아즈마야 대수

환론과 대수적 수론과 대수기하학에서 아즈마야 대수([東屋]代數, 영어: Azumaya algebra)는 가환환 또는 스킴 위의 단위 결합 대수 가운데, 자리스키 위상에서 각 줄기가 유한 차원 자유 가군이며, 줄기의 포락 대수가 행렬환과 동형인 것이다. 대수기하학적으로, 아즈마야 대수는 올이 사영 공간인 올다발에 해당한다.

아즈마야 대수들의 동치류는 브라우어 군(Brauer群, 영어: Brauer group)이라는 군을 정의한다. 이는 벡터 다발의 동치류들이 K군을 정의하는 것과 마찬가지다.

정의

가환 국소환 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$ 위의 아즈마야 대수 ${\displaystyle \phi \colon R\to A}$는 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle R}$-단위 결합 대수이다.^{[1]:136, §IV.1}

• ${\displaystyle R}$-가군으로서 양의 유한 차원 자유 가군 ${\displaystyle R^{n}}$과 동형이다.
• ${\displaystyle a\otimes _{R}b\mapsto (x\mapsto axb)}$에 의하여, ${\displaystyle A\otimes _{R}A^{\operatorname {op} }\cong \operatorname {Mat} (n;R)=\operatorname {End} (_{R}A)}$이다.

여기서 ${\displaystyle A\otimes _{R}A^{\operatorname {op} }=A^{\operatorname {e} }}$는 ${\displaystyle A}$의 포락 대수(영어: enveloping algebra)이다.

스킴 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위의 아즈마야 대수 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$는 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-단위 결합 대수 층이다.^{[1]:140, §IV.2}

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-가군층으로서 연접층이며, 각 닫힌 점 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 줄기 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{x}}$는 가환 국소환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ 위의 아즈마야 대수이다.

브라우어 군

스킴 ${\displaystyle S}$ 위의 두 아즈마야 대수 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}'}$에 대하여, 텐서곱 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {A}}'}$ 역시 ${\displaystyle S}$ 위의 아즈마야 대수를 이룬다. 따라서, ${\displaystyle S}$ 위의 아즈마야 대수들은 텐서곱에 대하여 모노이드를 이룬다.

스킴 ${\displaystyle S}$ 위의 두 아즈마야 대수 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}'}$에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-국소 자유 가군층 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ 및 ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$이 존재한다면, 서로 브라우어 동치(영어: Brauer-equivalent)라고 한다.^{[1]:§2, 141}

${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\underline {\operatorname {End} }}(_{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {E}})\cong {\mathcal {A}}'\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\underline {\operatorname {End} }}(_{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {E}}')}$

이는 ${\displaystyle S}$-아즈마야 대수의 동치 관계를 이룬다. 브라우어 동치 관계는 텐서곱은 보존하며, 따라서 ${\displaystyle S}$-아즈마야 대수의 브라우어 동치류들은 모노이드를 이룬다. 이 모노이드는 사실 군을 이루며, 이를 ${\displaystyle S}$의 브라우어 군(영어: Brauer group) ${\displaystyle \operatorname {Br} (S)}$라고 한다. 브라우어 군에서, 아즈마야 대수의 동치류 ${\displaystyle [{\mathcal {A}}]}$의 역원은 그 반대 대수층의 동치류 ${\displaystyle [{\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }]}$이다.

성질

체 위의 아즈마야 대수

체 ${\displaystyle K}$ 위의 단위 결합 대수 ${\displaystyle f\colon K\to A}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle A}$는 ${\displaystyle K}$ 위의 아즈마야 대수이다.
• ${\displaystyle f}$는 단사 함수이며, ${\displaystyle \operatorname {Z} (A)=K}$이며, ${\displaystyle \dim _{K}A}$는 유한하다.
• ${\displaystyle A}$는 양의 정수 차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간이며, 다음 조건을 만족시키는 유한 차수 분해 가능 확대 ${\displaystyle L/K}$ 및 양의 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$이 존재한다.
  • ${\displaystyle A\otimes _{K}L\cong \operatorname {Mat} (n;K)}$

이와 같이, 체 위의 아즈마야 대수를 중심 단순 대수(中心單純代數, 영어: central simple algebra)라고 한다.

가환환 위의 아즈마야 대수

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 단위 결합 대수 ${\displaystyle A}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle A}$는 ${\displaystyle R}$ 위의 아즈마야 대수이다.
• ${\displaystyle _{R}A}$는 충실한 가군이며, 사영 가군이며, ${\displaystyle A\otimes _{R}A^{\operatorname {op} }\to \operatorname {End} (_{R}A)}$는 ${\displaystyle R}$-단위 결합 대수의 동형 사상이다.^[2]
• ${\displaystyle _{R}A}$는 유한 생성 가군이며, 모든 극대 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subseteq R}$에 대하여 ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}A}$는 ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$-중심 단순 대수이다.^{[2]:Theorem 1.5.3}

스콜렘-뇌터 정리

스콜렘-뇌터 정리(영어: Skolem–Noether theorem)에 따르면, 아즈마야 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형이다.^{[1]:142, Proposition IV.2.3} 즉, 스킴 ${\displaystyle S}$ 위의 아즈마야 대수 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 임의의 자기 동형 ${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$에 대하여,

${\displaystyle f|_{U_{i}}\colon a\mapsto u_{i}au_{i}^{-1}\qquad \forall i\in I}$

가 되는 ${\displaystyle S}$의 아핀 열린 덮개 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ 및 ${\displaystyle u_{i}\in \operatorname {Unit} (\Gamma (U_{i},{\mathcal {A}}))}$가 존재한다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {Unit} (-)}$는 환의 가역원군을 뜻하며, ${\displaystyle \Gamma }$는 층의 단면 집합을 뜻한다.)

