메르센 소수

메르센 수(Mersenne number)는 2의 거듭제곱에서 1이 모자란 숫자를 가리킨다. 지수 ${\displaystyle n}$에 대한 메르센 수는 ${\displaystyle M_{n}=2^{n}-1}$로 나타내고 목록은 아래와 같다.

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767... (OEIS의 수열 A000225)

메르센 소수(Mersenne prime)는 메르센 수 중에서 소수인 수이다. 예를 들면 3과 7은 둘 다 소수이고 ${\displaystyle 3=2^{2}-1,{\mbox{ }}7=2^{3}-1}$이므로 3과 7은 둘 다 메르센 소수이다. 반대로 ${\displaystyle 15=2^{4}-1}$은 합성수이다. 현대에 알려진 매우 큰 소수들 중에는 메르센 소수가 상당히 많다.

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951... (OEIS의 수열 A000668)

메르센 소수가 무한히 많이 존재하는지 아니면 그 개수가 정해져 있는지는 아직 알려져 있지 않다. 즉 이 말은 메르센 소수가 유한한지 무한한지에 대한 여부가 알려져있지 않았다는 것인데, n이 소수라고 해서 항상 해당 메르센 수가 소수가 되지는 않기 때문이다. 예를 들어 n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 일 땐 소수가 된다. 그러나 11은 소수긴 하나 n=11일 땐 2의 11제곱에서 1을 뺀 수인 2047은 23×89로 소인수분해 가능하다. 비슷한 이유로 23도 소수이나 n=23일 땐 2의 23제곱에서 1을 뺀 수인 8388607도 47×178481로 소인수분해 할 수 있기 때문이다. 마찬가지로 n=29일 때, 37일 때, 41일 때, 그리고 43, 47일 때 등등도 2의 거듭제곱 횟수는 소수이지만, 해당 메르센 수가 소수가 아닌 경우는 무수히 많다.

메르센 수의 속성

메르센 수는 다음의 몇 가지 속성을 지닌다. :

• ${\displaystyle M}$_{${\displaystyle n}$}은 이항계수의 합에서 1을 뺀 값이다.

${\displaystyle M_{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}-1}$

• 메르센 수의 지수가 홀수소수${\displaystyle =p}$ 이면 소인수의 형태는 다음과 같음을 페르마가 증명하였다.

${\displaystyle '2pk+1'}$ (${\displaystyle k}$는 음이 아닌 정수)

이것은 메르센 수가 소수, 즉 메르센 소수일때도 성립한다.

또한 n이 홀수 소수인 메르센 수들의 약수들은 모두 ${\displaystyle 8k\pm 1}$ 꼴이다.

메르센 소수에 관한 정리

• 1) 만일 ${\displaystyle n}$이 하나의 양의 정수이면, 이항정리에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다:

${\displaystyle c^{n}-d^{n}=(c-d)\sum _{k=0}^{n-1}c^{k}d^{n-1-k},}$

또는

${\displaystyle (2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\cdots +2^{(b-1)a}\right)=2^{ab}-1}$

이다(${\displaystyle c}$ = ${\displaystyle 2}$^{${\displaystyle a}$}, ${\displaystyle d}$ = ${\displaystyle 1}$로, ${\displaystyle n}$ = ${\displaystyle b}$로 놓았을 때).

증명

${\displaystyle (a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-k}}$

${\displaystyle =a^{n}+\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-b^{n}}$

${\displaystyle =a^{n}-b^{n}}$

역사

1644년 마랭 메르센은 ${\displaystyle 2^{n}-1}$ 형태가 소수가 되는 것은, ${\displaystyle n\leq 257}$ 일 때 ${\displaystyle n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257}$ 뿐이라고 발표하였다. 그러나 그 주장의 일부는 잘못임이 밝혀졌다. 목록에 포함되지 않은 ${\displaystyle M_{61}}$, ${\displaystyle M_{89}}$, ${\displaystyle M_{107}}$는 소수이며, 목록에 포함되어 있는 ${\displaystyle M_{67}}$, ${\displaystyle M_{257}}$는 합성수이다.

리젤 수의 발견자이기도 한 스웨덴의 수학자인 한스 리젤이 1956년에 컴퓨터를 이용하여 18번째의 메르센 소수를 발견한 이래, 이후 컴퓨터를 활용하여 새로운 메르센 소수를 찾고 있다.

메르센 소수 찾기

${\displaystyle n=ab;}$ 다음 등식은 ${\displaystyle M_{n}}$이 메르센 소수가 되기 위해서는 ${\displaystyle n}$ 자신이 소수여야 한다는 것을 알려준다.

${\displaystyle (2^{a}-1)(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\cdots +2^{(b-1)a})=2^{ab}-1}$

따라서, 메르센 소수를 찾기 위해서는 지수가 소수인 경우만 조사하면 되지만, 일반적으로 그 역은 참이 아니다. 즉 ${\displaystyle n}$이 소수라고 하여 ${\displaystyle M_{n}}$ 또한 소수인 것은 아니다. 예를 들어, 11은 소수지만 ${\displaystyle 2047=2^{11}-1=23\cdot 89}$로 소인수분해된다.

