu\\l'&=\gamma \left[l-i\beta (\mathbf {ru} )\right]\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {vr} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \\t'&=\gamma \left[t-{\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {vr} )\right]\end{aligned}}\end{array}}}$

동등한 공식은 볼프강 파울리 (1921)에 의해서도 주어졌으며,^[29] 에르빈 마델룽 (1922)은 행렬 형태를 제공했다.^[30]

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c|c}&x&y&z&t\\\hline x'&1-{\frac {v_{x}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{x}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\y'&-{\frac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&1-{\frac {v_{y}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{y}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\z'&-{\frac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&1-{\frac {v_{z}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{z}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\t'&{\frac {-v_{x}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {-v_{y}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {-v_{z}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\end{array}}}$

이 공식들은 크리스티안 묄러 (1952)에 의해 "회전 없는 일반 로런츠 변환"이라고 불렸으며,^[31] 그는 추가적으로 카르테시안 축이 다른 방향을 가진 훨씬 더 일반적인 로런츠 변환을 3차원 회전 연산자 ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$를 사용하여 제시했다. 이 경우 v′=(v′_x, v′_y, v′_z)는 -v=(-v_x, -v_y, -v_z)와 같지 않지만, 대신 ${\displaystyle \mathbf {v} '=-{\mathfrak {D}}\mathbf {v} }$ 관계가 성립하며 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{aligned}\mathbf {x} '&={\mathfrak {D}}^{-1}\mathbf {x} -\mathbf {v} '\left\{\left(\gamma -1\right)(\mathbf {x\cdot v} )/v^{2}-\gamma t\right\}\\t'&=\gamma \left(t-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {x} )/c^{2}\right)\end{aligned}}\end{array}}}$

에밀 보렐 (1913~14년): 케일리–에르미트 매개변수

에밀 보렐 (1913)은 3차원 유클리드 운동을 오일러-로드리게스 매개변수로, 4차원 유클리드 운동을 케일리(1846) 매개변수로 시연하는 것으로 시작했다. 그런 다음 쌍곡 운동과 로런츠 변환을 표현하는 부정 이차 형식과의 연결을 시연했다. 3차원에서는 다음과 같다.^{[R 64]}

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0\\\hline {\scriptstyle {\begin{aligned}\delta a&=\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}-\rho ^{2},&\delta b&=2(\lambda \mu +\nu \rho ),&\delta c&=-2(\lambda \nu +\mu \rho ),\\\delta a'&=2(\lambda \mu -\nu \rho ),&\delta b'&=-\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}-\rho ^{2},&\delta c'&=2(\lambda \rho -\mu \nu ),\\\delta a&=2(\lambda \nu -\mu \rho ),&\delta b&=2(\lambda \rho +\mu \nu ),&\delta c''&=-\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}+\rho ^{2}\right),\end{aligned}}}\\\left(\delta =\lambda ^{2}+\mu ^{2}-\rho ^{2}-\nu ^{2}\right)\\\lambda =\nu =0\rightarrow {\text{Hyperbolic rotation}}\end{matrix}}}$

4차원에서는 다음과 같다.^{[R 65]}

${\displaystyle {\begin{matrix}F=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}-\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}\\\hline {\scriptstyle {\begin{aligned}&\left(\mu ^{2}+\nu ^{2}-\alpha ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\lambda ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }&&-(\alpha \beta +\lambda \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\nu \sin \varphi -\gamma \operatorname {sh} {\theta }\\&-(\alpha \beta +\lambda \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\nu \sin \varphi +\gamma \operatorname {sh} {\theta }&&\left(\mu ^{2}+\nu ^{2}-\beta ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\mu ^{2}-\alpha ^{2}-\gamma ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }\\&-(\alpha \gamma +\lambda \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\mu \sin \varphi -\beta \operatorname {sh} {\theta }&&-(\beta \mu +\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\lambda \sin \varphi +\alpha \operatorname {sh} {\theta }\\&(\gamma \mu -\beta \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\alpha \sin \varphi -\lambda \operatorname {sh} {\theta }&&-(\alpha \nu -\lambda \gamma )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\beta \sin \varphi -\mu \operatorname {sh} {\theta }\\\\&\quad -(\alpha \gamma +\lambda \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\mu \sin \varphi +\beta \operatorname {sh} {\theta }&&\quad (\beta \nu -\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\alpha \sin \varphi -\lambda \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad -(\beta \mu +\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\lambda \sin \varphi -\alpha \operatorname {sh} {\theta }&&\quad (\lambda \gamma -\alpha \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\beta \sin \varphi -\mu \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad \left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}-\gamma ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\nu ^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }&&\quad (\alpha \mu -\beta \lambda )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\gamma \sin \varphi -\nu \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad (\beta \gamma -\alpha \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\gamma \sin \varphi -\nu \operatorname {sh} {\theta }&&\quad -\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }\end{aligned}}}\\\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\lambda ^{2}-\mu ^{2}-\nu ^{2}=-1\right)\end{matrix}}}$

폴 그루너 (1921년): 삼각 로런츠 부스트

민코프스키 공간의 그래픽 표현을 단순화하기 위해 폴 그루너 (1921)는 (요제프 자우터의 도움을 받아) 오늘날 뢰델 다이어그램이라고 불리는 것을 다음 관계를 사용하여 개발했다.^{[R 66]}

${\displaystyle {\begin{matrix}v=\alpha \cdot c;\quad \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}}\\\sin \varphi =\alpha$ ;\quad \beta ={\frac {1}{\cos \varphi }};\quad \alpha \beta =\tan \varphi \\\hline x'={\frac {x}{\cos \varphi }}-t\cdot \tan \varphi ,\quad t'={\frac {t}{\cos \varphi }}-x\cdot \tan \varphi \end{matrix}}}

다른 논문에서 그루너는 대체 관계를 사용했다.^{[R 67]}

${\displaystyle {\begin{matrix}\alpha ={\frac {v}{c}};\ \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}};\\\cos \theta =\alpha ={\frac {v}{c}};\ \sin \theta ={\frac {1}{\beta }};\ \cot \theta =\alpha \cdot \beta \\\hline x'={\frac {x}{\sin \theta }}-t\cdot \cot \theta ,\quad t'={\frac {t}{\sin \theta }}-x\cdot \cot \theta \end{matrix}}}$

같이 보기

• 로런츠 변환 유도
• 특수 상대성이론의 역사