특히, ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} K}$가 체 ${\displaystyle K}$의 스펙트럼일 경우, 모든 ${\displaystyle K}$-중심 단순 대수 ${\displaystyle A}$의 자기 동형 ${\displaystyle f\colon A\to A}$에 대하여 ${\displaystyle f\colon a\mapsto uau^{-1}}$가 되는 가역원 ${\displaystyle u\in \operatorname {Unit} (A)}$가 존재한다.

브라우어 군과 에탈 코호몰로지

스킴 ${\displaystyle S}$의 브라우어 군 ${\displaystyle \operatorname {Br} S}$에서 ${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }}$ 계수의 2차 에탈 코호몰로지 군으로 가는 표준적인 단사 군 준동형이 존재한다.^{[1]:142–145, Theorem IV.2.5}

${\displaystyle \iota \colon \operatorname {Br} S\to \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })}$

구체적으로, 이는 다음과 같다. ${\displaystyle S}$ 위의 아즈마야 대수 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 주어졌을 때, 작은 에탈 위치 ${\displaystyle S_{\operatorname {{\acute {e}}t} }}$ 위에 다음과 같은 올범주 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {A}}}$이 존재한다. 에탈 위치의 대상 ${\displaystyle \left(\iota _{U}\colon (U,{\mathcal {O}}_{U})\to (S,{\mathcal {O}}_{S})\right)\in S_{\operatorname {{\acute {e}}t} }}$에 대하여,

• 올 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {A}}(U)}$의 대상 ${\displaystyle ({\mathcal {E}},\alpha )}$는 유한 차원 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$-국소 자유 가군층 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$와 동형 사상 ${\displaystyle \alpha \colon {\underline {\operatorname {End} }}(_{{\mathcal {O}}_{U}}{\mathcal {E}})\to {\mathcal {A}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}{\iota _{U}}_{*}{\mathcal {O}}_{U}}$의 순서쌍이다.
• 올 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {A}}(U)}$의 사상 ${\displaystyle (E,\alpha )\to (E',\alpha ')}$은 적절한 가환 그림들을 만족시키는 동형 사상 ${\displaystyle E\to E'}$이다.

이 올범주는 스택이자 제르브이며, ${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }}$는 그 위에 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U}^{\times })\to \operatorname {Aut} _{U}({\mathcal {E}},\alpha )}$

${\displaystyle \left(g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U}^{\times })\right)\mapsto (g\cdot \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}})}$

따라서, 이 제르브는 2차 에탈 코호몰로지 군 ${\displaystyle \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })}$의 원소를 표현한다.

또한, 만약 ${\displaystyle S}$가 오직 유한 개의 연결 성분만을 갖는다면, 단사 군 준동형 ${\displaystyle \iota \colon \operatorname {Br} S\hookrightarrow \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })}$의 상은 꼬임 부분군 ${\displaystyle \operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} }))}$에 속한다. 즉, 이 경우 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {Br} S\subseteq \operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} }))\subseteq \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })}$

수체 위의 중심 단순 대수

대수적 수체 ${\displaystyle K}$ 위의 중심 단순 대수 ${\displaystyle A}$가 주어졌다고 하자. 앨버트-브라우어-하세-뇌터 정리(영어: Albert–Brauer–Hasse–Noether theorem)에 따르면, 만약 모든 자리 ${\displaystyle v}$에 대하여

${\displaystyle A\otimes _{K}K_{v}\cong \operatorname {Mat} (\dim _{K}A;K_{v})}$

라면, ${\displaystyle A\cong \operatorname {Mat} (\dim _{K}A;K)}$이다. 이는 대수적 수론의 국소-대역 원리의 한 예이다. 이에 따라, 대수적 수체 위의 중심 단순 대수의 분류는 국소체 위의 중심 단순 대수의 분류로 귀결된다.

역사

체 위의 아즈마야 대수(중심 단순 대수)는 나눗셈환의 분류의 일환으로 19세기 말부터 연구되어 왔다. 1878년에 페르디난트 게오르크 프로베니우스는 (현대적 용어로는) 실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 브라우어 군 ${\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbb {R} )\cong \mathbb {Z} /2}$을 계산하였다 (프로베니우스 정리).^[3] 조지프 웨더번은 1905년에 (현대적 용어로) 유한체의 브라우어 군이 자명하다는 것을 증명하였다 (웨더번 소정리).^[4] 그러나 웨더번의 첫 증명은 약간의 결함이 있었으며, 레너드 유진 딕슨이 최초로 올바른 증명을 발표하였다.^[5]

브라우어 군은 리하르트 브라우어가 1932년에 정의하였다.^[6]

아즈마야 고로가 1951년에 "고유 극대 중심 대수"(영어: proper maximally central algebra)라는 이름으로 도입하였다.^{[7]:128[2]:§1.6} (엄밀히 말해, 아즈마야는 이 용어를 정의할 때 자유 가군이어야 한다는 조건을 추가하였다.) 이후 1964~1965년 니콜라 부르바키 세미나에서 알렉산더 그로텐디크가 그 정의를 일반화하여 스킴 위의 아즈마야 대수를 정의하였고, "아즈마야 대수"라는 용어를 도입하였다.^[8][9]

같이 보기

• 제르브
• 유체론
• 대수적 K이론
• 모티브 코호몰로지