비에트 정리

대수학에서 비에트 정리(영어: Viète’s theorem) 또는 근과 계수와의 관계는 다항 방정식의 근에 대한 기본 대칭 다항식과 다항 방정식의 계수 사이의 관계를 나타내는 일련의 공식이다. 16세기 프랑스의 수학자 프랑수아 비에트에 의해 공식이 증명되었다.

정의

음이 아닌 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle n}$차 복소수 다항식

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\in \mathbb {C} [x]\qquad (a_{i}\in \mathbb {C} ,\;a_{n}\neq 0)}$

이 주어졌다고 하자. 대수학의 기본 정리에 따라, 이는 (중복도를 감안하면) ${\displaystyle n}$개의 영점 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {C} }$를 갖는다. 비에트 정리에 따르면, 각 ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,n\}}$에 대하여, 영점 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$을 ${\displaystyle k}$차 기본 대칭 다항식에 대입한 값은 ${\displaystyle (-1)^{k}a_{n-k}/a_{n}}$과 같다.

${\displaystyle \sum _{i\in \{1,\dots ,n\}^{k}}^{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$

즉, 다음 ${\displaystyle n}$개의 등식이 성립한다.

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle (x_{1}\cdots x_{n-1})+(x_{1}\cdots x_{n-2}x_{n})+\cdots +(x_{2}\cdots x_{n})=(-1)^{n-1}{\frac {a_{1}}{a_{n}}}}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}}$

증명

다음 등식 양끝의 다항식의 각 ${\displaystyle x^{k}}$의 계수를 비교하면 비에트 정리를 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}\\={}&p(x)\\={}&a_{n}(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})\\={}&a_{n}(x^{n}-(x_{1}+\cdots +x_{n})x^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}x_{1}\cdots x_{n})\end{aligned}}}$

예

일차 방정식

(일차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 일차 방정식

${\displaystyle ax+b=0}$

은 유일한 복소수 해

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{a}}}$

를 가진다. 이 경우 비에트 정리는 위 등식과 일치한다.

이차 방정식

(이차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 이차 방정식

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$

삼차 방정식

(삼차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 삼차 방정식

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$이라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}$

사차 방정식

(사차항 계수가 0이 아닌) 복소수 계수 사차 방정식

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-{\frac {d}{a}}}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}={\frac {e}{a}}}$

역사

프랑수아 비에트가 양의 근에 대하여 증명하였다.^[1] 알베르 지라르(프랑스어: Albert Girard)가 일반적인 경우를 증명하였다.^[2]

같이 보기

• 데카르트 부호 법칙
• 뉴턴 항등식
• 가우스-뤼카 정리
• 유리근 정리
• 대칭 다항식