절대 갈루아 군

대수적 수론 및 체론에서, 절대 갈루아 군(絶對Galois群, 영어: absolute Galois group)은 주어진 체의 최대 갈루아 확대의 갈루아 군이다. 분해 가능 폐포 ${\displaystyle K^{\operatorname {sep} }}$의 선택에 의존하지만, 이는 체의 확대의 동형 아래 유일하므로, 절대 갈루아 군은 “내부 자기 동형” 아래 유일하다. 또한, 절대 갈루아 군의 군 코호몰로지는 분해 가능 폐포의 선택에 의존하지 않는다. 완전 비분해 확대의 자기 동형군은 자명하므로, 절대 갈루아 군은 대수적 폐포 ${\displaystyle {\bar {K}}}$의 자기 동형군과 동형이지만, 대수적 폐포는 갈루아 확대가 아닐 수 있다.

실수의 절대 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$은 2차 순환군이다. 이는 ${\displaystyle \mathbb {C} }$가 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 분해 가능 폐포이며, 차수가 2이기 때문이다.

대역체의 절대 갈루아 군의 구조에 대한 완전한 이해는 요원하며, 이는 대수적 수론 및 산술 기하학의 주요 목표 가운데 하나다.

정의

임의의 체 ${\displaystyle K}$가 주어졌을 때, 그 분해 가능 폐포 ${\displaystyle K^{\operatorname {sep} }}$는 ${\displaystyle K}$의 갈루아 확대를 이룬다. (${\displaystyle K}$가 완전체일 때, ${\displaystyle K^{\operatorname {sep} }}$는 대수적 폐포 ${\displaystyle {\bar {K}}}$와 같다. 이는 예를 들어 표수 0의 체나 유한체에 대하여 성립한다.) 그 갈루아 군

${\displaystyle \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K)}$

(즉, ${\displaystyle K}$ 위에서 항등인 ${\displaystyle K^{\operatorname {sep} }}$의 자기 동형 사상들이 함수의 합성에 따라 이루는 군)을 ${\displaystyle K}$의 절대 갈루아 군이라고 한다.

체 ${\displaystyle K}$의 절대 갈루아 군은 ${\displaystyle K^{\operatorname {sep} }}$의 선택에 의존하지만, 동형 아래 유일하다. 구체적으로, ${\displaystyle L/K}$와 ${\displaystyle \sigma (L)/\sigma (K)}$가 분해 가능 폐포이며,

${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Isom} (L/K,\sigma (L)/\sigma (K))}$

가 그 사이의 ${\displaystyle K}$-대수 동형일 때,

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\sigma (L)/\sigma (K))=\sigma \circ \operatorname {Gal} (L/K)\circ \sigma ^{-1}}$

이다.

성질

노이키르히-우치다 정리

노이키르히-우치다 정리(영어: Neukirch–Uchida theorem)에 따르면, 임의의 두 대수적 수체 ${\displaystyle K_{1}}$, ${\displaystyle K_{2}}$ 및 절대 갈루아 군 사이의 위상군 동형 사상

${\displaystyle \phi \colon \operatorname {Gal} ({\bar {K}}_{1}/K_{1})\xrightarrow {\cong } \operatorname {Gal} ({\bar {K}}_{2}/K_{2})}$

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 체 동형 사상 ${\displaystyle \sigma \colon {\bar {K}}_{1}\xrightarrow {\cong } {\bar {K}}_{2}}$가 존재한다.

${\displaystyle \sigma (K_{1})=K_{2}}$

${\displaystyle \phi (g)=\sigma \circ g\circ \sigma ^{-1}\qquad \forall g\in \operatorname {Gal} ({\bar {K}}_{1}/K_{1})}$

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}K_{1}&\hookrightarrow &{\bar {K_{1}}}&{\xrightarrow[{\cong }]{g}}&{\bar {K_{1}}}\\{\scriptstyle \sigma |_{K_{1}}}\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle \sigma }&&\downarrow {\scriptstyle \sigma }\\K_{2}&\hookrightarrow &{\bar {K_{2}}}&{\xrightarrow[{\phi (g)}]{\cong }}&{\bar {K_{2}}}\end{matrix}}}$

특히, 임의의 두 대수적 수체 ${\displaystyle K_{1}}$, ${\displaystyle K_{2}}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {K_{1}}}/K_{1})\cong \operatorname {Gal} ({\bar {K_{2}}}/K_{2})}$
• ${\displaystyle K_{1}\cong K_{2}}$

역문제

모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이지만,^[1]:12 모든 사유한군이 어떤 절대 갈루아 군과 동형이지는 않다. 예를 들어, 아르틴-슈라이어 정리에 따르면, 유한 절대 갈루아 군은 자명군이거나 2차 순환군이다.