메르센 소수 목록

수학의 미해결 문제 메르센 소수는 무한한가? (더 많은 수학의 미해결 문제 보기)

지금까지 발견한 메르센 소수 표 (OEIS의 수열 A000668):

#	${\displaystyle n}$	${\displaystyle M_{n}}$	${\displaystyle M_{n}}$의 자리수	발견일	${\displaystyle n}$번째 확정일	발견자
1	1	1	1	기원전 732년	-	고대 그리스 수학자
2	2	3	1	기원전 730년	-	고대 그리스 수학자
3	3	7	1	기원전 729년	-	고대 그리스 수학자
4	5	31	2	기원전 276년	-	고대 그리스 수학자
5	7	127	3	기원전 273년	-	고대 그리스 수학자
6	13	8191	4	1459년	1460년	익명
7	17	131071	6	1606년	1606년	피에트로 카탈디
8	19	524287	6	1606년	-	피에트로 카탈디
9	31	2147483647	10	1772년	1775년	레온하르트 오일러
10	61	2305843009213693951	19	1883년	1887년	이반 미흐비치 페르부쉰
11	89	61897001 9642690137449562111	27	1911년	1918년	R. E. Powers
12	107	16225927682921 3363391578010288127	33	1914년	1922년	R. E. Powers
13	127	17014118346046923173 1687303715884105727	39	1877년	1923년	에두아르 뤼카
14	521	6864797660130609714 9819007990813932172 6943530014330540939 4463459185543183397 6560521225596406614 5455497729631139148 0858037121987999716 6438125740282911150 57151	157	1952년 1월 30일	1956년 6월 17일	라파헬 로빈슨
15	607	531137992…031728127	183	1952년 1월 30일	1956년 7월 4일	라파헬 로빈슨
16	1,279	104079321…168729087	386	1952년 6월 25일	1956년 12월 13일	라파헬 로빈슨
17	2,203	147597991…697771007	664	1952년 10월 7일	1957년 3월 12일	라파헬 로빈슨
18	2,281	446087557…132836351	687	1952년 10월 8일	1957년 3월 14일	라파헬 로빈슨
19	3,217	259117086…909315071	969	1956년 9월 1일	1961년 10월 5일	한스 리젤
20	4,253	190797007…350484991	1,281	1961년 11월 3일	1965년 4월 13일	알렉산더 허비츠
21	4,423	285542542…608580607	1,332	1961년 11월 3일	1965년 4월 13일	알렉산더 허비츠
22	9,689	478220278…225754111	2,917	1963년 5월 11일	1967년 11월 20일	도널드 길리스
23	9,941	346088282…789463551	2,993	1963년 5월 16일	1967년 11월 21일	도널드 길리스
24	11,213	281411201…696392191	3,376	1963년 6월 2일	1968년 1월 12일	도널드 길리스
25	19,937	431542479…968041471	6,002	1971년 3월 4일	1978년 9월 19일	브리언트 터커맨
26	21,701	448679166…511882751	6,533	1978년 10월 30일	1986년 5월 13일	랜돈 커트 놀과 로라 니켈
27	23,209	402874115…779264511	6,987	1979년 2월 9일	1986년 10월 3일	랜돈 커트 놀
28	44,497	854509824…011228671	13,395	1979년 4월 8일	1987년 1월 2일	해리 넬슨과 데이빗 슬로빈스키
29	86,243	536927995…433438207	25,962	1982년 9월 25일	1990년 7월 20일	데이빗 슬로빈스키
30	110,503	521928313…465515007	33,265	1988년 1월 28일	1997년 5월 15일	월크 콜킷과 루크 웰시
31	132,049	512740276…730061311	39,751	1983년 9월 19일[1]	1997년 12월 3일	데이빗 슬로빈스키
32	216,091	746093103…815528447	65,050	1984년 9월 10일[1]	1999년 3월 23일	데이빗 슬로빈스키
33	756,839	174135906…544677887	227,832	1992년 2월 19일	2001년 10월 21일	데이빗 슬로빈스키와 폴 게이지
34	859,433	129498125…500142591	258,716	1994년 1월 4일	2002년 11월 16일	데이빗 슬로빈스키와 폴 게이지
35	1,257,787	412245773…089366527	378,632	1996년 9월 3일	2003년 10월 24일	데이빗 슬로빈스키와 폴 게이지
36	1,398,269	814717564…451315711	420,921	1996년 11월 13일	2003년 12월 9일	GIMPS / 조엘 아르멩고 [깨진 링크(과거 내용 찾기)]
37	2,976,221	623340076…729201151	895,932	1997년 8월 24일	2004년 11월 25일	GIMPS / 고든 스펜스 [깨진 링크(과거 내용 찾기)]
38	3,021,377	127411683…024694271	909,526	1998년 1월 27일	2005년 4월 13일	GIMPS / 롤랜드 클락슨 [깨진 링크(과거 내용 찾기)]
39	6,972,593	437075744…924193791	2,098,960	1999년 6월 11일	2006년 11월 4일	GIMPS / 난야 하이라트왈라
40	13,466,917	924947738…256259071	4,053,946	2001년 11월 14일	2007년 9월 14일	GIMPS / 마이클 카메론
41	20,996,011	125976895…855682047	6,320,430	2003년 11월 17일	2009년 7월 13일	GIMPS / 마이클 셰이퍼
42	24,036,583	299410429…733969407	7,235,733	2004년 5월 15일	2010년 3월 25일	GIMPS / 조지 핀들리
43	25,964,951	122164630…577077247	7,816,230	2005년 2월 18일	2011년 1월 10일	GIMPS / 마르틴 노바크
44	30,402,457	315416475…652943871	9,152,052	2005년 12월 15일	2011년 10월 30일	GIMPS / 커티스 쿠퍼와 스티븐 분
45	32,582,657	124575026…053967871	9,808,358	2006년 9월 4일	2012년 6월 13일	GIMPS / 커티스 쿠퍼와 스티븐 분
46	37,156,667	202254406…308220927	11,185,272	2007년 9월 7일	2013년 7월 24일	GIMPS / Hans-Michael Elvenich
47	42,643,801	169873516…562314751	12,837,064	2009년 6월 3일**	2016년 4월 11일	GIMPS / Odd Magnar Strindmo
48	43,112,609	316470269…697152511	12,978,189	2008년 8월 23일	2017년 7월 16일	GIMPS / Edson Smith
49	57,885,161	581887266…724285951	17,425,170	2013년 1월 25일	2020년 3월 19일	GIMPS / Curtis Cooper
50	74,207,281	300376418…086436351	22,338,618	2016년 1월 7일***	2025년 7월 4일	GIMPS / Curtis Cooper
51*	77,232,917	467333183…762179071	23,249,425	2017년 12월 26일	확정 되지 않음.	GIMPS / Jon Pace
52*	82,589,933	110847779…217902591	24,862,048	2018년 12월 7일	확정 되지 않음.	GIMPS / Patrick Laroche
53*	136,279,841	881694327…486871551	41,024,320	2024년 10월 12일	확정 되지 않음.	GIMPS / Luke Durant
54*	?	?	?	?	확정 되지 않음.	?

