밀너 환

대수적 K이론에서 밀너 환(Milnor環, 영어: Milnor ring)은 각 등급 성분이 대수적 K군으로 가는 자연스러운 군 준동형을 갖는 등급환이다. 그 0~2등급 성분은 대수적 K군과 동형이지만, 이는 고차 등급 성분에서 성립하지 않는다.

정의

체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n}$차 밀너 환 ${\displaystyle \operatorname {K} ^{\operatorname {M} }(K)}$은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {K} ^{\operatorname {M} }(K)={\frac {\operatorname {T} (K^{\times };\mathbb {Z} )}{(a\otimes _{\mathbb {Z} }(1-a))_{a\in K\setminus \{0,1\}}}}}$

여기서

• ${\displaystyle K^{\times }=K\setminus \{0\}}$는 ${\displaystyle K}$의 가역원군이다.
• ${\displaystyle \textstyle \operatorname {T} (K^{\times };\mathbb {Z} )=\bigoplus _{n=0}^{\infty }(K^{\times })^{\otimes _{\mathbb {Z} }n}}$는 정수 계수 ${\displaystyle n}$차 텐서 대수이다.
• ${\displaystyle (a\otimes _{\mathbb {Z} }(1-a))_{a\in K\setminus \{0,1\}}}$는 ${\displaystyle \{a\otimes _{\mathbb {Z} }(1-a)\colon a\in K\setminus \{0,1\}\}}$으로부터 생성되는 ${\displaystyle \operatorname {T} (K^{\times };\mathbb {Z} )}$의 양쪽 아이디얼이다.

이는 자연수 계수 등급환을 이룬다. 자연수 ${\displaystyle n}$에 대하여, 밀너 환의 등급 ${\displaystyle n}$ 성분을 ${\displaystyle n}$차 밀너 K군(${\displaystyle n}$次Milnor K群, 영어: ${\displaystyle n}$th Milnor K-group) ${\displaystyle \operatorname {K} _{n}^{\operatorname {M} }(K)}$이라고 한다.

밀너 환의 ${\displaystyle n}$등급 원소는 보통

${\displaystyle \{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\in \operatorname {K} _{n}^{\operatorname {M} }(K)\qquad a_{1},\dots ,a_{n}\in K^{\times }}$

로 표기하며, ${\displaystyle n}$차 기호(記號, 영어: symbol)라고 하기도 한다. (이는 힐베르트 기호 등과 비유한 것이다. 힐베르트 기호는 밀너 환과 유사한 ${\displaystyle (a,1-a)=1}$이라는 항등식을 만족시킨다. 여기서 우변이 0 대신 1인 것은 군 연산을 덧셈 대신 곱셈으로 표기하기 때문이다.)

성질

밀너 환은 등급 가환 등급환이다.

밀너 K군에서 (퀼런) 대수적 K군으로 가는 자연스러운 군 준동형이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {K} _{n}^{\operatorname {M} }(K)\to \operatorname {K} _{n}(K)\;\forall n\in \mathbb {N} }$

이는 ${\displaystyle n\leq 2}$에 대하여 동형 사상이지만, ${\displaystyle n\geq 3}$일 때는 일반적으로 동형 사상이 아니다.

블록-가토 추측

임의의 체 ${\displaystyle K}$ 및 ${\displaystyle K}$의 표수의 배수가 아닌 정수 ${\displaystyle l\in \mathbb {Z} \setminus (\operatorname {char} K)\mathbb {Z} }$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle \mu _{l}}$이 1의 ${\displaystyle l}$거듭제곱근으로 구성된, ${\displaystyle K}$의 주어진 분해 가능 폐포 ${\displaystyle K^{\operatorname {sep} }}$에 대한 절대 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K)}$의 가군이라고 하자.