모든 사영 사유한군은 어떤 유사 대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군과 동형이다. 이 결과는 알렉산데르 루보츠키(히브리어: אלכסנדר לובוצקי)와 라우 판덴드리스(네덜란드어: Lou van den Dries)가 증명하였다.^{[1]:208, 545}

예

대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군은 자명군이다.

실수체의 절대 갈루아 군

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )\cong \mathbb {Z} /2}$

은 2차 순환군이며, 이는 항등 함수와 복소켤레로 이루어진다.

유한체

임의의 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$의 절대 갈루아 군은 정수환의 사유한 완비화와 동형이다.^[2]

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {F} _{q}}}/\mathbb {F} _{q})\cong {\hat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$

또한, 프로베니우스 사상

${\displaystyle \operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{q}}\in \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {F} _{q}}}/\mathbb {F} _{q})}$

${\displaystyle \operatorname {Frob} _{\mathbb {F} _{q}}\colon x\mapsto x^{q}}$

은 그 위상 생성원(영어: topological generator)을 이룬다 (즉, 이를 생성원으로 하는 순환군은 절대 갈루아 군의 조밀 부분군이다).

유리수체와 샤파레비치 추측

유리수체의 절대 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )}$의 구조는 알려지지 않았다. 예를 들어, 유리수체의 최대 아벨 확대 ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\operatorname {ab} }=\mathbb {Q} (\mu )}$의 절대 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} ^{\operatorname {ab} })}$이 가산 계수 자유 사유한군인지 여부는 알려지지 않았다. 이를 샤파레비치 추측(Шафаре́вич推測, 영어: Shafarevich's conjecture)이라고 하며, 이고리 샤파레비치가 추측하였다.^{[3]:449[4]:521} 만약 샤파레비치 추측이 참이라면, ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\operatorname {ab} }}$의 임의의 유한 확대의 절대 갈루아 군 역시 자유 사유한군이다. (이는 유한 부분 확대의 절대 갈루아 군은 유한 지표 닫힌 부분군이며, 위상군의 유한 지표 닫힌 부분군은 항상 열린 부분군이며, 자유 사유한군의 열린 부분군은 항상 자유 사유한군이기 때문이다.)

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )}$에 대하여, 다음과 같은 성질들이 성립한다.

• 벨리 정리에 따라, ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )}$는 데생당팡들 위에서 충실하게 작용한다.
• ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )}$는 그로텐디크-타이히뮐러 군(영어: Grothendieck–Teichmüller group)의 부분군과 동형이다.

유리 함수체

임의의 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$의 유리 함수체 ${\displaystyle K(t)}$의 절대 갈루아 군은 계수 ${\displaystyle |K|}$의 자유 사유한군이며, 따라서 ${\displaystyle K(t)}$의 임의의 유한 확대의 절대 갈루아 군 역시 자유 사유한군이다. 이는 아드리앙 두아디(프랑스어: Adrien Douady)가 리만 존재 정리를 사용하여 표수 0에 대하여 증명하였다.^[5] 일반적인 경우는 데이비드 하베터(영어: David Harbater)^[6]와 플로리안 포프(루마니아어: Florian Pop)^[7]가 증명하였으며, Dan Haran과 Moshe Jarden이 대수적으로 재증명하였다.^[8]

특히, 대역 함수체에 대한 샤파레비치 추측(대역 함수체 ${\displaystyle K}$의 모든 원분체들의 합성체 ${\displaystyle K(\mu )}$의 절대 갈루아 군은 자유 사유한군)은 참이다.

p진 국소체

${\displaystyle K}$가 p진수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$의 유한 확대라고 하자. 만약 ${\displaystyle p\neq 2}$라면, ${\displaystyle K}$의 절대 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {K}}/K)}$는 위상 유한 표시 사유한군이며, ${\displaystyle [\mathbb {K}$ :\mathbb {Q} _{p}]+3} 개의 위상 생성원 및 2개의 관계에 의한 표시를 갖는다. 이는 우베 얀센(독일어: Uwe Jannsen)과 카이 빙베르크(독일어: Kay Wingberg)가 증명하였다.^{[9][3]:Theorem 7.5.10[4]:419, Theorem 7.5.14} ${\displaystyle p=2}$인 경우는 완전한 묘사가 알려져 있지 않다.^{[3]:§VII.5[4]:417, §VII.5}

기타

유리수체의 대수적 폐포 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$의 최대 전실(영어: totally real) 부분체의 절대 갈루아 군 역시 완전히 묘사되었다.^[10]