45번째 알려진 메르센 소수를 시각적으로 보여 주기 위해서는 1페이지 당, 10진수 75개 자리수의 숫자를 50줄씩 쓴 2,616페이지가 필요하다.

^*표의 49번째 수인 ${\displaystyle M_{57,885,161}}$과 50번째 수인 ${\displaystyle M_{74,207,281}}$ 사이에 아직 발견되지 않은 다른 메르센 소수가 있는지 2025년 6월 25일에 알려졌다. 없었다. 하지만 중간에 알려지지 않은 메르센 소수가 있을 수 있다. 따라서 이 번호들은 바뀔 수도 있다. 소수가 작은 소수부터 순차적으로 발견되는 것은 아니다. 예를 들어, 30번째 메르센 소수는 31번째와 32번째 소수의 발견 이후에 발견되었다.

^**M_42,643,801는 2009년 4월 12일 컴퓨터에 의해 처음 발견되었다. 그러나 6월 3일까지 이 사실을 인지한 사람은 아무도 없었다. 그래서, 발견일을 4월 12일 또는 6월 3일로 간주한다. 발견자 스트린드모(Strindmo)는 alias Stig M. Valstad를 사용한 것으로 보인다.

^***M_74,207,281는 2015년 9월 17일 컴퓨터에 의해 처음 발견되었다. 그러나 2016년 1월 7일까지 이 사실을 인지한 사람은 아무도 없었다. 그래서, 발견일을 2015년 9월 17일 또는 2016년 1월 7일로 간주한다.

완전수

 이 부분의 본문은 완전수입니다.

메르센 소수는 완전수와 여러 관련성이 있어 흥미롭다. 기원전 4세기에 유클리드는 ${\displaystyle M_{n}}$이 메르센 소수이면 다음과 같이 짝수 완전수임을 보였다.

${\displaystyle 2^{n-1}\cdot (2^{n}-1)={\frac {M_{n}(M_{n}+1)}{2}}}$

18세기에 오일러는 모든 짝수 완전수는 이와 같은 형태를 갖는다는 것을 증명했다. 홀수 완전수는 존재하지 않는다. 왜냐하면 완전수로 홀수를 만드려면 무조건 4로 나누었을때 나머지가 무조건 1이나 2여야 한다. 하지만 모든 2의 제곱은 4로 나누어떨어지고 그렇게 되면 4-1=3 나머지가 3이 되기 때문에 홀수 완전수는 존재하지 않는다.

일반화

${\displaystyle 2^{n}-1}$의 2진법 표현은 숫자 1이 ${\displaystyle n}$번 반복된다. 예를 들면, 2⁵ - 1 = 11111₂와 같이 표기된다. 그러므로 메르센 소수는 2를 밑으로 하는 단위 반복 소수이다.

같이 보기

• 페르마 소수
• 하노이의 탑 - n개의 원반을 모두 이동하기 위해서는 최소한 메르센 수(2ⁿ−1) 만큼 이동해야 한다.