블록-가토 추측(Bloch-[加藤]推測, 영어: Bloch–Kato conjecture)에 따르면, 다음과 같은 군의 동형이 존재한다.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {K} _{n}^{\operatorname {M} }(K)}{l\operatorname {K} _{n}^{\operatorname {M} }(K)}}\to \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{n}(K;\mu _{l}^{\otimes n})=\operatorname {H} ^{n}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\mu _{l}^{\otimes n})}$

여기서 좌변은 ${\displaystyle l}$차 꼬임 군이 되는 몫군이며, 우변은 절대 갈루아 군의 군 코호몰로지(=에탈 코호몰로지)이다. 이 동형 사상을 갈루아 기호(Galois記號, 영어: Galois symbol)라고 한다.

블록-가토 추측은 스펜서 재니 블록(영어: Spencer Janney Bloch)과 가토 가즈야가 제시하였고, 블라디미르 보예보츠키가 2008년에 모티브 코호몰로지를 사용하여 증명하였다.^[1]

이차 형식과의 관계

${\displaystyle K}$가 표수가 2가 아닌 체라고 하자. 그 비트 환 ${\displaystyle \operatorname {W} (K)}$의 기본 아이디얼(영어: fundamental ideal) ${\displaystyle {\mathfrak {i}}(K)\subseteq \operatorname {W} (K)}$은 다음과 같은 군 준동형의 핵이다.

${\displaystyle \operatorname {W} (K)\to \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle [(V,Q)]\mapsto \dim _{K}V{\bmod {2}}}$

즉, 기본 아이디얼은 짝수 차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식들의 비트 동치류들로 구성된 아이디얼이다. 그렇다면, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {K} _{n}^{\operatorname {M} }(K)}{2\operatorname {K} _{n}^{\operatorname {M} }(K)}}\to {\frac {{\mathfrak {i}}(K)^{n}}{{\mathfrak {i}}(K)^{n+1}}}}$

${\displaystyle \{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\mapsto \operatorname {diag} (1,-a_{1})\otimes \operatorname {diag} (1,-a_{2})\otimes \cdots \otimes \operatorname {diag} (1,-a_{n})}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {diag} (a,b)}$는 대각화된 2차원 이차 형식을 뜻하며, 우변의 ${\displaystyle \otimes }$는 이차 형식의 텐서곱이다. (우변과 같은 꼴의 이차 형식을 피스터 형식(Pfister形式, 영어: Pfister form)이라고 하며, 이는 알브레히트 피스터(독일어: Albrecht Pfister)가 1965년에 도입하였다.^[2])

밀너 추측(Milnor推測, 영어: Milnor conjecture)에 따르면, 이는 항상 아벨 군의 동형 사상을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며, 2007년에 드미트리 오를로프(러시아어: Дми́трий Орло́в) · 알렉산드르 비시크(러시아어: Алекса́ндр Вишик) · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.^[3]

예

임의의 체 ${\displaystyle K}$에 대하여,

${\displaystyle \operatorname {K} _{0}^{\operatorname {M} }(K)\cong \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {K} _{1}^{\operatorname {M} }(K)\cong K^{\times }}$

이다.

유한체의 경우

${\displaystyle \operatorname {K} _{n}^{\operatorname {M} }(\mathbb {F} _{q})=0\qquad \forall n\geq 2}$

이다.

${\displaystyle \operatorname {K} _{2}^{\operatorname {M} }(\mathbb {C} )}$는 비가산 집합이며, 유리수체 위의 벡터 공간이다.

유리수체의 2차 K군은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {K} _{2}^{\operatorname {M} }(\mathbb {Q} )=\operatorname {Cyc} (2)\oplus \bigoplus _{p=3,5,7,11,\dots }\mathbb {F} _{p}^{\times }}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)}$은 ${\displaystyle n}$차 순환군을 뜻한다.

역사

존 밀너가 1970년에 도입하였다.^[4] 이는 역사적으로 2차 대수적 K군의 최초의 올바른 구성이였다. 밀너는 마찬가지로 고차 밀너 K군을 정의하였는데, 이는 사실 고차 대수적 K군과 다르다는 것이 훗날 밝혀졌다. 그러나 고차 밀너 K군은 대수적 K군보다 더 다루기 편하며, 또 그 자체로 여러 흥미로운 성질(블록-가토 추측 등)을 가진다는 것이 밝혀졌다.

같이 보기

• 아즈마야 대수